第3章_效用函数

.,第三章效用函数,.,引言决策的特点之一是后果的价值待定。为了用定量的方法研究决策问题，除了要用主观概率量化自然状态的不确定性以外，还需要量化后果的价值。在量化后果的价值时，会遇到两个主要问题：（1）后果本身是用语言表达的，可能没有任何合适的直接测量标度。（2）即使有一个明确的标度（通常是钱）可以测量后果，按这个标度测得的量也可能并不反映后果对决策人的真正价值。,.,抽奖的期望值有1250元，大于礼品的确定性收入1000元，但是一定有一部分人会选择这确定的1000元收入。因为对他们而言，抽奖的期望值虽大，风险也大，实际价值还不如保险的1000元。而有的人则相反，认为礼品不如抽奖，因为抽奖提供了获得2500元的机会。,例决策人面临图中决策树所示的选择：,.,在商业经营中，经营者经常遇到类似的情况，要在（1）期望收益较低但是有保险；（2）期望收益较高风险也较大这两种行动中进行选择。,因此，在进行决策分析时，存在如何描述或表达后果对决策人的实际价值，以便反映决策人心目中对各种后果的偏好次序（preferenceorder）的问题。偏好次序是决策人的个性与价值观的反映，与决策人所处的社会地位、经济地位、文化素养、心理和生理（身体）状态等有关。,.,在决策理论中，后果对决策人的实际价值，即在有风险的情况下决策人对结果的偏好的量化是用效用（utility）来描述的。效用就是偏好的量化，是数（实值函数）。,.,3.1理性行为公理,问题：某公司拟推出一种新产品，经预测该产品在市场看好的情况下，可以获利10万；在市场前景较差时，将亏损1万元。市场看好和较差的概率分别为0.6和0.4，是否推出该新产品？若另有一产品可稳获利2万元，推出哪种产品更好？这是一个随机决策问题。,.,3.1理性行为公理,在随机决策中，决策系统（，A，F）中的决策方案均是在状态空间背景中加以比较，并按照某种规则，选出决策者最满意的行动方案。在本章中，我们用事态体表示在随机性状态空间中的行动方案，方案的比较表示为事态体的比较，并引入效用的概念，用以衡量事态体（行动方案）的优劣。,.,3.1理性行为公理,3.1.1事态体及其关系1事态体的概念定义3.1具有两种或两种以上有限个可能结果的方案（或事情），称为事态体。事态体中各可能结果出现的概率是已知的。事态体即随机性状态空间中的行动方案。,.,1事态体的概念,设某事态体的n个可能结果为：o1,o2,on各结果出现的概率是相应为：p1,p2,pn则该事态体记为：T（p1,o1；p2,o2；pn,on）特别当n2时，称T为简单事态体，此时T（p,o1；1p,o2）,.,1事态体的概念,事态体可以用树形图表示如下：,当n2时：,p,.,事态体集合的性质,在凸线性组合下，是闭集。即：若T1，T2，则当01时，有T1(1)T2两个事态体的凸线性组合仍是一个事态体。T(0,o1；0,o2；1,oj；0,on)称T为退化事态体。退化事态体仍属于事态体集合。,.,2事态体的比较,定义3.2设o1，o2是事态体T的任意两个结果值，根据决策目标和决策者偏好，o1和o2有如下关系：若偏好结果值o1，则称o1优于o2，记作o1o2；反之，称o1劣于o2，记作o1o2。若对结果值o1,o2无所偏好，则称o1无差异于o2，记作o1o2。若不偏好结果值o1，则称o1不优于o2，记作o1o2；反之，称o1不劣于o2，记作o1o2。,.,2事态体的比较,定义3.3设两个简单事态体T1，T2具有相同的结果值o1，o2，即：T1（p1,o1；1p1,o2）T2（p2,o1；1p2,o2）并假定o1o2，则：若p1p2，称事态体T1无差异于T2，记作T1T2。若p1p2，称事态体T1优于T2，记作T1T2；反之，称事态体T1劣于T2，记作T1T2。,.,2事态体的比较,定义3.4设两个简单事态体T1，T2仅具有一个相同结果值，另一个结果值不相同，即：T1（p1,o1；1p1,o0）T2（p2,o2；1p2,o0）且o2o1o0，若p1p2，则事态体T2优于T1，记作T2T1。