2015年浙江省温州市高考数学一模试卷(理科)

2015年浙江省温州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）（2015温州一模）设集合P=x|y=+1，Q=y|y=x3，则PQ=（） A B 0，+） C （0，+） D 1，+）【考点】： 交集及其运算【专题】： 集合【分析】： 求出P中x的范围确定出P，求出Q中y的范围确定出Q，找出P与Q的交集即可【解析】： 解：由P中y=+1，得到x0，即P=0，+），由Q中y=x3，得到yR，即Q=R，则PQ=0，+），故选：B【点评】： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）（2015温州一模）已知直线l：y=x与圆C：（xa）2+y2=1，则“a=”是“直线l与圆C相切”的（） A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件【考点】： 必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】： 直线与圆；简易逻辑【分析】： 根据直线和圆的位置关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断【解析】： 解：若直线l与圆C相切，则圆心到直线的距离d=，即|a|=，解得a=，则“a=”是“直线l与圆C相切”充分不必要条件，故选：A【点评】： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键3（5分）（2015温州一模）已知sinx+cosx=，则cos（x）=（） A B C D 【考点】： 两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数【专题】： 三角函数的求值【分析】： 变形已知式子可得sinx+cosx=，进而可得coscosx+sinsinx=，由两角差的余弦公式可得【解析】： 解：sinx+cosx=，sinx+cosx=，coscosx+sinsinx=cos（x）=故选：B【点评】： 本题考查两角和与差的三角函数公式，属基础题4（5分）（2015温州一模）下列命题正确的是（） A 垂直于同一直线的两条直线互相平行 B 平行四边形在一个平面上的平行投影一定是平行四边形 C 锐角三角形在一个平面上的平行投影不可能是钝角三角形 D 平面截正方体所得的截面图形不可能是正五边形【考点】： 命题的真假判断与应用【专题】： 简易逻辑【分析】： A，利用墙角相互垂直的三条线可判断A；B，当平行四边形所在的平面与其射影平面垂直时，平行四边形在其射影平面上的平行投影不是平行四边形，可判断B；C，锐角三角形在一个平面上的平行投影依然是锐角三角形，可判断C；D，平面截正方体所得的截面图形不可能是正五边形，可判断D【解析】： 解：对于A，墙角相互垂直的三个平面的交线两两垂直相交，故A错误；B，当平行四边形所在的平面与其射影平面垂直时，平行四边形在其射影平面上的平行投影可为一直线，故B错误；C，锐角三角形在一个平面上的平行投影仍然是锐角三角形，故C错误；D，平面截正方体所得的截面图形可以是正三角形，正四边形，正六边形，但不可能是正五边形，故D正确故选：D【点评】： 本题考查命题的真假判断与应用，着重考查空间直线与直线的位置关系，平行投影与截面图的应用，属于中档题5（5分）（2015温州一模）若函数f（x）=sinx（0）在，上是单调函数，则应满足的条件是（） A 01 B 1 C 01或=3 D 03【考点】： 正弦函数的图象【专题】： 计算题；三角函数的图像与性质【分析】： 根据函数f（x）=sinx（0）在区间，上单调，分情况讨论，建立不等式，即可求取值范围【解析】： 解：若函数f（x）=sinx（0）在，上是单调递减令+2kx+2k（kZ），则+x+（kZ），且，=3若函数f（x）=sinx（0）在，上是单调递增令+2kx+2k（kZ），则+x+且01综上可得：01，=3故选：C【点评】： 本题考查函数的单调性，考查解不等式，考查学生的计算能力，属于基础题6（5分）（2015温州一模）设F为双曲线=1（a0，b0）的右焦点，P是双曲线上的点，若它的渐近线上存在一点Q（在第一象限内），使得=2，则双曲线离心率的取值范围是（） A （1，3） B （3，+） C （1，2） D （2，+）【考点】： 双曲线的简单性质【专题】： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 设出双曲线的右焦点，一条渐近线，以及右顶点，求出FP的最小值，即有2a小于ca，再由离心率公式计算即可得到【解析】： 