易拉罐形状和尺寸的最优设计.doc

易拉罐形状和尺寸的最优设计我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，请你们完成以下的任务：1 取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。2 设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。3 设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。4 利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。摘要本文利用游标卡尺分别测出355毫升易拉罐的各项数据。设易拉罐是一个圆柱体时，我们采用等厚度面积法将体积问题转化为面积问题，再运用极值的知识求出最优比例。设易拉罐中心纵断面上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体时，我们通过对其厚度、材料的密度分布、易拉罐的预留体积做一系列假设，建立相应数学模型，运用LINGO、CAD等工具求出其最优设计。对于易拉罐的设计，我们着重从经济、视觉、安全和消费者心理几个角度入手设计，并建立对应数学模型验证其可行性。关键词：黄金分割率 等厚度面积法一、问题重述二、模型假设1 不考虑易拉罐具体制作工艺，仅对形状、尺寸及重量等非工程及技术量作出相应的分析。2 假设易拉罐是一个正圆柱体的情况下，我们认为它的最优设计仅和它的高和半径比及厚度有关。3 易拉罐上下底面和侧面的连接处的厚度、长度及过度弧度可以不考虑。4 只考虑用料，即对各个部分的制作成本不作考虑。5 所设计的易拉罐是在研究量比的基础上，结合实用、美观等因素，对它的形状和尺寸作出最优设计。6 本文所有测量数据均以物理仪器测得，与真实值相比，存在一定的误差，本论文中所应用的数据均为所测数据。 三、问题分析测量易拉罐各部分的相关数据，并列表加以说明分析，作为解决问题时所得结论的参考依据，具有一定的合理性。将易拉罐看成一个正圆柱是有一定合理性的，当易拉罐内体积一定时，顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比能够很好的反映出制作易拉罐所需材料的数量。在测量过程中我们发现，易拉罐的侧面和底面厚度不同，且下底面厚度不均匀，中心纵截面形状接近于圆台和圆柱的组合体，以次作为研究它的最优设计具有一定的可行性；各部分厚度存在差异，我们考虑这一特殊设计是主要是为了保证开启的稳定性及耐压强度，我们自己的设计采用这一优点。四、符号定义V - 正圆柱的体积；R - 正圆柱的半径；D - 正圆柱的直径；H - 正圆柱的高；S - 正圆柱的表面积；H1 - 正圆柱的高；H2 - 圆台的高；L - 圆台母线长；S1 - 圆柱底面面积；S2 - 圆台上顶面面积；R1 - 圆柱的半径；R2 - 圆台的半径； - 模型增加高度五、模型建立问题1: 取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。 1、测量易拉罐测量从商店所买回的355毫升装的可口可乐易拉罐，利用游标卡尺测量，我们得到以下数据：顶盖的直径顶盖到底部的高中间圆柱的直径中间圆柱壁厚度顶部的厚度中间圆柱的高度容积59mm116mm66mm1mm3mm103mm365ml具体的直观图如图1：7mm13mm3mm123mm49mm66mm59mm 图12、易拉罐形状与数据的合理性分析：根据我们所测数据可以知道上底面的厚度为侧面和底面厚度的3倍，对于这个特殊的设计我们认为是从开启的稳定性和耐压性考虑的。当上底面以3倍的厚度和侧面相结合时，既保证了结构的稳定性，又保证了开启的稳定性。下底面之所以做成圆弧状是从罐体的耐压性和运输放置的稳定性考虑的，同时也兼顾了美观。我们知道圆是最好的承力体，在与侧面积厚度相同的情况下，只有圆弧状可以最大限度的满足这个要求。问题2: 设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。1、假设： I) 易拉罐的形状是一个正圆柱体，且上底面的厚度是侧面与下底面厚度的3倍。II) 底面和侧面所使用的材料相同，故所用材料的重量可以转化成所用材料的体积。根据以上假设，原问题等价于：在体积确定的情况下，底面和侧面不同圆柱体在满足什么条件时，所需要的材料体积最少？2、建立模型由于易拉罐材料的使用量我们可以用材料的体积来衡量，而上底面与下底面的厚度不同，且满足，因此可以采用等厚度面积法，把上底面的面积看作是下底面的三倍，这样我们就可以把体积进一步转化为面积问题，故我们可以得到下式：S=4+2 于是：S=4+ R 由不等式a+b+c3 (仅当a=b=c时) 即 =4， 在由H= 可得，H=4R 这时底面直径与高的比值为1：2，而我们实际测量结果：123/66=1.8636，考虑误差的存在，可视两者基本相符。问题3：设易拉罐的中心纵断面如图2所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。图2什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。为了求出易拉罐在该图形下的最优设计，我们拟定在不同的假设下建立多个不同模型，分析比较得出最佳结果。设计一：1、基本假设I) 不考虑厚度的区别，认为所有材料的厚度相同。