2020年河南省开封市高考数学一模试卷文科.pdf

第1页（共29页） 2020 年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）年河南省开封市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分） （2020开封一模） 已知集合 Ax|x2 或 x3， BN， 则 B （RA） （ ） A1，0，1，2 B1 C1，0 D0，1，2 2 （5 分） （2020开封一模）复数的实部小于虚部，则实数 a 的取值范围是（ ） A （，0） B （，1） C （0，+） D （1，+） 3 （5 分） （2020开封一模）已知非零向量 ， ，则“ 0”是“向量 ， 夹角为锐角” 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4 （5 分） （2020开封一模）已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴正半轴重合，终边经 过点（1，2） ，则 tan2（ ） A B C D 5 （5 分） （2020开封一模）已知定义在m5，12m上的奇函数 f（x） ，满足 x0 时，f （x）2x1，则 f（m）的值为（ ） A15 B7 C3 D15 6 （5 分） （2020开封一模）某省普通高中学业水平考试成绩按人数所占比例依次由高到低 分为 A，B，C，D，E 五个等级，A 等级 15%，B 等级 30%，C 等级 30%，D，E 等级共 25%其中 E 等级为不合格，原则上比例不超过 5%该省某校高二年级学生都参加学业 水平考试，先从中随机抽取了部分学生的考试成绩进行统计，统计结果如图所示若该 校高二年级共有 1000 名学生，则估计该年级拿到 C 级及以上级别的学生人数有（ ） A45 人 B660 人 C880 人 D900 人 第2页（共29页） 7 （5 分） （2020开封一模）2009 年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为 15 的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后 一排测得旗杆顶端的仰角分别为 60和 30，且第一排和最后一排的距离为 10米， 则旗杆的高度为（ ）米 A20 B30 C30 D35 8 （5 分） （2020开封一模）设函数 f（x）alnx+bx3在点（1，1）处的切线经过点（0， 1） ，则实数 a+b 的值为（ ） A2 B1 C0 D1 9 （5 分） （2020开封一模） 已知Fn是斐波那契数列， 则 F1F21， FnFn1+Fn2（nN* 且 n3） ，如图程序框图表示输出斐波那契数列的前 n 项的算法，则 n（ ） A10 B18 C20 D22 10 （5 分） （2020开封一模）已知双曲线 C：的左、右焦点分 别为 F1，F2，圆 O：x2+y2a2+b2与 C 在第一象限的交点为 M，若MF1F2的面积为 ab， 则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C2 D 第3页（共29页） 11 （5 分） （2020开封一模）将函数 f（x）asinx+bcosx 的图象向右平移个单位长度得 到 g（x）的图象，若 g（x）的对称中心为坐标原点，则关于函数 f（x）有下述四个结论： f（x）的最小正周期为 2 若 f（x）的最大值为 2，则 a1 f（x）在，有两个零点 f（x）在区间，上单调 其中所有正确结论的标号是（ ） A B C D 12 （5 分） （2020开封一模）已知正方体的棱长为 1，平面 过正方体的一个顶点，且与 正方体每条棱所在直线所成的角相等，则该正方体在平面 内的正投影面积是（ ） A B C D 二、二、填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分） （2020开封一模）已知向量，若， 则 m 14 （5 分） （2020开封一模）已知点 A（0，2） ，动点 P（x，y）的坐标满足条件， 则|PA|的最小值是 15 （5 分） （2020开封一模）如图，两个同心圆的半径分别为 1 和 2，点 M 在大圆上从点 M0出发逆时针匀速运动，点 N 在小圆上从点 N0出发顺时针匀速运动图中的阴影是运 动一秒钟后，OM，ON 分别扫过的扇形假设动点 M，N 运动了两秒钟，在 OM，ON 扫 过的扇形中任取一点，则该点落在公共区域内的概率是 第4页（共29页） 16 （5分） （2020开封一模）若数列an满足 ，则称数列an为“差半递增”数列若 数列an为 “差半递增” 数列， 且其通项 an与前 n 项和 Sn满足， 则实数 t 的取值范围是 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分） （2020开封一模）已知等差数列an满足 an+1+n2an+1 （1）求an的通项公式； （2）记 Sn为an的前 n 项和，求数列的前 n 项和 Tn 18 （12 分） （2020开封一模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F（1，0） ，动点 Q 到点 F 的距离比到 y 轴的距离大 1 个单位长度 （1）求动点 Q 的轨迹方程 E； （2）若过点 F 的直线 l 与曲线 E 交于 A，B 两点，且，求直线 l 的方程 第5页（共29页） 19 （12 分） （2020开封一模）底面 ABCD 为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所 示的几何体若 DADHDB4，AECG3 （1）求证：EGDF； （2）求三棱锥 FBEG 的体积 第6页（共29页） 20 （12 分） （2020开封一模）某次高三年级模拟考试中，数学试卷有一道满分 10 分的选 做题，学生可以从 A，B 两道题目中任选一题作答某校有 900 名高三学生参加了本次考 