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文档简介

2.3数学归纳法(2),数学归纳法的概念,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤来进行(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0时命题成立,(2)(归纳递推)假设当n=k(kN*，kn0)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立,只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。,3、数学归纳法只适用于和正整数有关的命题。,2、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设，否则就不是数学归纳法了。,1、三个步骤缺一不可:,第一步是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为归纳基础。,第二步是归纳递推，是推理的依据，是判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中“假设n=k时成立”称为归纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成立)。没有第一步，第二步就没有了意义；没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没有可靠性。,注意,第三步是总体结论，也不可少。,注意,第二步中证明n=k+1命题成立是全局的主体，力求详细，不可随意省略。方法：“凑”成n=k时的形式（这样才好利用归纳假设）,证明：（1）当n=1时，左边1，右边等式成立。（2）假设当n=k时，等式成立，就是,那么,例2.用数学归纳法证明:当,这就是说，当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2），可知等式对任何nN都成立。,如下证明对吗？,证明：当n=1时，左边,右边,等式成立。设n=k时，有,即n=k+1时，命题成立。根据问可知，对nN，等式成立。,第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明。,1）第一步应做什么？此时n0=，左=，,2）假设n=k时命题成立，即,当n=k时，等式左边共有项，第k项是。,k,k2,思考？,1,12,例3用数学归纳法证明,3）当n=k+1时，命题的形式是,4）此时，左边增加的项是,5)从左到右如何变形？,证明：（1）当n=1时，左边121，右边等式成立。（2）假设当n=k时，等式成立，就是,那么,用数学归纳法证明,这就是说，当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2），可知等式对任何nN都成立。,1.用数学归纳法证明等式1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，当n1时，左边所得项是；当n2时，左边所得项是；,1+2+3,1+2+3+4+5,A、1,B、1+a,C、1+a+a2,D、1+a+a2+a3,C,课堂练习：,练习,例题1、求证:(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1),1.已知:,则等于()A:B:C:D:,C,练习：,点拨:对这种类型的题目,一般先利用n的特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立.,1.数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法.主要有两个步骤一个结论:,【归纳奠基】,（1）证明当n取第一个值n0（如n0=1或2等）时结论正确,（2）假设n=k时结论正确，证明n=k+1时结论也正确,（3）由（1）、（2）得出结论,【归纳递推
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