II) 底面和侧面所使用的材料相同，即认为材料的密度分布均匀。III) 不考虑易拉罐的实际体积，体积以355ml作为标准体积。根据以上假设，原问题等价于：在体积一定的情况下我们求表面积的最小值。也就使问题变为一个优化的问题。2、建立模型圆台侧面积公式：(1)圆台体积公式： H2(S1+S2+ (2)圆台的母线公式： L= (3)在体积一定的情况下，我们可建立面积关于形状与尺寸的最优模型：min S=，st. 利用公式(1) (2) (3)，上式可以化简为：min S=st. 用LINGO软件求解（程序和结果见附件），我们得到：，面积的最小值：。根据所得数据，利用CAD可做出图3：图33、模型分析此模型是在不考虑预留空间、制造工艺和安全系数的前提条件下建立的，得到的最优的形状和尺寸。但在实际的生产过程中，都是必须考虑的因素。根据国家GB.2.759.2规定,碳酸饮料是在一定条件下充入二氧化碳的制品，成品中二氧化碳的含量（20时体积倍数）不低于2.0倍。二氧化碳在水中的溶解度与气液体系的绝对压力、液体的温度、接触面积、接触时间等因素相关，在0.1Mpa、温度为15.56时，一容积的水可以溶解相同容积的二氧化碳。由此可知：可乐的制作过程必须在高压、低温下进行，而实际的制作工艺过程和我们推断相符（二氧化碳的溶解过程是在0.50.6Mpa的高压、温度在4的 环境下进行）。易拉罐封装前后存在温度差，根据亨利定律：气体溶解在液体中时，在一定温度下，一定量的液体中溶解的气体量与液体保持平衡时的气体压力成正比。即当温度T一定时： 其中：V-溶解气体量 p-平衡压力 H-亨利常数（取决于气温、压强、物质 ）可知：罐体必须预留一定量的空间，用以存放温差下逸出的气体量，且内部存在气压差，必须要考虑罐体的耐压程度，必然要增加罐底的厚度（弧形结构具有很好的耐压能力，故在此不考虑侧面）。本模型存在这方面的不足，结果亦不是最佳。 设计二：1、基本假设I) 考虑厚度的区别，结合我们测量所得数据，认为上底面厚度是其它部分的三倍。II) 底面和侧面的所使用的材料相同，即认为材料的密度分布均匀。III)考虑易拉罐的预留体积，以测量所得355ml作为标准体积。2、模型建立采用等厚度面积法, 把上底面的面积看作是下底面的三倍，我们可以建立把用材料的最有问题转化为面积最优问题。所得模型2如下：min S= st. 用LINGO软件求解，结果如下（程序见附件2）：面积的最小值：根据所得数据，利用CAD可做图4图4所得数据和我们的模型结果不符,上底面已经变成了一个点,即圆台部分退化为一个圆锥,与原来模型相矛盾，故结果不是原模型的最优解。设计三：1、基本假设I) 考虑厚度的区别，认为上下底面厚度是其它部分的三倍。II) 底面和侧面的所使用的材料相同，即认为材料的密度分布均匀。III)考虑易拉罐的预留体积，以测量所得355ml作为标准体积。2、模型建立根据以上假设，采用等厚度面积法，类似于建立模型2的过程，我们可建立如下模型3：S= st. 用LINGO软件求解，所得结果如下（程序见附件3）： 面积的最小值：根据所得数据，利用CAD可作出图形5图5这个结果同我们的原来模型不符合,即和假设2出现了同样的问题，所以建立的数学模型也不是最优的模型。设计四：1、基本假设I) 考虑厚度的区别，认为下底面厚度是其它部分的三倍。II) 底面和侧面的所使用的材料相同，即认为材料的密度分布均匀。III)考虑易拉罐的预留体积，以测量所得355ml作为标准体积。2、模型建立根据以上假设，采用等厚度面积法，类似于建立模型2的过程，我们可建立如下模型4： S=st. 以上是我用LINGO软件求解，所得结果如下（程序见附件4）：面积的最小值： 根据所得数据，利用CAD可做出图6：图63、模型分析对于这一结果,我们发觉它和实际的尺寸十分接近，但在外形上有了很大的区别。经过仔细观察发现两个模型拥有的结构也十分相似，只是组合的方式不同而已。现假设将模型的圆台剪切下来，填充到模型底部，再把多出的2倍的圆台体积折算成模型增加的高度即 其结果为则此模型的整体高度为这个数据跟我们测量的数据十分相近，由此我们可以猜想设计者最初得到的也可能是我们所得的这个模型,但考虑到制作工艺以及美观等一些因素,将它改进,而改进的结果就是我们现在所用的易拉罐的形状.问题4：利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。一、设计要求鉴于问题3的分析过程，我们所设计出来的易拉罐的图形及有关数据，应该是在不考虑工艺制作时的形状和尺寸的最优。我们将从以下几个方面来考虑如何设计易拉罐：1、经济角度从经济角度而言，制作易拉罐的厂家希望获取最大的利润，在价格一定的情况下，利润是否最大取决于原料、外型设计、生产线效率等方面，我们在此只考虑外型设计，即在体积一定的前提条件下，形状和尺寸如何确定能使所消耗的材料最少。2、视觉角度从视觉角度而言，易拉罐设计要符合一定的审美观。为此，我们在设计中引入黄金分割比：底面直径与罐体高之比符合黄金分割、圆台结合部分的半径和上下圆台半径和之比符合黄金分割，可以达到最佳的视觉效果。3、安全角度 这里的安全角度是相对易拉罐的耐压性而言，根据碳酸饮料的特点可知，罐体要承受一定量气体和液体的压力，我们知道圆弧具有很好的耐压性，故罐体的侧面受力可以不做考虑，但上下底面必须加大厚度，以防止罐体破裂。我们利用测量罐体所得到的数据，将侧面和底面的厚度比按1：3进行设计。4、消费者角度从消费者的角度而言，希望易拉罐饮料口感要好、开起后不易变质、卫生、使用方面、便于携带、握住时要手感舒适。