解：设双曲线=1的右焦点F（c，0），一条渐近线方程为y=x，右顶点为P（a，0），由|FP|FP|=ca，当P与P重合，Q与O重合，则有|OP|=a，则2aca，即为c3a，即有e=3，由于e1，则1e3故选A【点评】： 本题考查双曲线的方程和性质，考查双曲线的点到焦点的距离的最小值，考查离心率的求法，属于基础题7（5分）（2015温州一模）长方体ABCDA1B1C1D1中，已知二面角A1BDA的大小为，若空间有一条直线l与直线CC1，所成的角为，则直线l与平面A1BD所成角的取值范围是（） A ， B ， C ， D 0，【考点】： 直线与平面所成的角【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： 如图所示，过点A作AOBD，连接A1O，由三垂线定理可得BDA1O，则AOA1为二面角A1BDA的平面角把直线l平移到AM，则A1AM=MAO=过点A作APA1O，则AP平面A1BD利用线面角的定义可得：AM（即直线l）与平面A1BD所成的最大角为AMA1假设，AN与直线OP相交于点N，则AN（即直线l）与平面A1BD所成的最小角为ANP【解析】： 解：如图所示，过点A作AOBD，连接A1O，由三垂线定理可得BDA1O，则AOA1为二面角A1BDA的平面角，AOA1=把直线l平移到AM，则A1AM=MAO=过点A作APA1O，则AP平面A1BDAM（即直线l）与平面A1BD所成的最大角为AMA1=MAO+MOA=假设，AN与直线OP相交于点N，则AN（即直线l）与平面A1BD所成的最小角为ANP=PA1AA1AN=直线l与平面A1BD所成角的取值范围是故选：C【点评】： 本题考查了二面角的平面角、线面角、三垂线定理、异面直线所成的角，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题8（5分）（2015温州一模）过边长为2的正方形中心作直线l将正方形分为两个部分，将其中的一个部分沿直线l翻折到另一个部分上则两个部分图形中不重叠的面积的最大值为（） A 2 B 2（3） C 4（2） D 4（32）【考点】： 相似三角形的性质【专题】： 计算题；空间位置关系与距离【分析】： A点与中轴线重合，能得到不重叠面积的最大值，不重叠为四个等腰直角三角形，且全等，其斜边的高为1，即可得出结论【解析】： 解：如图：A点与中轴线重合，能得到不重叠面积的最大值若G向B靠近不重叠面积将会越来越小，G重合B，不重叠面积为0若G向C靠近不重叠面积将会越来越小，G重合C，不重叠面积为0不重叠为四个等腰直角三角形，且全等，其斜边的高为1不重叠面积为（1）24=128，故选：D，【点评】： 本题考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，比较基础二、填空题：本大题共7小题，前4题每题两空，每空3分，后3题每空4分，共36分9（6分）（2015温州一模）设函数f（x）=，则f（2）=4；使f（a）0的实数a的取值范围是（0，1）【考点】： 分段函数的应用；对数函数的单调性与特殊点【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 利用分段函数求出函数值，通过指数与对数得到不等式求解即可【解析】： 解：函数f（x）=，则f（2）=4；a0时，log2a0，可得：a（0，1）a0时，无解故答案为：4；（0，1）【点评】： 本题考查分段函数的应用幂函数的值的求法，指数与对数不等式的求法，考查计算能力10（6分）（2015温州一模）设an为等差数列，Sn为它的前n项和若a12a2=2，a32a4=6，则a22a3=4，S7=28【考点】： 等差数列的性质【专题】： 计算题；等差数列与等比数列【分析】： 利用a12a2=2，a32a4=6，求出d=2，a1=2，再求出结论【解析】： 解：a12a2=2，a32a4=6，两式相减可得2d4d=4，d=2，a1=2，a22a3=02（24）=4；S7=72+（2）=28，故答案为：4，28【点评】： 本题考查等差数列的通项与求和，考查学生的计算能力，比较基础11（6分）（2015温州一模）如图是某几何体的三视图（单位：cm），正视图是等腰梯形，俯视图中的曲线是两个同心的半圆，侧视图是直角梯形则该几何体的体积等于14cm3，它的表面积等于20+21cm2【考点】： 由三视图求面积、体积【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： 根据几何体的三视图，得出该几何体是半个圆台，由此求出它的体积与表面积【解析】： 