从二道高考题解读二面角的求法

精品文档案例说法从二道高考题解读二面角的求法空间几何中的三种角-异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，在高考立体几何的计算中占据着主角地位。而二面角的求解因为方法多样、灵活多变，具有较高的区分度，较能考察学生的空间想象能力、逻辑思维能力及计算能力，更受到命题者的青睐。由于学生的空间想象能力、逻辑思维能力较弱，加之教师对教学的无赖，学生往往仅掌握用平面的法向量来求解二面角，此法虽然对学生的空间想象能力、逻辑思维能力要求不高，但对计算的要求较高，学生往往建系不当、计算出错等原因导致失分，并且如果不分试题背景都用法向量来求解，也有“小题大作”之嫌，费时费事，出现“隐形”失分。因此，在教学、备考中适当介绍一些二面角的常用求法，让学生多几样利器，能避免“杀鸡全部用牛刀”的尴尬局面。下面通过2011年全国高考卷中的二道试题，介绍二面角的一些常用求法。例1（2011年全国大纲卷理16）已知E、F分别在正方形棱BB1，CC1上，且B1F=2EB，CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于_。一、 面积射影法图1一个平面多边形的面积为S，它在另一个平面上的射影多边形的面积为，若多边形所在平面与另一个平面构成的二面角为，则解：如图1，设，可求得 且 在平面ABCD上的射影为图2或解：如图2把、分别扩充成菱形AEFG、正方形ABCD。同样，菱形AEFG在底面上的射影为正方形ABCD，同上也可求出正确答案。注：面积射影法对这种“无棱二面角”比较方便。A图3PBl二、三垂线定理法如图3，设锐二面角，过面内一点P作PA于A，作ABl于B，连接PB，由三垂线定理得PBl，则PBA为二面角的平面角，故称此法为三垂线法.图解：如图，延长CB、FE交与G点，连接AG，则因为：所以：过B点作于M，连接EM。由三垂线定理可知：。故为面AEF与面ABC所成的二面角的平面角。设， ，中点，在直角等腰三角形ABG中，由知ABP 图三、垂面法如图，作平面垂直于二面角的棱，分别交二面角的两个面于射线PA、PB。根据平面角的定义可知，就是二面角的平面角。这种通过作二面角棱的垂面得平面角的方法就叫做垂面法.图解：如图，延长CB、FE交与G点，连接AG，则易证且与面AEF与面ABC的交线分别为AE、AC，所以就是面AEF与面ABC所成的二面角的平面角。同样，在直角中，可求得四、定义法此方法的关键是在二面角的棱上找到一点，过这点分别在两个面内作棱的垂线得平面角。此法中，点的选取很关键，便于后续计算。例2.（2011年全国新课标理18） 如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，底面ABCD（I）证明：；（II）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值解：（）因为， 由余弦定理得从而,故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD. 故 PABD（）如图，过A作于E，过E作交PC于F，连接AF由（）知， 故AEF是二面角A-PB-C的平面角。作于G点，连接AG设，通过计算可得：所以即二面角A-PB-C的余弦值为。五、求部分法当一个二面角被过棱的一个半平面分成两个二面角时，可分别求出两个二面角，再求和。特别地，当其中一个二面角的大小已知时，问题将更加简便。解：如图，二面角被平面分成二面角和由（）知：所以，故二面角是直二面角，其大小为下求二面角的大小因为，过作于点，连接，由三垂线定理法可知，为二面角的平面角。同上求得，所以二面角的余弦值为：六、平面法向量法（）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-，则，设平