全国通用2018届高考数学二轮复习第30练圆锥曲线的热点问题练习文.docx

第30练圆锥曲线的热点问题明考情圆锥曲线的热点问题作为直线与圆锥曲线的位置关系的延伸与深化，是高考的必考点，高考中常选取其中一个热点问题作为圆锥曲线的压轴题目.知考向1.范围与最值问题.2.定值、定点问题.3.探索性问题.考点一范围与最值问题方法技巧圆锥曲线的最值和范围问题解题常见思路(1)利用判别式来构造不等式，从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是在两个参数之间建立相关关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.(4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.(5)利用函数值域的求法，确定参数的取值范围.1.已知点A(1，0)，点M是圆C：(x1)2y28上的任意一点，线段MA的垂直平分线与直线CM交于点E.(1)求点E的轨迹方程；(2)若直线ykxm与点E的轨迹有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围.解(1)由题意知|EM|EA|，|CE|EM|2，所以|CE|EA|22|CA|，所以点E的轨迹是以点C，A为焦点的椭圆，其轨迹方程为y21.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则将直线与椭圆的方程联立得消去y，得(2k21)x24kmx2m220，0，m22k21.x1x2，x1x2.因为点O在以PQ为直径的圆的内部，故0，即x1x2y1y20，而y1y2(kx1m)(kx2m)，故由x1x2y1y20，得m2，且满足式，所以m2，所以m的取值范围是.2.如图，已知椭圆y21上两个不同的点A，B关于直线ymx对称.(1)求实数m的取值范围；(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点).解(1)由题意知m0，可设直线AB的方程为yxb，A(x1，y1)，B(x2，y2).由消去y，得x2xb210.因为直线yxb与椭圆y21有两个不同的交点，所以2b220.则x1x2，x1x2，y1y2(x1x2)2b2b.设M为AB的中点，则M，代入直线方程ymx，解得b，由，得m或m.(2)令t，则|AB|，且点O到直线AB的距离为d.设AOB的面积为S(t)，所以S(t)|AB|d，当且仅当t2时，等号成立.故AOB面积的最大值为.3.已知抛物线y24x，直线l：yxb与抛物线交于A，B两点.(1)若x轴与以AB为直径的圆相切，求该圆的方程；(2)若直线l与y轴负半轴相交，求AOB(O为坐标原点)面积的最大值.解(1)联立化简得y28y8b0.由6432b0，解得b2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y28，y1y28b.设圆心Q(x0，y0)，则有x0，y04，r|y0|4，|AB|y1y2|2r8，解得b.所以x02b8，圆心Q，故圆的方程为2(y4)216.(2)因为直线与y轴负半轴相交，所以b0.又直线与抛物线交于两点，由(1)知b2，所以2b0，直线l的方程为yxb，整理得x2y2b0，点O到直线l的距离d，所以SAOB|AB|d4b4.令g(b)b32b2，2b0，g(b)3b24b3b，当b变化时，g(b)，g(b)的变化情况如下表：bg(b)0g(b)极大值由上表可得g(b)的最大值为g.所以当b时，AOB的面积取得最大值.4.(2017山东)在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：1(ab0)的离心率为，焦距为2.(1)求椭圆E的方程；(2)如图，动直线l：yk1x交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为k2，且k1k2.M是线段OC延长线上一点，且|MC|AB|23，M的半径为|MC|，OS，OT是M的两条切线，切点分别为S，T.求SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率.解(1)由题意知e，2c2，所以c1，a，则b1，所以椭圆E的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程得(4k2)x24k1x10，由题意知0，且x1x2，x1x2，所以|AB|x1x2|.由题意可知圆M的半径r为r|AB|.由题设知k1k2，所以k2，因此直线OC的方程为yx，联立方程得x2，y2，因此|OC|.由题意可知，sin.而，令t12k，则t1，(0，1)，因此1，当且仅当，即t2时等号成立，此时k1，所以sin ，因此，所以SOT的最大值为.综上所述，SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为k1.考点二定值、定点问题方法技巧(1)定点问题的常见解法假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求定点；从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意.(2)定值问题的常见解法从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.5.(2017全国)在直角坐标系xOy中，曲线yx2mx2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1).当m变化时，解答下列问题：(1)能否出现ACBC的情况？说明理由；(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.(1)解不能出现ACBC的情况.理由如下：设A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2满足x2mx20，所以x1x22.又点C的坐标为(0，1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为，所以不能出现ACBC的情况.(2)证明BC的中点坐标为，可得BC的中垂线方程为yx2.由(1)可得x1x2m，所以AB的中垂线方程为x.联立又xmx220，可得所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r.故圆在y轴上截得的弦长为23，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.6.已知抛物线C的顶点在坐标原点O，其图象关于y轴对称且经过点M(2，1).