若T1T2，则必有p1p2。,.,3.1理性行为公理,3.1.2理性行为公理公理3.l（连通性，可比性）事态体集合上事态体的优劣关系是连通的。即若T1，T2则或者T1T2，或者T2T1，或者T1T2，三者必居其一。表示任意两个事态体都是可以比较其优劣的！,.,3.1理性行为公理,3.1.2理性行为公理公理3.2（传递性）事态体集合上事态体的优劣关系是传递的。即若T1、T2、T3，且T1T2，T2T3，则必有T1T3。表示任意多个事态体的优劣是可以排序的（若有些事态体无差异，可排在同一位置。）满足公理3.1和公理3.2的事态体集合称为全序集。,.,3.1理性行为公理,3.1.2理性行为公理公理3.3（复合保序性，替代性）若T1，T2，Q，且0p1，则T1T2当且仅当pT1(1p)QpT2(1p)Q。表示任意事态体的优劣关系是可以复合的，复合后的事态体保持原有的优劣关系不变。,.,3.1理性行为公理,3.1.2理性行为公理公理3.4（相对有序性，连续性，偏好的有界性）若T1，T2，T3，且T1T2T3则存在数p，q，0pl，0q1，使得：pT1(1p)T3T2qT1(1q)T3表示任意事态体都不是无限优，也不是无限劣。,.,3.1理性行为公理,3.1.3事态体的基本性质性质3.1设事态体T1（p,o1；1p,o0）T2（x,o2；1x,o0）且o1o0，o2o0，若o2o1则存在x=pp使得T1T2称x为可调概率值。,.,3.1理性行为公理,3.1.3事态体的基本性质性质3.2（确定当量和无差异概率）设事态体T（x,o1；1x,o2）且o1o2。则对于满足优劣关系o1oo2的任意结果值o，必存在xp（0pl），使得T（p,o1；1p,o2）o称结果值o为事态体T的确定当量，称p为o关于o1与o2的无差异概率。,.,3.1.3事态体的基本性质,性质3.3任一事态体无差异于一个简单事态体。设有事态体T（p1,o1；p2,o2；pn,on）则必存在一个简单事态体T（p,o*；1p,o0）T其中：o*maxo1,o2,ono0mino1,o2,on且：,这里，qj(j=1,2,n)为oj关于o*与o0的无差异概率。,.,3.1.3事态体的基本性质,根据性质3.3比较一般事态体之间的优劣关系，可以转化为比较简单事态体之间的优劣关系（将问题简化）得到事态体之间两两的优劣或无差异关系后，再根据公理3.2（传递性）即可得到所讨论事态体的排序。,.,3.2效用函数的定义和构造,设有决策系统（，A，F），在离散情况下，结果值可以表示为决策矩阵：,.,3.2效用函数的定义和构造,矩阵O的第i行表示第i个可行方案的n个可能结果值，即事态体Ti（p1,oi1；p2,oi2；pn,oin）(i=1,2,m)决策就是要对这m个事态体进行排序。由第一节中的性质3.3知，存在简单事态体T，使得Ti（pi,o*；1pi,o0）Ti问题又化为对这m个简单事态体Ti进行排序。,.,3.2效用函数的定义和构造,Ti（pi,o*；1pi,o0）Ti注意到这m个简单事态体Ti具有相同的结果值o*、o0，根据定义3.3，其优劣关系可以由比较pi的大小决定。根据性质3.3,qij是结果值oij关于o*与o0的无差异概率。其中：,问题：如何测定无差异概率？,o*,o0,.,3.2效用函数的定义和构造,3.2.1效用和效用函数的概念效用的概念定义3.5设决策问题的各可行方案有多种可能的结果值o，依据决策者的主观愿望和价值倾向，每个结果值对决策者均有不同的价值和作用。反映结果值o对决策者的价值和作用大小的量值称为效用。,.,3.2效用函数的定义和构造,3.2.1效用和效用函数的概念效用函数的概念效用函数(曲线)：反映决策者的期望值与效用值的对应关系.效用决策：将结果用效用值代替，以期望效用最大为决策准则.,.,3.2效用函数的定义和构造,3.2.1效用和效用函数的概念效用函数的概念定义3.6若在事态体集合上存在实值函数u，有：(1)对任意的T1、T2，T1T2当且仅当u(T1)u(T2)(2)对任意的T1、T2，且01，有uT1(1)T2=u(T1)(1)u(T2)则称u(T)为定义在上的效用函数。