二倍角的正弦.doc

二倍角的正弦、余弦、正切 剖析：1每个公式的特点，嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的， 如：是的倍角。 2熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角降次，降角升次） 3特别注意这只公式的三角表达形式，且要善于变形： 这两个形式今后常用三、 例题：例一、（公式巩固性练习）求值： 1sin2230cos2230= 2 3 4例二、1 2 3 4 例三、若tan q = 3，求sin2q - cos2q 的值。 解：sin2q - cos2q = 例四、条件甲：，条件乙：， 那么甲是乙的什么条件？ 解： 即 当a在第三象限时，甲 乙；当a 0时，乙 甲 甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件。 二倍角公式的应用 cos20cos40cos80 = 例二、求证：sinq(1+sinq)+cosq(1+cosq)sinq(1-sinq)+cosq(1-cosq) = sin2q 证：左边 = (sinq+sin2q+cosq+cos2q)(sinq-sin2q+cosq-cos2q) = (sinq+ cosq+1)(sinq+cosq -1) = (sinq+ cosq)2 -1 = 2sinqcosq = sin2q = 右边 原式得证四、 关于“升幂”“降次”的应用注意：在二倍角公式中，“升次”“降次”与角的变化是相对的。在解题中应视题目的具体情况灵活掌握应用。（以下四个例题可视情况酌情选用）例三、求函数的值域。（教学与测试P115例一） 解： 降次 例四、求证：的值是与a无关的定值。 证： 降次 的值与a无关例五、化简： 升幂 解： 例六、求证：(P43 例二) 升幂 证：原式等价于： 左边 右边五、 三角公式的综合运用例七、利用三角公式化简： (P4344 例三) 解：原式 续二倍角公式的应用，推导万能公式 令AOB = q , 则AB = acosq OA = asinqB C a qA O D S矩形ABCD= acosq2asinq = a2sin2qa2 当且仅当 sin2q = 1， 即2q = 90，q = 45时, 等号成立。 此时，A,B两点与O点的距离都是一、 半角公式在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的例一、 求证： 证：1在 中，以a代2a，代a 即得： 2在 中，以a代2a，代a 即得： 3以上结果相除得： 注意：1左边是平方形式，只要知道角终边所在象限，就可以开平方。 2公式的“本质”是用a角的余弦表示角的正弦、余弦、正切 3上述公式称之谓半角公式（大纲规定这套公式不必记忆） 4还有一个有用的公式：（课后自己证）二、 万能公式例二、 求证： 证：1 2 3 注意：1上述三个公式统称为万能公式。（不用记忆） 2这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切 即：所以利用它对三角式进行化简、求值、证明， 可以使解题过程简洁 3上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小 例三、已知，求3cos 2q + 4sin 2q 的值。 解： cos q 0 (否则 2 = - 5 ) 解之得：tan q = 2 原式1已知sina + sinb = 1，cosa + cosb = 0，试求cos2a + cos2b的值。(1) 2已知，tana =，tanb =，求2a + b 的大小。 3已知sinx =，且x是锐角，求的值。4下列函数何时取得最值？最值是多少？ 1 2 3 5若a、b、g为锐角，求证：a + b + g = 6求函数在上的最小值。 倍角公式，推导“和差化积”及“积化和差”公式 三、 复习倍角公式、半角公式和万能公式的推导过程：例一、 已知，tana =，tanb =，求2a + b 解： 又tan2a 0，tanb 0 ， 2a + b = 例二、 已知sina - cosa = ，求和tana的值 解：sina - cosa = 化简得： 即 六、 积化和差公式的推导 sin(a + b) + sin(a - b) = 2sinacosb sinacosb =sin(a + b) + sin(a - b)sin(a + b) - sin(a - b) = 2cosasinb cosasinb =sin(a + b) - sin(a - b)cos(a + b) + cos(a - b) = 2cosacosb cosacosb =cos(a + b) + cos(a - b)cos(a + b) - cos(a - b) = - 2sinasinb sinasinb = -cos(a + b) - cos(a - b)这套公式称为三角函数积化和差公式，熟悉结构，不要求记忆，它的优点在于将“积式”化为“和差”，有利于简化计算。