创新设计高三数学一轮复习 第5知识块第5讲数列的综合应用课件1课件 北师大

1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式2掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.,【考纲下载】,第4讲数列求和,数列求和的方法1公式法(1)等差数列的前n项和Sn.(2)等比数列的前n项和Sn.【思考】回忆一下，推导公式采用的方法是什么？答案：倒序相加法、错位相减法,2倒序相加法：如果一个数列an，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和倒着写的两个式子相加，就得到一个常数列的和，进而求出数列的前n项和提示：倒序相加法用的时候有局限性，只有首末两项的和是个常数时才可以用,3错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项乘积组成，此时可把式子Sna1a2an两边同乘以公比q，得到qSna1qa2qanq，两式错位相减整理即可求出Sn.提示：错位相减法的实质是构造了一个新的等比数列，再用公式法求和，用公式法求和时要弄清是n项的和还是n1项的和,4裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项和变成首尾若干项之和5分组转化法：把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列的求和公式求解提示：用分组转化法求数列的前n项和时，要注意分解后特殊数列适用的前提条件，例如对公比的讨论、对数列项数奇偶性的讨论等,1等差数列an的通项公式为an2n1，则由bn所确定的数列bn的前n项和为()An(n2)B.n(n4)C.n(n5)D.n(n1)解析：an2n1，a1a2ann2.bnn.b1b2bn.,答案：D,2等比数列an的首项为1，公比为q，前n项之和为Sn，则等于()A.B.CSnD.解析：由等比数列an的首项为1，公比为q，则q1时，前n项之和为Sn，等比数列的首项为1，公比为，则数列的前n项之和为；当q1时，有的前n项之和为答案：B,3数列an的通项公式为an(1)n1(4n3)，则S100等于()A200B200C400D400解析：S100(15)(913)(4993)(41003)(4)50200.答案：B,4数列an的前n项和为Sn，若an，则S5等于_解析：答案：,将数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，即能分别求和，然后再合并【例1】求和：Sn思维点拨：分析通项公式，可转化为两个等比数列x2n、与常数列2的求和问题,解：当x1时，Sn4n.当x1时，Sn,用乘公比错位相减法求和时，应注意1要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；2在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式,【例2】设数列an满足a1a，an1can1c，nN*，其中a，c为实数，且c0.(1)求数列an的通项公式；(2)设a，c，bnn(1an)，nN*，求数列bn的前n项和Sn.,解：(1)an11c(an1)，当a1时，an1是首项为a1，公比为c的等比数列an1(a1)cn1，即an(a1)cn11.当a1时，an1仍满足上式数列an的通项公式为an(a1)cn11(nN*)(2)由(1)得,变式2：在数列an中，a13，an13an3n1(nN*)(1)设bn.证明：数列bn是等差数列；(2)求数列an的前n项和Sn.证明：(1)an13an3n1，得bn1bn1，b11，数列bn是首项和公差均为1的等差数列,(2)解：由(1)易知，数列是首项和公差均为1的等差数列，所以n，ann3n.Sn131232(n1)3n1n3n，3Sn132233(n1)3nn3n1，两式相减，得2Snn3n1(31323n)，故Sn,常见的裂项技巧有：,【例3】等差数列an的各项均为正数，a13，前n项和为Sn，bn为等比数列，b11，且b2S264，b3S3960.(1)求an与bn；(2)求的值,解：(1)设an的公差为d，bn的公比为q，则d为正数，an3(n1)d，bnqn1，依题意有解得或(舍去)，故an32(n1)2n1，bn8n1.,(2)由(1)知Sn35(2n1)n(n2)，所以,变式3：已知数列an中，a11，当n2时，其前n项和Sn满足(1)求Sn的表达式；(2)设bn，求bn的前n项和Tn.解：(1)，anSnSn1，(n2)，,即2Sn1SnSn1Sn，由题意Sn1Sn0，式两边同除以Sn1Sn，得(n2)，数列是首项为，公差为2的等差数列,1直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程2重点通过数列通项公式观察数列特点和规律，在分析数列通项的基础上，判断求和类型，寻找求和的方法，或拆为基本数列求和，或转化为基本数列求和求和过程中同时要对项数作出准确判断3含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论,【方法规律】,(12分)(2009广东汕头潮阳区高三期末)已知f(x)，数列an满足a1，an1f(an)(nN*)(1)求证：数列是等差数列；(2)记Sn(x)(x0)，求Sn(x),【阅卷实录】,【教师点评】,【规范解答】,解：(1)由已知得是首项为3，公差d3的等差数列.4分(2)由(1)得33(n1)3n，Sn(x)3x6x29x33nxn，6分,x1时，Sn(1)3693n7分x1时，Sn(x)3x6x29x33nxn，xSn(x)3x26x33(n1)xn3nxn1，(1x)Sn3x3x23xn3nxn1，Sn，11分综上，x1时，Sn(1)n(n1)，x1时，Sn(x).12分,错位相减求和法的适用环境：数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积所组成的，求其前n项和，基本方法是