(1)求抛物线C的方程；(2)若一个等边三角形的一个顶点位于坐标原点，另两个顶点在抛物线上，求该等边三角形的面积；(3)过点M作抛物线C的两条弦MA，MB，设MA，MB所在直线的斜率分别为k1，k2，当k1k22时，试证明直线AB的斜率为定值，并求出该定值.解(1)设抛物线C的方程为x22py(p0)，由点M(2，1)在抛物线C上，得42p，则p2，抛物线C的方程为x24y.(2)设该等边三角形OPQ的顶点P，Q在抛物线上，且P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，则x4yP，x4yQ，由|OP|OQ|，得xyxy，即(yPyQ)(yPyQ4)0.又yP0，yQ0，则yPyQ，|xP|xQ|，即线段PQ关于y轴对称.POy30，yP|xP|，代入x4yP，得xP4，该等边三角形边长为8，SPOQ48.(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x4y1，x4y2，k1k2(x12x22)2.x1x212，kAB(x1x2)3.7.(2017全国)已知椭圆C：1(ab0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.(1)解由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过P3，P4两点.又由知，椭圆C不经过点P1，所以点P2在椭圆C上.因此解得故椭圆C的方程为y21.(2)证明设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直，设l：xt，由题设知t0，且|t|0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.而k1k2.由题设k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0，即(2k1)(m1)0，解得k.当且仅当m1时，0，于是l：yxm，即y1(x2)，所以l过定点(2，1).8.已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆E的离心率为，椭圆E的一个焦点和抛物线y24x的焦点重合，过直线l：x4上一点M引椭圆E的两条切线，切点分别是A，B.(1)求椭圆E的方程；(2)若在椭圆1(ab0)上的点(x0，y0)处的切线方程是1，求证：直线AB恒过定点C，并求出定点C的坐标.(1)解设椭圆方程为1(ab0)，因为抛物线y24x的焦点是(1，0)，所以c1.又，所以a2，b，所以所求椭圆E的方程为1.(2)证明设切点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l上一点M的坐标为(4，t)，则切线方程分别为1，1.又两切线均过点M，即x1y11，x2y21，即点A，B的坐标都适合方程xy1.又两点确定唯一的一条直线，故直线AB的方程是xy1，显然对任意实数t，点(1，0)都适合这个方程，故直线AB恒过定点C(1，0).考点三探索性问题方法技巧探索性问题的求解方法(1)处理这类问题，一般要先对结论作出肯定的假设，然后由此假设出发，结合已知条件进行推理论证，若推出与已知、定理或公理相符的结论，则存在性得到肯定；若导致矛盾，则否定存在性.若证明某结论不存在，也可以采用反证法.(2)采用特殊化思想求解，即根据题目中的一些特殊关系，归纳出一般结论，然后进行证明，得出结论.9.(2017湖南东部五校联考)已知椭圆E：1的右焦点为F(c，0)且abc0，设短轴的一个端点D，原点O到直线DF的距离为，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且|4.(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在过点P(2，1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得24成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.解(1)由椭圆的对称性知，|2a4，a2.又原点O到直线DF的距离为，bc，又a2b2c24，abc0，b，c1.故椭圆E的方程为1.(2)当直线l与x轴垂直时不满足条件.故可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为yk(x2)1，代入椭圆方程得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80，x1x2，x1x2，32(6k3)0，k.OP24，即4(x12)(x22)(y11)(y21)5，4(x12)(x22)(1k2)5，即4x1x22(x1x2)4(1k2)5，4(1k2)45，解得k，k不符合题意，舍去，存在满足条件的直线l，其方程为yx.10.(2016全国)在直角坐标系xOy中，直线l：yt(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y22px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.解(1)如图，由已知得M(0，t)，P，又N为M关于点P的对称点，故N，ON的方程为yx，代入y22px，整理得px22t2x0，解得x10，x2，因此H.所以N为OH的中点，即2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点，理由如下：直线MH的方程为ytx，即x(yt).代入y22px，得y24ty4t20，解得y1y22t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点.11.在直角坐标系xOy中，曲线C：y与直线l：ykxa(a0)交于M，N两点，(1)当k0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由.解(1)由题设可得M(2，a)，N(2，a)，或M(2，a)，N(2，a).又y，故y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.y在x2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为ya(x2)，即xya0.故所求切线方程为xya0和xya0.(2)存在符合题意的点，理由如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将ykxa代入C的方程，得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a.