第二三章答案

1. c取何值时，函数 k=1,2; 0.，为随机变量的概率分布。解：若使f(k)成为概率分布，必须 2.下列函数中，( )可以作为某个随机变量的分布函数.(a)., (b). (c). (d). 其中:解: 分布函数F(x)必须满足: 0F(x)1,F(-)=0, F(+)=1,且单调不减. (a),(c)中F(+)1, (d)中 F(x)不满足单调不减。只有(b)中F(x)满足以上条件.故应选(b).3.设连续型随机变量X的分布函数为 求常数a,b,c,d.解: 因为X是连续型随机变量.所以其分布函数处处连续.由F(-)=a=0; F(+)=d=1; +d解以上方程组得: a=0; d=1; c= -1; b=1.4.设随机变量X的分布函数为:; 其中0ab, 求.解: 因为:F(x)=P(Xx);所以:=0.4-0=0.45.已知离散型随机变量的分布函数为: 求的分布律.解: 因为离散型随机变量分布函数F(x)在xk的跳跃值为:P=xk.所以只可能取: -1, 0, 3;而且P(= -1)=0.4-0=0.4; P(=0)=0.8-0.4=0.4; P(=3)=1-0.8= 0.2;所以的分布律为: -1 0 3 P 0.4 0.4 0.26.已知x，h的概率分布分别为：Pxk= a / k，Ph=k=b / k2 (k=1、2、3)，x与h相互独立，则a=( )，b( )；x，h的联合概率分布为( )。Zxh的概率分布为( )。解：1 x与h相互独立 x，h的联合概率分布为： Px=i h=k = i=1、2、3；k=1、2、3Zxh的概率分布为： Z 2 1 0 1 2 (a1/539) P 24a 66a 251a 126a 72a7.设随机变量(X,Y)的联合密度为: 求: (1) 常数c; (2)PX2+Y2 r2 (r R) 。解: 因为: ; 所以 (2) PX2+Y2 r2=. 8 设袋内有编号为1，2，3，4，5的5个球，今从中任取3个，以表示取出的3个球的最大号码，求的分布律,分布函数F(x)及P(34).解：(1).随机变量的取值为3，4，5。=3=取出的3个数为1，2，3; P=3= =4=从1，2，3中任取2个，且取到4; P=4= =5=从1，2，3，4中任取2个，且取到5 P=5= 故的分布律为： 3 4 5P (2)的分布函数为： F(x)=Px= (3). P(34)=F(4)-F(3)= 9.一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量X的分布函数.解：当x0时:PXx是不可能事件， 于是:F(x)=PXx=0当0 x 2时: P0 X x=kx2, k是一个常数.因为：P0 X2=1， 所以：4k=1,即 k= 得: P0 X x=于是:F(x)=PXx=P(X2时 ，F(x)=PXx=1故：X的分布函数为： ; 10. 设随机变量X的密度函数为： 且 求： (1)常数a, b; (2) (3)X的分布函数F(x )。解：(1)由密度函数的性质: 解方程组: 得: a= -1, b=2(2)(3)因为：F ( x ) 所以：当x0:F(x)=0 当0x 1: F ( x )= 当1x 2：=2x1 当2x 于是得到 x 的分布函数为： F(x) 11设随机变量XB(2, p), YB(3, p), 若P(X1)=,求PY1.解: 因为: XB(2, p), P(X1)= P(X=2)=, 所以: , 因为: YB(3, p), 所以: PY1=1-PY=012.设随机变量XN(m, 42), YN(m, 52), 记：p1=PXm -4, p2=PYm +5则( ).(a)对任何实数m ，都有：p1=p2; (b) 对任何实数m ，都有：p1p2;解：因为：XN(m, 42), YN(m, 52) 所以：p1=PXm -4=，p2=PYm +5=1- PY 1, Y -1=( )。解:设A“X1”， B“Y1”，则：PX1,Y-1=P()=1P(AB) =1P(A)P(B)+P(AB) 又因为PX1,Y1= P(AB)=0.25P(A)=P X1, P(B)=P Y1代入得: PX1,Y-1=11+0.25=0.25.14.