解：根据几何体的三视图，得；该几何体是下底面为半径等于4的半圆面，上底面为半径等于1的半圆面，高为4的圆台的一部分，该几何体的体积为V几何体=（12+14+42）4=14；该几何体的表面积为S几何体=12+42+（4+1）+（2+8）4=+8+20=20+21故答案为：14；21+20【点评】： 本题考查了利用空间几何体的三视图求体积与表面积的应用问题，是基础题目12（6分）（2015温州一模）抛物线y=ax2的焦点为F（0，1），P为该抛物线上的动点，则a=；线段FP中点M的轨迹方程为x22y+1=0【考点】： 圆锥曲线的轨迹问题【专题】： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 由题意可得可得2p=4，由此求得a的值；设M（x，y），P（m，n），则m=2x，n=2y1，利用P为抛物线上的动点，代入抛物线方程，即可得出结论【解析】： 解：抛物线y=ax2即x2=y，根据它的焦点为F（0，1）可得2p=4，a=，设M（x，y），P（m，n），则m=2x，n=2y1，P为抛物线上的动点，2y1=4x2，即x22y+1=0故答案为：；x22y+1=0【点评】： 本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，考查代入法求轨迹方程，属于中档题13（4分）（2015温州一模）已知a，bR，若a2+b2ab=2，则ab的取值范围是（，2【考点】： 基本不等式【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 灵活应用基本不等式a2+b22ab，即可求出ab的取值范围【解析】： 解：当ab0时，a，bR，且a2+b2ab=2，a2+b2=ab+2，又a2+b22ab当且仅当a=b时“=”成立；ab+22ab，ab2，当且仅当a=b=时“=”成立；当ab0时，又a2+b22ab，ab+22ab，3ab2，ab；综上，ab的取值范围是（，2故答案为：（，2【点评】： 本题考查了基本不等式的应用问题，解题时应注意不等式成立的条件是什么14（4分）（2015温州一模）设实数x，y 满足不等式组，若|axy|的最小值为0，则实数a的最小值与最大值的和等于【考点】： 简单线性规划【专题】： 不等式的解法及应用【分析】： 作出不等式组对应的平面区域，若|axy|的最小值为0，则等价为axy=0与区域有交点，利用数形结合即可得到结论【解析】： 解：若|axy|的最小值为0，则等价为axy=0与区域有交点，作出不等式组对应的平面区域，则y=ax与区域有交点，由，解得，即B（，）由解得，即A（，），当直线y=ax经过A时，a=3，经过B时，a=，则a3，故实数a的最小值与最大值的和等于+3=，故答案为：【点评】： 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，数形结合是解决线性规划问题中的基本方法15（4分）（2015温州一模）设|=|=2，AOB=60，且+=2，则在上的投影的取值范围是（1，2【考点】： 平面向量的基本定理及其意义【专题】： 平面向量及应用【分析】： 可将用，数量积表示出来，再由|=|=2，且AOB=60，计算出的值，即可得到在上的投影的取值范围【解析】： 解：由于，且+=2，则=+（2）=2+（2），又由|=|=2，AOB=60，则=4+42=2+4，=，故在上的投影为=，当2时，上式=（1，0）；当2时，上式=；=0，上式=1；20，上式=0，1）；0，上式=（1，2；综上，在上的投影的取值范围是（1，2故答案为：（1，2【点评】： 本题考点是向量在几何中的应用，综合考查了向量三角形法则，向量的线性运算，向量的数量积的运算及数量积公式，熟练掌握向量的相关公式是解题的关键，本题是向量基本题三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（15分）（2015温州一模）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ab=2，c=4，sinA=2sinB（）求ABC的面积；（）求sin（2AB）【考点】： 三角函数中的恒等变换应用【专题】： 计算题；三角函数的求值；解三角形【分析】： 解法一：（I）由已知及正弦定理可求a，b的值，由余弦定理可求cosB，从而可求sinB，即可由三角形面积公式求解（II）由余弦定理可得cosA，从而可求sinA，sin2A，cos2A，由两角差的正弦公式即可求sin（2AB）的值解法二：（I）由已知及正弦定理可求a，b的值，又c=4，可知ABC为等腰三角形，作BDAC于D，可求BD=，即可求三角形面积（II）由余弦定理可得cosB，即可求sinB，由（I）知A=C2AB=2B从而sin（2AB）=sin（2B）=sin2B，代入即可求值【解析】： 