从而k1k2.当ba时，有k1k20，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故OPMOPN，所以点P(0，a)符合题意.12.已知椭圆C：1(ab1)的离心率e，其右焦点到直线2axby0的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线xym0与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的中点不在圆x2y21内，求实数m的取值范围.(3)过点P的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个定点？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.解(1)由题意知e，所以e2，即a22b2，可得ab，cb.因为右焦点(c，0)到直线2axby0的距离为，所以，又cb，ab，ab1，解得b1，所以a22，c1.故椭圆C的方程为y21.(2)联立方程消去y可得3x24mx2m220，则16m212(2m22)0m.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，y1y2x1x22m2m，所以线段MN的中点坐标为.因为MN的中点不在圆x2y21内，所以221m或m.综上可知，实数m的取值范围为.(3)假设存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过该定点.当ABx轴时，以AB为直径的圆的方程为x2y21；当ABy轴时，以AB为直径的圆的方程为x22.由可得那么这个定点Q的坐标为(0，1).当直线l的斜率存在且不为零时，设直线l的方程为ykx(k0)，代入y21，可得(2k21)x2kx0.设A(x3，y3)，B(x4，y4)，则x3x4，x3x4，则(x3，y31)，(x4，y41)，从而x3x4(y31)(y41)x3x4(1k2)x3x4k(x3x4)(1k2)k0，故，即点Q(0，1)在以AB为直径的圆上.综上，存在定点Q(0，1)，使以AB为直径的圆恒过这个定点.例(12分)已知椭圆C：9x2y2m2(m0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由.审题路线图(1)(2)规范解答评分标准(1)证明设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).2分将ykxb代入9x2y2m2，得(k29)x22kbxb2m20，故xM，yMkxMb.4分于是直线OM的斜率kOM，即kOMk9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.6分(2)解四边形OAPB能为平行四边形.7分因为直线l过点，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k0，k3.由(1)得OM的方程为yx.设点P的横坐标为xP，由得x，即xP .9分将点的坐标代入l的方程，得b，因此xM.10分四边形OAPB为平行四边形，当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP2xM.于是2，解得k14，k24.因为ki0，ki3，i1，2，所以当l的斜率为4或4时，四边形OAPB为平行四边形.12分构建答题模板第一步先假定：假设结论成立.第二步再推理：以假设结论成立为条件，进行推理求解.第三步下结论：若推出合理结果，经验证成立则肯定假设；若推出矛盾则否定假设.第四步再回顾：查看关键点，易错点(特殊情况、隐含条件等)，审视解题规范性.1.已知椭圆C1：1(ab0)的离心率为，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，D，E分别是椭圆的上顶点与右顶点，且1.(1)求椭圆C1的方程；(2)在椭圆C1落在第一象限的图象上任取一点作C1的切线l，求l与坐标轴围成的三角形的面积的最小值.解(1)由题意知e，故ca，ba.(ac)ba21.故a24，即a2，ba1，c，椭圆C1的方程为y21.(2)l与椭圆C1相切于第一象限内的一点，直线l的斜率必存在且为负.设直线l的方程为ykxm(k0)，联立消去y整理可得x22kmxm210.根据题意可得方程有两相等实根，(2km)24(m21)0，整理可得m24k21.直线l与两坐标轴的交点分别为，(0，m)且k0，l与坐标轴围成的三角形的面积S，代入，可得S(2k)2(当且仅当k时取等号)，l与坐标轴围成的三角形面积的最小值为2.2.(2017全国)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y21上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x3上，且1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.(1)解设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0，0)，(xx0，y)，(0，y0).由，得x0x，y0y，因为M(x0，y0)在C上，所以1.因此点P的轨迹方程为x2y22.(2)证明由题意知F(1，0).设Q(3，t)，P(m，n)，则(3，t)，(1m，n)，33mtn，(m，n)，(3m，tn).由1，得3mm2tnn21，又由(1)知m2n22，故33mtn0，所以0，即，又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.3.(2016北京)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|BM|为定值.(1)解由已知，ab1.又a2b2c2，解得a2，b1，c.椭圆方程为y21.(2)证明由(1)知，A(2，0)，B(0，1).设椭圆上一点P(x0，y0)，则y1.当x00时，直线PA的方程为y(x2)，令x0，得yM.从而|BM|1yM|.直线PB方程为yx1.令y0，得xN.|AN|2xN|.|AN|BM|4.当x00时，y01，|BM|2，|AN|2，|AN|BM|4.故|AN|BM|为定值.4.如图所示，已知椭圆M：1(ab0)的四个顶点构成边长为5的菱形，原点O到直线AB的距离为，其中A(0，a)，B(b，0).直线l：xmyn与椭圆M相交于C，D两点，且以CD为直径的圆过椭圆的右顶点P(其中点C，D与点P不重合).(1)求