傅里叶变换PPT课件

.,1,数字图像处理,-图像变换,2,.,一、图像变换的引入1.方法：对图象信息进行变换，使能量保持但重新分配。2.目的：有利于加工、处理滤除不必要信息(如噪声)，加强/提取感兴趣的部分或特征。二、方法分类可分离、正交变换:2D-DFT,2D-DCT,2D-DHT,2D-DWT。,1提取图像特征（如）：（1）直流分量：f(x,y)的平均值=F(0,0)；（2）目标物边缘：F（u,v）高频分量。2图像压缩：正交变换能量集中，对集中（小）部分进行编码。3图像增强：低通滤波，平滑噪声；高通滤波，锐化边缘。,三、用途,图像变换的概念,3,.,1、一维傅立叶变换及其反变换,一、连续傅里叶变换（ContinuousFourierTransform）,3.1二维离散傅里叶变换（DFT）,4,.,这里是实函数，它的傅里叶变换通常是复函数。的实部、虚部、振幅、能量和相位分别表示如下：实部虚部振幅,5,.,能量相位傅里叶变换可以很容易推广到二维的情形。设函数是连续可积的，且可积，则存在如下的傅里叶变换对：,6,.,2.二维连续函数f(x,y)的傅里叶变换定义如下：设是独立变量的函数，且在上绝对可积，则定义积分为二维连续函数的付里叶变换，并定义为的反变换。和为傅里叶变换对。,（3.1）,（3.2）,式中是频率变量。与一维的情况一样，二维函数的傅里叶谱、能量和相位谱为:,7,.,傅里叶频谱：相位：能量谱：,8,.,【例3.1】求图3.1所示函数,的傅里叶变换。,解：将函数代入到(3.1)式中，得,其幅度谱为,.,9,二维信号的图形表示,图3.1二维信号f(x,y),.,10,（a）信号的频谱图（b）图（a）的灰度图图3.2信号的频谱图,二维信号的频谱图,11,.,同连续函数的傅里叶变换一样，离散函数的傅里叶变换也可推广到二维的情形，其二维离散傅里叶变换定义为：式中，。二维离散傅里叶反变换定义为,二、离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform）,12,.,3.1.2二维离散傅里叶变换尺寸为MN的离散图像函数的DFT反变换可以通过对F(u,v)求IDFT获得,（3.3）,（3.4）,13,.,DFT变换进行图像处理时有如下特点：（1）直流成分为F(0,0)。（2）幅度谱|F(u,v)|对称于原点。（3）图像f(x,y)平移后，幅度谱不发生变化，仅有相位发生了变化。,（3.5）,（3.6）,14,.,例：图象的二维离散傅立叶频谱。读入原始图象I=imread(i_peppers_gray.bmp);imshow(I);%求离散傅立叶频谱J=fftshift(fft2(I);%对原始图象进行二维傅立叶变换，并将其坐标原点移到频谱图中央位置figure,imshow(log(abs(J),8,10);,15,.,（a）原始图像（b）离散傅里叶频谱图:二维图像及其离散傅里叶频谱的显示,16,.,3.1.3二维离散傅里叶变换的性质1周期性和共轭对称性周期性和共轭对称性来了许多方便。我们首先来看一维的情况。设有一矩形函数为,求出它的傅里叶变换：,17,.,幅度谱：,（a）幅度谱（b）原点平移后的幅度谱图3.4频谱图,18,.,DFT取的区间是0,N-1，在这个区间内频谱是由两个背靠背的半周期组成的，要显示一个完整的周期，必须将变换的原点移至u=N/2点。根据定义，有在进行DFT之前用(-1)x乘以输入的信号f(x)，可以在一个周期的变换中（u0，1，2，N1），求得一个完整的频谱。,（3.7）,19,.,推广到二维情况。在进行傅里叶变换之前用(-1)x+y乘以输入的图像函数，则有：DFT的原点，即F(0,0)被设置在u=M/2和v=N/2上。(0,0)点的变换值为：即f(x,y)的平均值。如果是一幅图像，在原点的傅里叶变换F(0,0)等于图像的平均灰度级，也称作频率谱的直流成分。,（3.8）,（3.9）,20,.,（a）原始图像(b)中心化前的频谱图(c)中心化后的频谱图图3.5图像频谱的中心化,21,.,2可分性离散傅里叶变换可以用可分离的形式表示这里对于每个x值，当v0，1，2，N1时，该等式是完整的一维傅里叶变换。