设X服从(0, 6)上均匀分布，则A的特征值都是实数的概率为( ).解:方阵的特征多项式: f(l)=A的特征值都是实数的充要条件为:X2-40,且X服从(0, 6)上均匀分布.PA的特征值都是实数=P X24= P X2.15.某单位招聘155 人,按考试成绩录用,共有526人报名,假设报名者考试成绩XN(),已知90分以上12人,60分以下83人,若从高分到低分依次录取,某人成绩为78分,问此人是否能被录取?解:要解决此问题首先确定;因为考试人数很多用频率近似概率. 根据已知条件:PX90= 又因为 ; 所以 反查标准正态表得: 同理: 又因为: 0.15880.5; 反查标准正态表得: , 联立解得:. 所以:.某人是否能被录取,关键为录取率,已知录取率为:看某人是否能被录取,解法有2:方法1:因为: 因为(录取率),所以此人能被录取.方法2 .看录取分数限,设备录取者最低分为.则:=0.2947(录取率)反查标准正态表得:解得：=75。此人成绩78分高于最低分，所以可以录取。16. 设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布，则随机变量YX2在(0,4)内的概率分布密度fy(y)=( )。解：因为y=x2在(0, 4)上严格单调；反函数：X的密度函数： 所以Y 的密度函数为：17.设随机变量x服从上的均匀分布.求随机变量h = cosx 的概率密度函数.解: 随机变量x的概率密度为:函数y=cosx在不是单调函数, 使用分布函数法. 先求随机变量h的分布函数.y=cosx0,1 当y 0时: 当y 1时: 当0y1时：由图知： 其中x1= -arc cosy, x2= arc cosy.于是: 所以.的概率密度为:18.设 (X,Y)的联合密度为：求：(1)常数b; (2)P0X1, 0Y2; (3) PX+Y1; (4)(X,Y)的联合分布函数。 (5)X与Y是否独立?解: (1)由 得:b=12.(2)P0X1, 0Y2(3).PX+Y0,y0时: 所以：(5)因为X的分布函数为:同理Y的分布函数为: 因为: 所以X与Y相互独立.19. 若(,)的联合概率分布如左表所示：求：a，b取什么值时，与相互独立。P xh123 1 2a解：由概率分布的性质知： a+= 又与相互独立， P=2 =2=P=2P=2而P=2=a +；P=2=+a+；P=2 =2=a a=(a+)(+a+) 把 联立结方程组得： a=，=。20.设(X,Y)的联合密度函数为:试证明X与Y不相互独立,但X2与Y2相互独立。证明:因为关于X的边缘密度:, 所以:当时: 所以: 同理: 因为:所以X与Y不是相互独立。令:U=X2, V=Y2; U与V的密度函数分别为,; 设：U与V的分布函数为,则: 当:时: ;当:时:当: 时: U的密度函数同理V的密度函数U与V的联合分布函数:当,时: 当或时: 当,时: 当,时: 当,时: ;所以:U与V的联合密度函数: 因为:, 所以:U与V相互独立,即X2与Y2相互独立。注意：U与V独立性的判断也可以用：FUV(u,v)=FU(u)FV(v).21. 随机变量与相互独立，服从0，1上均匀分布，的密度函数为：,求Z=+的密度函数。解：由题意知，的密度函数为：; 的密度函数为：，相互独立，的联合密度为： 又由随机变量和的分布公式知： Z的密度函数为： 当z0或z3时：=0;=0当0z1时： 当1z2时： 当2z3时：22. 设随机变量X，Y相互独立，其概率密度分别为： ; 求随机变量Z=2X+Y的密度。 注：以下也写作解:方法1：因为X，Y相互独立，所以(X，Y)的联合概率密度为： Z的分布函数： 如图所示：当0，即z0时：当01，即0z2时：当1，即z2时： 所以 ;对FZ(Z)求导得:Z的概率密度函数方法2：X的概率密度为： T=2X的密度函数为：Z=T+Y的密度:而当z0 时:当0z2时:当z2时： 所以 Z的概率密度函数为：23. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为：求随机变量ZX2Y的分布函数。解： 由题意知:当Z0时:当0Z时:注意:求分布函数可转