易拉罐的口感、是否容易变质及卫生主要取决于饮料中二氧化碳的含量，根据前面的论述我们可知：在正常气压、温度下，饮料中的溶解的二氧化碳和液体的容积比为1：1，而卫生标准两者比值为1：2；对于这些问题，我们通过增加瓶盖的方案，降低二氧化碳的逸出速度来解决。二、方案设计利用在解决问题三过程中模型4使用的方法和结论，结合模型2具有省材的特点，我们拟将易拉罐设计成：用两个圆台的组合，形成一个形状和尺寸最优的模型。建立如下数学模型： min st. 以上是我用LINGO软件求解，所得结果如下（程序见附见5）:面积的最小值：上述模型的数据和我们所测量的易拉罐数据接近，按照数据比例，利用windows自带画图软件画出的图形（纵截面见下图7）与可口可乐易拉罐瓶形状接近，是满足设计方案中前面三条的最优模型。图7三、设计改进根据方案的可行性分析，我们利用得到的数据，在不改变比例的前提条件下， 结合设计方案，作出两点改进：1、 台结合处尖角处采用圆弧过渡，避免应力集中，强度和刚度的下降，可以提高罐体内部的承压能力，使安全系数进一步提高，同时，给人以感官上的美学效果，及更好的手感。2、 下底部采用所测量易拉罐的设计。利用windows自带画图软件画出的图形（纵截面见图8）图8参考文献：1 王兵团，数学建模基础，北京，清华大学出版社，北京交通大学出版社，2004年4月2 于义良，刘振航，梁邦助，数学建模，北京，中国人们大学出版社，2004年4月3 边馥萍，侯文华，梁冯珍，数学模型方法与算法，北京，高等教育出版社，2005年5月4 周文国，易拉罐的设计方案，中学数学教学，第12页，2002年第1期5 王工一，易拉罐的尺寸，中学数学月刊，第910页，1999年第4期附件：min=3.14*(r1+r2)*(h22+(r1-r2)2)(1/2)+2*3.14*r1*h1+3.14*r12+3.14*r22;3.14*(r12+r22+r2*r1)*h2+9.42*r12*h1=1065;运行结果如下：Local optimal solution found. Objective value: 263.9401 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 4 Variable Value Reduced Cost R1 4.035006 -0.2691735E-08 R2 1.878583 0.000000 H2 2.563619 0.1941567E-08 H1 5.506394 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 263.9401 -1.000000 2 0.000000 -0.1652207附件2：min=3.14*(r1+r2)*(h22+(r1-r2)2)(1/2)+2*3.14*r1*h1+3.14*r12+3*3.14*r22;3.14*(r12+r22+r2*r1)*h2+9.42*r12*h1=1065;Local optimal solution found. Objective value: 265.1824 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 4 Variable Value Reduced Cost R1 4.016103 -0.1005486E-07 R2 0.000000 0.000000 H2 3.592112 0.000000 H1 5.812160 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 265.1824 -1.000000 2 0.000000 -0.1659984附件3：min=3.14*(r1+r2)*(h22+(r1-r2)2)(1/2)+2*3.14*r1*h1+3*3.14*r12+3*3.14*r22;3.14*(r12+r22+r2*r1)*h2+9.42*r12*h1=1065;Feasible solution found. Objective value: 342.0433 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 453 Variable Value Reduced Cost R1 3.113641 -0.2754351E-04 R2 0.000000 0.000000 H2 2.784927 0.000000H1 10.73338 -0.7109372E-05 Row Slack or Surplus Dual Price 1 342.0433 -1.000000 2 0.000000 -0.2141117附件4：min=3.14*(r1+r2)*(h22+(r1-r2)2)(1/2)+2*3.14*r1*h1+3*3.14*r12+3.14*r22;3.14*(r12+r22+r2*r1)*h2+9.42*r12*h1=1065;Feasible solution found. Objective value: 341.2985 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 457 Variable Value Reduced Cost R1 3.120436 0.000000 R2 1.452786 0.2057944E-05 H2 1.982551 0.1051422E-