,（3.10）,（3.11）,22,.,二维变换可以通过两次一维变换来实现。同样可以通过先求列变换再求行变换得到2DDFT。,图3.6二维DFT变换方法,23,.,3离散卷积定理设f(x,y)和g(x,y)是大小分别为AB和CD的两个数组，则它们的离散卷积定义为卷积定理,（3.12）,（3.13）,24,.,4、旋转性质（Rotation）,上式表明，对,旋转一个角度,对应于将其傅里叶变换也旋转相同的角度,25,.,例：二维离散傅立叶变换的旋转性。（a）原始图像（b）原图像的傅（c）旋转后的图像（d）旋转后图像的里叶频谱傅里叶频谱上例表明，对旋转一个角度对应于将其傅里叶变换也旋转相同的角度。,26,.,（6）尺度变换（Scaling）,27,.,例：比例尺度展宽。,（a）原始图像,（b）比例尺度展宽前的频谱,（c）比例尺度a=0.1，b=1，展宽后的频谱,28,.,3.2二维离散余弦变换（DCT）,任何实对称函数的傅里叶变换中只含余弦项，余弦变换是傅里叶变换的特例，余弦变换是简化DFT的重要方法。3.2.1一维离散余弦变换将一个信号通过对折延拓成实偶函数，然后进行傅里叶变换，我们就可用2N点的DFT来产生N点的DCT。1以x=-1/2为对称轴折叠原来的实序列f(n)得：,（3.14）,29,.,图3.8延拓示意图,2以2N为周期将其周期延拓，其中f（0）f（1），f（N1）f（N）,（3.15）,（3.16）,30,.,3对0到2N1的2N个点的离散周期序列作DFT，得令i2Nm1，则上式为,31,.,为了保证变换基的规范正交性，引入常量，定义：,F(k)C(k),C(k)=,（3.17）,其中,（3.18）,3.2.2二维离散余弦变换,（3.19）,32,.,DCT逆变换为【例3.3】应用MATLAB实现图像的DCT变换。解：MATLAB程序如下：A=imread(cameraman.tif);%读入图像I=dct2(A);%对图像作DCT变换subplot(1,2,1),imshow(A);%显示原图像subplot(1,2,2),imshow(log(abs(I),05);,（3.20）,33,.,例1:二维余弦正反变换在Matlab中的实现。,（a）原始图像（b）余弦变换系数（c）余弦反变换恢复图像图：二维离散余弦变换,34,.,由图(b)可知，离散余弦变换具有很强的“能量集中”特性，能量主要集中在左角处，因此在实际图像应用中,能量不集中的地方可在余弦编码中忽略,可通过对mask矩阵变换来实现，即将mask矩阵左上角置1，其余全部置0。然后通过离散余弦反变换后，图像得到恢复，图(c)恢复图像与图(a)原始图像基本相同。,35,.,例2：用DCT变换作图象压缩的例子，求经压缩解压后的图象（详细程序参见书），结果如图4.14所示。（a）原始图像（b）压缩解压后的图像图：原始图像及其经压缩，解压缩后的图像,36,.,3.3二维离散沃尔什-哈达玛变换（DHT）,前面的变换都是余弦型变换，基底函数选用的都是余弦型。图像处理中还有许多变换常常选用方波信号或者它的变形。沃尔什（Walsh）变换。沃尔什函数是一组矩形波，其取值为1和-1，非常便于计算机运算。沃尔什函数有三种排列或编号方式，以哈达玛排列最便于快速计算。采用哈达玛排列的沃尔什函数进行的变换称为沃尔什-哈达玛变换，简称WHT或直称哈达玛变换。,37,.,3.5二维离散小波变换,一种窗口大小固定，但形状可改变，因而能满足时频局部化分析的要求的变换。3.5.1连续小波变换设且，按如下方式生成的函数族称为分析小波或连续小波。称为基本小波或母波a称为伸缩因子，b为平移因子。,（3.30）,38,.,3.5.2离散小波变换把连续小波变换离散化更有利于实际应用。对a和b按如下规律取样：其中，；，得离散小波：离散小波变换和逆变换为,（3.31）,（3.32）,（3.33）,39,.,3.5.3快速小波变换算法【例3.4】应用MATLAB实现小波变换的例子。