（在告知公式前提下）例三、 求证：sin3asin3a + cos3acos3a = cos32a 证：左边 = (sin3asina)sin2a + (cos3acosa)cos2a = -(cos4a - cos2a)sin2a + (cos4a + cos2a)cos2a = -cos4asin2a +cos2asin2a +cos4acos2a +cos2acos2a = cos4acos2a + cos2a = cos2a(cos4a + 1) = cos2a2cos22a = cos32a = 右边 原式得证七、 和差化积公式的推导若令a + b = q，a - b = ，则， 代入得： 这套公式称为和差化积公式，其特点是同名的正（余）弦才能使用，它与积化和差公式相辅相成，配合使用。例四、 已知cosa - cos b = ，sina - sinb = ，求sin(a + b)的值 解：cosa - cos b = ， sina - sin b =， 综合练习课 1 常用技巧： 1化弦 2化“1” 3正切的和、积 4角变换 5“升幂”与“降次” 6辅助角八、 例题：例一、已知 （角变换） 解：1 计算：(1 +)tan15- （公式逆用）解：原式= (tan45+ tan60)tan15-=tan105(1-tan45tan60)tan15 - = (1 -) tan105 tan15 -= (1 -)(- 1)- = - 12 已知sin(45 - a) = ，且45 a 90，求sina （角变换）解：45 a 90 -45 45-a 0 cos(45-a) = cos2a = sin(90-2a) = sin2(45-a) = 2sin(45-a)cos(45-a) =即 1 - sin2a = ， 解之得：sina = 例二、已知q是三角形中的一个最小的内角， 且，求a的取值范围解：原式变形： 即，显然 （若，则 0 = 2） 又， 即： 解之得：例三、试求函数的最大值和最小值。 若呢？ 解：1设 则 2若，则， 即例四、已知tana = 3tan(a + b)，求sin(2a + b)的值。 解：由题设： 即sina cos(a + b) = 3sin(a + b)cosa 即sin(a + b) cosa + cos(a + b)sina = 2sina cos(a + b) - 2cosasin(a + b) sin(2a + b) = -2sinb 又 sinb sin(2a + b) = -1正弦、余弦函数的图象四、 提出课题：正弦、余弦函数的图象解决的方法：用单位圆中的正弦线（几何画法）。五、 作图：边作边讲（几何画法）y=sinx x0,2pa) 先作单位圆，把O1十二等分（当然分得越细，图象越精确）b) 十二等分后得对应于0, ,2p等角，并作出相应的正弦线，c) 将x轴上从0到2p一段分成12等份(2p6.28)，若变动比例，今后图象将相应“变形”d) 取点，平移正弦线，使起点与轴上的点重合e) 描图（连接）得y=sinx x0,2pf) 由于终边相同的三角函数性质知 y=sinx x2kp,2(k+1)p kZ,k0x6pyo-p-12p3p4p5p-2p-3p-4p1p与函数y=sinx x0,2p图象相同，只是位置不同每次向左（右）平移2p单位长六、 正弦函数的五点作图法 y=sinx x0,2p 介绍五点法 五个关键点(0,0) (,1) (p,0) (,-1) (2p,0) 优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚可以七、 作y=cosx的图象与正弦函数关系 y=cosx=cos(-x)=sin-(-x)=sin(x+)结论：1y=cosx, xR与函数y=sin(x+) xR的图象相同2将y=sinx的图象向左平移即得y=cosx的图象yxo1-13也同样可用五点法作图：y=cosx x0,2p的五个点关键是(0,1) (,0) (p,-1) (,0) (2p,1) x6pyo-p-12p3p4p5p-2p-3p-4p1p4类似地，由于终边相同的三角函数性质y=cosx x2kp,2(k+1)p kZ,k0的图象与 y=cosx x0,2p 图象形状相同只是位置不同（向左右每次平移个单位长度）正弦函数、余弦函数的性质之定义域与值域过程：一、复习：正弦和余弦函数图象的作法yxo1-1yxo1-1二、研究性质：1 定义域：y=sinx, y=cosx的定义域为R2 值域： 1引导回忆单位圆中的三角函数线，结论：|sinx|1, |cosx|1 （有界性） 再看正弦函数线（图象）验证上述结论y=sinx, y=cosx的值域为-1，12对于y=sinx 当且仅当x=2kp+ kZ时 ymax=1当且仅当时x=2kp- kZ时 ymin=-1对于y=cosx 当且仅当x=2kp kZ时 ymax=1当且仅当x=2kp+p kZ时 ymin=-13 观察R上的y=sinx,和y=cosx的图象可知当2kpx0