《微积分英文版》PPT课件

CHAPTER3,THEDERIVATIVE,微积分学的创始人:,德国数学家Leibniz,微分学,导数,导数思想最早由法国,数学家Ferma在研究,极值问题中提出.,英国数学家Newton,2.1,TwoProblemswithOneTheme,TangentLines,联系:,注意:,有什么区别与联系?,？,与导函数,机动目录上页下页返回结束,二、导数的定义,定义1.设函数,在点,存在,并称此极限为,记作:,即,则称函数,若,的某邻域内有定义,机动目录上页下页返回结束,运动质点的位置函数,在时刻的瞬时速度,曲线,在M点处的切线斜率,机动目录上页下页返回结束,若上述极限不存在,在点不可导.,若,也称,在,若函数在开区间I内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.,记作:,就说函数,就称函数在I内可导.,的导数为无穷大.,机动目录上页下页返回结束,3.6LeibnizNotation,Differentiabilityimpliescontinuity.,Ifthegraphofafunctionhasatangentatpointc,thenthereisno“jump”onthegraphatthatpoint,thusiscontinuousthere.,函数的可导性与连续性的关系,定理.,证:,设,在点x处可导,存在,因此必有,其中,故,所以函数,在点x连续.,注意:函数在点x连续未必可导.,反例:,在x=0处连续,但不可导.,即,机动目录上页下页返回结束,2.设,存在,则,3.已知,则,4.若,时,恒有,问,是否在,可导?,解:,由题设,由夹逼准则,故,在,可导,且,机动目录上页下页返回结束,2.3,RulesforFindingDerivatives,常数和基本初等函数的导数,机动目录上页下页返回结束,例.求椭圆,在点,处的切线方程.,解:椭圆方程两边对x求导,故切线方程为,即,机动目录上页下页返回结束,四则运算求导法则,定理.,的和、,差、,积、,商(除分母,为0的点外)都在点x可导,且,下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和,例题.,机动目录上页下页返回结束,此法则可推广到任意有限项的情形.,证:,设,则,故结论成立.,机动目录上页下页返回结束,例如,(2),证:设,则有,故结论成立.,推论:,机动目录上页下页返回结束,(C为常数),(3),证:设,则有,故结论成立.,推论:,机动目录上页下页返回结束,(C为常数),例.,解:,机动目录上页下页返回结束,有限次四则运算的求导法则,(C为常数),机动目录上页下页返回结束,2.4,DerivativesofTrigonometricFunctions,Formula,解,f(sinx)=cosxf(cosx)=-sinx,Findderivativesofothertrig.functionsusingthesederivativesandapplyingproductruleand/orquotientrule,例.求证,证:,类似可证:,机动目录上页下页返回结束,Derivativesofsec(x),csc(x)andcot(x),Allarefoundbyapplyingtheproductand/orquotientrulesandusingknownderivativesofsin(x)andcos(x).,2.5,TheChainRule,复合函数求导法则,Foracompositefunction,itsderivativeisfoundbytakingthederivativeoftheouterfunction,withrespecttotheinnerfunction,timesthederivativeoftheinnerfunctionwithrespecttox.,Ifthecompositionconsistsof3ormorefunctions,continuetotakethederivativeofthenextinnerfunction,withrespecttothefunctionwithinit,until,finally,thederivativeistakenwithrespecttox.,在点x可导,复合函数求导法则,定理3.,在点,可导,复合函数,且,在点x可导,证:,在点u可导,故,（当时),故有,机动目录上页下页返回结束,求下列函数的导数,例如,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.,推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.,机动目录上页下页返回结束,例.,求,解:,例.,设,解:,求,机动目录上页下页返回结束,例.,求,解:,关键:搞清复合函数结构由外向内逐层求导,机动目录上页下页返回结束,例.