解：MATLAB程序如下：X=imread(pout.tif);%读入图像imshow(X);cA1,cH1,cV1,cD1=dwt2(X,bior3.7);%进行二维小波变换A1=upcoef2(a,cA1,bior3.7,1);H1=upcoef2(h,cH1,bior3.7,1);V1=upcoef2(v,cV1,bior3.7,1);D1=upcoef2(d,cD1,bior3.7,1);subplot(2,2,1);image(wcodemat(A1,192);title(ApproximationA1)subplot(2,2,2);image(wcodemat(H1,192);title(HorizontalDetailH1)subplot(2,2,3);image(wcodemat(V1,192);title(VerticalDetailV1)subplot(2,2,4);image(wcodemat(D1,192);title(DiagonalDetailD1),40,.,图3.16小波变换结果图,41,.,例1：对一副图进行傅里叶变换，求出其频谱图，然后利用平移性质，在原图的基础上乘以求傅里叶变换的频谱图。（a）原图（b）频谱图（c）中心移到零点的频谱图图：二维离散傅里叶变换结果中频率成分分布示意图（结果如下）,附:图像傅里叶变换实例,42,.,图（a）为原图，对其求傅里叶变换得到图（b）傅里叶变换的频谱图，观察频谱图可知，在未平移前，图（b）坐标原点在窗口的左上角，即变换后的直流成分位于左上角，而窗口的四角分布低频成分。对原图乘以后进行傅里叶变换，观察频谱图（c）可知，变换后的坐标原点移至频谱图窗口中央，因而围绕坐标原点是低频，向外是高频。,通过上例可知，图像的能量主要集中在低频区，即图像的中央位置，而相对的高频区（左上、右上、左下、右下四个角）的幅值很小或接近于0。以后傅里叶变换都进行相似平移处理，将不再重复叙述。,43,.,例2：图（a）乘以一指数，将图像亮度整体变暗，并求其中心移到零点的频谱图。（a）变暗后的图（b）变暗后中心移到零点的频谱图图：二维离散傅里叶变换结果中频率成分分布示意图,44,.,将原图（a）函数乘以，结果如图（a）所示。对其亮度平均变暗后的图像进行傅里叶变换，并将坐标原点移到频谱图中央位置，结果如图（b）所示。对比图4.8（c）和4.9（b）后，可以看出当图片亮度变暗后，中央低频成分变小。故从中可知，中央低频成分代表了图片的平均亮度，当图片亮度平均值发生变化时，对应的频谱图中央的低频成分也发生改变。,45,.,例3：图4.8（a）加入高斯噪声，得出一个有颗粒噪音的图，并求其中心移到零点的频谱图。（a）有颗粒噪音（b）有颗粒噪音中心移到零点的频谱图图：二维离散傅里叶变换结果中频率成分分布示意图,46,.,例4：对中心为一小正方形和以斜长方形求其傅里叶变换的谱分布。（a）正方形原图（b）正方形的谱分布（c）长方形的原始（d）长方形的谱分图像布图：傅氏变换谱分布实例,47,.,图示出两幅图像经傅氏变换后的频谱分布例子。左边均为原始图像，右边分别是他们变换后的谱分布。图（a）是中心为一小正方形，周边为空；图(c)是中心为斜置的小矩形。谱分布中，最亮区域表示其变换后的幅值最大。对（c）傅里叶变换后中心移到零点后的结果，我们可以发现当长方形旋转了时，频谱也跟着旋转，此实例验证了傅里叶变换的旋转性。,48,.,例5:对一副图片如图（a）求其幅值谱和相位谱，并对幅值谱和相位谱分别进行图像构，对比其所求结果。（a）原图,49,.,（b）幅值谱（c）相位谱（d）幅值谱重构图像（e）相位谱重构图像图：傅里叶图像及其傅里叶变换,50,.,对图（a）进行离散傅里叶变换，得出幅值谱图（b），相位谱图（d）及幅值谱重构图像图（c），相位谱重构图像图（e）。从实验结果可以看出，从幅值谱图像中得到的信息比在相位谱图像中得到的信息多，但对幅值谱图像重构后，即忽略相位信息，将其设为0，所得到的图像与原始图像相比，结果差别很大；而对相位谱图像重构后，及忽略幅值信息，将其设为常数，可以从中看