,.,3.2.1效用和效用函数的概念,估计效用函数的方法（1）标准效用测定法(概率当量法，VM法)思路：对于给定的结果值，测定其效用值。设有决策系统（，A，F），其结果值集合为：O（o1,o2,on）记：o*maxo1,o2,ono0mino1,o2,on对于每一个结果值oj都存在一个概率值pj，使得oj（pj,o*；1pj,o0）pj就可以作为结果值oj的效用值。,.,3.2.1效用和效用函数的概念,（1）标准效用测定法(概率当量法，VM法)步骤设u(o*)=1，u(o0)=0；建立简单事态体（x,o*；1-x,o0），其中x称为可调概率；通过反复提问，不断改变可调概率值x，让决策者权衡比较，直至当x=pj时oj（pj,o*；1pj,o0）测得结果值oj的效用u(oj)=pj=pju(o*)(1pj)u(o0),.,3.2.1效用和效用函数的概念,估计效用函数的方法（2）确定当量法(修正的VM法)思路：对于给定的效用值，测定其结果值。步骤设u(o*)=1，u(o0)=0；对于给定的效用值pj，构造简单事态体（pj,o*；1pj,o0）通过反复提问，不断改变结果值o，让决策者权衡比较，直至当o=oj时oj（pj,o*；1pj,o0）得效用值pj对应的结果值为oj，即u(oj)=pj。,.,3.2.2效用函数的构造,介绍一种实用的效用函数的构造方法。基本思路对于决策问题的结果值集合，先用确定当量法找出一个基准效用值，即效用值等于0.5的结果值，称为确定当量o。其余效用值按照类似方法测定，或是按比例用线性内插的方法，用同一个标准计算得到。,.,3.2.2效用函数的构造,方法设决策问题结果值集合为：O（o1,o2,on）取o*maxo1,o2,ono0mino1,o2,on并令u(o*)=1，u(o0)=0；构造简单事态体（0.5,o*；0.5,o0），用确定当量法找到该事态体的确定当量o，使得：o（0.5,o*；0.5,o0）,.,3.2.2效用函数的构造,方法对结果值进行归一化处理，记归一化的结果值为x(oj),则：x*=x(o*)=1，x0=x(o0)=0，0x(oj)1,记确定当量o的归一化值为，也记为x0.5,.,得到经归一化变换后的效用曲线上的三个点：,（0,0）,（,0.5）,（1,1）,u,x,0,1,1,0.5,.,3.2.2效用函数的构造,方法在新区间0,和,1按同样方法插入点（x0.25,0.25）和（x0.75,0.75），保持比例关系,计算得：,.,效用曲线上新增两个点：,（2,0.25）,（22,0.75）,u,x,0,1,1,0.5,0.25,2,0.75,22,.,若认为点数太少，效用曲线不够精确，可继续按同样方法在新产生的区间内插入效用中点，直到产生足够的点为止。,.,做该问题的决策树，如图所示。决策人对四种后果优劣的排序是：,例天气预报说球赛时可能下雨，一个足球爱好者要决定是否去球场看球。不下雨去球场看球是最理想的，如果肯定下雨则留在家中看电视为好；不下雨在家中看电视虽然不如下雨看电视，但比下雨去球场看球挨淋要强。试设定各种后果的效用值。,.,第一步：令第二步：询问决策人，下雨在家看电视这种后果与去球场看球有多大概率下雨被淋相当，若决策人的回答是0.3，则,C1：下雨看球，C2：无雨看球，C3：下雨看电视，C4：无雨看电视,第三步：询问决策人，无雨看电视这种后果与去球场看球有多大概率下雨被淋相当，若决策人回答是0.6，则得到,.,看球：0.5*0+0.5*1=0.5看电视:0.5*0.7+0.5*0.4=0.55,看球：0.4*0+0.6*1=0.6看电视:0.4*0.7+0.6*0.4=0.52,下雨概率0.5：,下雨概率0.4：,.,产品开发问题(i)Noteminimumpossiblepayoffis-60(103)maximumpossiblepayoffis175(103)Chooseleastfavourablepayoff=-80mostfavourablepayoff=200(anyconvenientnumbers-60forleastfavourablepayoffand175formostfavourablepayoffwilldo)Setu(-80)=0u(200)=1Thisestablishestheendpointsoftheutilitycurveas(-80,0),(200,1),.,产品开发问题(ii)PosetotheDMaquestionwhichwillgivehiscertainmonetaryequivalent(CME)ofthefollowinglottery,DenotetheCMEofthislotterytobex,.,Thenu(x)=0.5u(200)+0.5u(-80)=0.51+0.50=0.5WhatevervalueDMspecifiesforx,itsutilitywillbe0.5asxistheCMEoftheabovelottery.Forx=200,thecertainoptionwillbepreferredtothelottery,butasxisreduced,indifferencewilloccuratsomepoint.Themorerisk-averseDMis,thelowerthisCMEvaluewillbeandthemoreconcavetheutilitycurve.,(iii)ObtainfurtherpointsbyputtingquestionstoDMusingothermonetaryvalueswhoseutilitieshavepreviouslybeenfound,.,Thenu(y)=0.5u(200)+0.5u(x)=0.51+0.50.5=0.75Continueuntilsufficientpointsareobtained.,e.g.wemightaskDMtoevaluateysuchthat,.,产品开发问题,(i),(ii),.,SupposeDMprovidesthefollowingpreferences,(iii),(iv),.,SupposeDMprovidesthefollowingpreferences,(v),.,3.2.3效用与风险的关系,在风险型或不确定型决策问题中，决策者选择方案几乎都要承担一定的风险，不同的决策者对风险的态度是有区别的。效用表示了决策者对决策方案各结果值的偏好程度，也反映了不同类型的决策者对风险的不同态度。因此从不同类型的效用函数可以看出决策者对风险的不同态度。,.,3.2.3效用与风险的关系,中立型效用函数设有效用函数u=u(x)，若对xlx2，有,则称该效用函数为中立型。,其效用曲线是一条直线。,中立型效用函数的效用值和结果值成正比例，因此可以用结果值直接评选方案。,.,3.2.3效用与风险的关系,保守型效用函数设有效用函数u=u(x)，若对xlx2，有,则称该效用函数为保守型。,其效用曲线是一条上凸曲线，表示效用值随结果值的增加而增加，但增加的速度逐渐由快至慢。反映了决策者随结果值增加越来越谨慎，对风险持厌恶态度。,.,3.2.3效用与风险的关系,冒进型效用函数设有效用函数u=u(x)，若对xlx2，有,则称该效用函数为冒进型。,其效用曲线是一条下凸曲线，表示效用值随结果值的增加而增加，且增加的速度越来越快。反映了决策者随结果值增加越来越敢于冒险追求高额回报的态度。,.,3.2.3效用与风险的关系,中立型效用函数,保守型效用函数,冒进型效用函数,.,3.2.3效用与风险的关系,混合型效用函数三种基本效用函数的混合，如：,混合型效用函数,表示当xx0时，即结果值不大时，决策者具有一定冒险精神；当xx0时，即结果值较大时，决策者对风险转而持谨慎态度。,x0,.,3.3效用函数表,一、效用函数表的构造实际构造效用函数时，取n=6定出效用曲线上的26（64）个点，效用函数的精度已经足够。