设,求,解:,机动目录上页下页返回结束,Findthederivative(notethisisthecompositionof3functions,thereforetherewillbe3“pieces”tothechain.),3.7,Higher-OrderDerivatives,f=2ndderivativef=3rdderivativef=4thderivative,etc,The2ndderivativeisthederivativeofthe1stderivative.The3rdderivativeisthederivativeofthe2ndderivative,etc.,定义.,若函数,的导数,可导,或,即,或,类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,阶导数的导数称为n阶导数,或,的二阶导数,记作,的导数为,依次类推,分别记作,则称,机动目录上页下页返回结束,Velocityisthederivativeofdistancewithrespecttotime(1stderivative)andAccelerationisthederivativeofvelocitywithrespecttotime(2ndderivativeofdistancewithrespecttotime),Up(orright)isapositivevelocity.Down(orleft)isanegativevelocity.Whenanobjectreachesitspeak,itsvelocityequalszero.,速度,即,加速度,即,引例：变速直线运动,机动目录上页下页返回结束,3.8,ImplicitDifferentiation(Anapplicationofthechainrule!)yisnowconsideredasafunctionofx,thereforeweapplythechainruletoyApplyallappropriaterulesandsolvefordy/dx.,Findthederivative,例.求椭圆,在点,处的切线方程.,解:椭圆方程两边对x求导,故切线方程为,即,机动目录上页下页返回结束,例.求,的导数.,解:两边取对数,化为隐式,两边对x求导,机动目录上页下页返回结束,1)对幂指函数,可用对数求导法求导:,说明:,注意:,机动目录上页下页返回结束,2)有些显函数用对数求导法求导很方便.,例如,两边取对数,两边对x求导,机动目录上页下页返回结束,又如,对x求导,两边取对数,机动目录上页下页返回结束,设,由方程,确定,解:,方程两边对x求导,得,再求导,得,当,时,故由得,再代入得,求,机动目录上页下页返回结束,设,求,分别用对数微分法求,答案:,机动目录上页下页返回结束,2.8,RelatedRatesAvery,veryimportantapplicationofthederivative!Appliestosituationswheremorethanonevariableischangingwithrespecttotime.Theothervariablesaredefinedwithrespecttotime,andwedifferentiateimplicitlywithrespecttotime.,相关变化率,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为相关变化率,相关变化率问题解法:,找出相关变量的关系式,对t求导,得相关变化率之间的关系式,求出未知的相关变化率,机动目录上页下页返回结束,相关变化率,为两可导函数,之间有联系,之间也有联系,称为相关变化率,相关变化率问题解法:,找出相关变量的关系式,对t求导,得相关变化率之间的关系式,求出未知的相关变化率,机动目录上页下页返回结束,例.一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升,其速率为,当气球高度为500m时,观察员,视线的仰角增加率是多少?,解:设气球上升t分后其高度为h,仰角为,则,两边对t求导,已知,h=500m时,机动目录上页下页返回结束,由参数方程确定的函数的导数,若参数方程,可确定一个y与x之间的函数,可导,且,则,时,有,时,有,(此时看成x是y的函数),关系,机动目录上页下页返回结束,例.抛射体运动轨迹的参数方程为,求抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向.,解:先求速度大小:,速度的水平分量为,垂直分量为,故抛射体速度大小,再求速度方向,(即轨迹的切线方向):,设为切线倾角,则,机动目录上页下页返回结束,抛射体轨迹的参数方程,速度的水平分量,垂直分量,在刚射出(即t=0)时,倾角为,达到最高点的时刻,高度,落地时刻,抛射最远距离,速度的方向,机动目录上页下页返回结束,2.9,Differentials&Approximationsdxisthedifferentialofx,graphicallyitisthechangeinthexofthetangenttothecurve(dy/dx)dyisthedifferentialofy,graphicallyiscorrespondstothechangeintheyofthetangenttothecurve(dy/dx),微分在近似计算中的应用,当,很小时,使用原则:,得近似等式:,机动目录上页下页返回结束,微分在估计误差中的应用,某量的精确值为A,其近似值为a,称为a的绝对误差,称为a的相对误差,若,称为测量A的绝对误差限,称为测量A的相对误差限,机动目录上页下页返回结束,误差传