解：解法一：（I）由sinA=2sinBa=2b又ab=2，a=4，b=2 cosB= sinB= SABC=acsinB= （II）cosA=sinA= sin2A=2sinAcosA=2cos2A=cos2Asin2A= sin（2AB）=sin2AcosBcos2AsinB= 解法二：（I）由sinA=2sinBa=2b又ab=2，a=4，b=2 又c=4，可知ABC为等腰三角形 作BDAC于D，则BD= SABC=（II）cosB= sinB= 由（I）知A=C2AB=2B sin（2AB）=sin（2B）=sin2B=2sinBcosB =2=【点评】： 本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的应用，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题17（15分）（2015温州一模）如图，在四面体ABCD中，已知ABD=CBD=60，AB=BC=2，（1）求证：ACBD；（2）若平面ABD平面CBD，且BD=，求二面角CADB的余弦值【考点】： 二面角的平面角及求法；棱锥的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系【专题】： 空间位置关系与距离；空间角【分析】： （1）由已知得ABDCBD，从而AD=CD，取AC的中点E，连结BE，DE，则BEAC，DEAC，从而AC平面BED，由此能证明ACBD（2）过C作CHBD于点H，由已知得CH平面ABD，过H做HKAD于点K，连接CK，则CKH为二面角CADB的平面角，由此能求出二面角CADB的余弦值【解析】： （1）证明：ABD=CBD，AB=BC，BD=BDABDCBD，AD=CD取AC的中点E，连结BE，DE，则BEAC，DEAC又BEDE=E，BE平面BED，BD平面BED，AC平面BED，ACBD（2）解：过C作CHBD于点H则CH平面BCD，又平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCD=BD，CH平面ABD 过H做HKAD于点K，连接CK CH平面ABD，CHAD，又HKCH=H，AD平面CHK，CKADCKH为二面角CADB的平面角 连接AHABDCBD，AHBDABD=CBD=60，AB=BC=2，AH=CH=，BH=1BD=，DH= AD=，HK=tan=，cos，二面角CADB的余弦值为【点评】： 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养18（15分）（2015温州一模）已知椭圆C的下顶点为B（0，1），B到焦点的距离为2（）设Q是椭圆上的动点，求|BQ|的最大值；（）直线l过定点P（0，2）与椭圆C交于两点M，N，若BMN的面积为，求直线l的方程【考点】： 直线与圆锥曲线的综合问题【专题】： 圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】： （I）由椭圆的下顶点为B（0，1）知b=1由B到焦点的距离为2知a=2可得椭圆C的方程为设Q（x，y），利用两点之间的距离公式及其椭圆的方程可得|BQ|=再利用二次函数的单调性即可得出（II）由题设可知l的斜率必存在由于l过点P（0，2），可设l方程为y=kx+2与椭圆的方程联立可得（1+4k2）x2+16kx+12=0由0可得设M（x1y1），N（x2，y2），解法一：利用求根公式解出x1，x2，利用=，解出k即可解法二：，B到l的距离利用=，解出k即可【解析】： 解：（I）由椭圆的下顶点为B（0，1）知b=1由B到焦点的距离为2知a=2椭圆C的方程为设Q（x，y），=当时，（II）由题设可知l的斜率必存在由于l过点P（0，2），可设l方程为y=kx+2联立消去y得（1+4k2）x2+16kx+12=0由=（16k）248（1+4k2）=16（4k23）0（*）设M（x1y1），N（x2，y2），则解法一：=解法二：，B到l的距离=解得k2=1或均符合（*）式k=1或所求l方程为xy+2=0与【点评】： 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题19（15分）（2015温州一模）对于任意的nN*，数列an满足=n+1（）求数列an的通项公式；（）求证：对于n2，【考点】： 数列与不等式的综合【专题】： 点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用【分析】： （）由，取n=n1得另一递推式，作差后即可得到n2时数列的通项公式