书后附表6给出了n=6对于不同的权衡指标值(0.5时，对应的是冒进（下凸）型效用函数，效用函数值无法直接查表。,.,3.3效用函数表,一、效用函数表的构造可以证明：0.5的效用曲线u(x)与=1的效用曲线u(x)是关于直线u=x对称的。因此，0.5的效用函数值可以按下面的方法求得：u(x)1u(1x)具体步骤见教材P62。注：查表时在给定的列若没有对应的x值，则找出与之相邻的两个值x1、x2，查出对应的效用值后用线性内插的方法确定u(x)。,.,3.3效用函数表,二、效用函数表的使用例3.1某企业欲投产一种新产品，有三种方案可供选择。已知市场存在三种状态：畅销、一般、滞销，三种方案在不同的市场状态下所获利润额构成以下的决策矩阵：,决策者认为：o4.5（0.5,20；0.5,5）,.,例3.1试求该企业决策者的效用矩阵。,解：o*maxoij20，o0minoij5u(o*)=1，u(o0)=0将决策矩阵的结果值归一化：,得归一化后的决策矩阵为：,.,例3.1试求该企业决策者的效用矩阵。,由o4.5（0.5,20；0.5,5）得：,查P369附表6，0.38所在列，以x220.5为例：0.490621x220.50.503698而u(0.490621)0.65625，u(0.503698)0.671875用线性内插法：,解得u(x22)0.6675。,.,例3.1试求该企业决策者的效用矩阵。,同理得：u(x11)0.7300，u(x12)0.6091，u(x13)0.4306，u(x31)0.8742u(x32)0.5596，u(x33)0.2068且u(x21)u(o*)=1，u(x23)u(o0)=0,得决策者的效用矩阵为：,.,例3.2在上例中，若决策者认为：o11.25（0.5,20；0.5,5）试求该企业决策者的效用矩阵。,解：同上例方法得归一化后的决策矩阵为：,.,例3.2,由o11.25（0.5,20；0.5,5）得：,查P369附表6，1-0.65=0.35所在列，以x320.44为例，u(x32)1u(1x32)1u(0.56)：0.536890.560.5775而u(0.53689)0.734375，u(0.5775)0.75用线性内插法解得u(0.56)0.7433，因此：u(x32)1u(0.56)0.2567,.,例3.2,同理得：u(x11)0.3819，u(x12)0.2598，u(x13)0.1271，u(x22)0.2920u(x31)0.5725，u(x33)0.0251且u(x21)u(o*)=1，u(x23)u(o0)=0,得决策者的效用矩阵为：,.,3.4效用函数的曲线拟合,前面讨论了针对特定的结果值，如何测定其效用，我们得到的只是一些离散的效用值，要得到连续的效用函数，则需要用曲线拟合的方法。常见的拟合曲线形式线性函数型u(x)c1a1（xc2）其中c1、a1、c2为待定参数。前面查表时用内插法确定某些效用值，实际上就相当于效用函数为分段线性函数。,.,3.4效用函数的曲线拟合,常见的拟合曲线形式指数函数型,其中ci、ai（i1，2，3）均为待定参数。,双指数函数型,指数加线性函数型,.,3.4效用函数的曲线拟合,常见的拟合曲线形式幂函数型,其中c1、a1、c2为待定参数。不论采用哪种形式的函数，一般都尽可能化为线性函数通过最小二乘法确定待定参数。,对数函数型,.,3.4效用函数的曲线拟合,3.4.1幂函数型效用曲线的拟合幂函数的一般形式yta（0a1）当0a1时，幂函数曲线是上凸的。在区间（0，）上，曲线的曲率是变化的，因此为了取得最佳的曲线拟合效果，一般取幂函数曲线的某一段(待定)，作为效用函数的近似曲线。为此，作坐标平移变换：参见教材P66图3.6,.,3.4.1幂函数型效用曲线的拟合,幂函数型的效用函数坐标变换后得：Y-ca(Tc)a（0a1）令：,且Tx，则：,其中b、c为待定常数，这就是幂函数型的效用函数表达式。当a取特定值时，可设法用线性回归的