试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，作为下一步教学的参考依据，计划从 900 名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为 10 的样本，为此将 900 名考生选做题的 成绩按照随机顺序依次编号为 001900 （1）若采用系统抽样法抽样，从编号为 001090 的成绩中用简单随机抽样确定的成绩 编号为 025，求样本中所有成绩编号之和； （2）若采用分层抽样，按照学生选择 A 题目或 B 题目，将成绩分为两层已知该校高三 学生有 540 人选做 A 题目，有 360 人选做 B 题目，选取的样本中，A 题目的成绩平均数 为 5，方差为 2，B 题目的成绩平均数为 5.5，方差为 0.25 （i）用样本估计该校这 900 名考生选做题得分的平均数与方差； （ii）本选做题阅卷分值都为整数，且选取的样本中，A 题目成绩的中位数和 B 题目成绩 的中位数都是 5.5从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据做进一步调查，求取到 的两个成绩来自不同题目的概率 第7页（共29页） 21 （12 分） （2020开封一模）已知函数，aR，e 为自然对数的底数 （1）当 a1 时，证明：x（，0，f（x）1； （2）若函数 f（x）在上存在极值点，求实数 a 的取值范围 第8页（共29页） （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多选，则按所做的题中任选一题作答如果多选，则按所做的 第一题计分第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分） （2020开封一模）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极 坐标方程为 （1）求曲线 C1的极坐标方程和 C2的直角坐标方程； （2）设 P 是曲线 C1上一点，此时参数 ，将射线 OP 绕原点 O 逆时针旋转交 曲线 C2于点 Q，记曲线 C1的上顶点为点 T，求OTQ 的面积 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23 （2020开封一模）已知 a，b，c 为一个三角形的三边长证明： （1）+3； （2）2 第9页（共29页） 2020 年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）年河南省开封市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （5 分） （2020开封一模） 已知集合 Ax|x2 或 x3， BN， 则 B （RA） （ ） A1，0，1，2 B1 C1，0 D0，1，2 【考点】1H：交、并、补集的混合运算菁优网版权所有 【专题】37：集合思想；49：综合法；5J：集合；65：数学运算 【分析】先求补集，再求交集，注意 N 为自然数 【解答】解：集合 Ax|x2 或 x3， RA（2，3） ， BN， B（RA）0，1，2， 故选：D 【点评】本题考查集合交集，补集运算，属于基础题 2 （5 分） （2020开封一模）复数的实部小于虚部，则实数 a 的取值范围是（ ） A （，0） B （，1） C （0，+） D （1，+） 【考点】A5：复数的运算菁优网版权所有 【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数；65：数学 运算 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部小于虚部列式求解 【解答】解：的实部小于虚部， ，解得 a0 实数 a 的取值范围是（，0） 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 3 （5 分） （2020开封一模）已知非零向量 ， ，则“ 0”是“向量 ， 夹角为锐角” 第10页（共29页） 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件菁优网版权所有 【专题】49：综合法；5A：平面向量及应用；5L：简易逻辑 【分析】 与 都是非零向量，则“向量 与 夹角为锐角”“” ，反之不成 立，即可判断出结论 【解答】解： 与 都是非零向量，则“向量 与 夹角为锐角”“” ，反之 不成立，可能同向共线 因此“”是“向量 与 夹角为锐角”的必要不充分条件 故选：B 【点评】本题考查了向量夹角公式、向量共线定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理 能力与计算能力，属于基础题 4 （5 分） （2020开封一模）已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴正半轴重合，终边经 过点（1，2） ，则 tan2（ ） A B C D 【考点】G9：任意角的三角函数的定义；GS：二倍角的三角函数菁优网版权所有 【专题】36：整体思想；49：综合法；56：三角函数的求值；65：数学运算 【分析】 由三角函数的定义可求 tan， 然后再由二倍角正切公式 an2即可 求解 【解答】解：由三角函数的定义可知，tan2， tan2 故选：D 【点评】本题主要考查了三角函数的定义及二倍角的正切公式的简单应用，属于基础试 题 5 （5 分） （2020开封一模）已知定义在m5，12m上的奇函数 f（x） ，满足 x0 时，f （x）2x1，则 f（m）的值为（ ） A15 B7 C3 D15 第11页（共29页） 【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；36：整体思想；49：综合法；51：函数的性质及应用；65：数 学运算 【分析】先根据奇函数定义域关于原点对称求出 m，然后代入即可求解 【解答】解：由奇函数的对称性可知，m5+12m0， m4， x0 时，f（x）2x1， 则 f（m）f（4）f（4）15 故选：A 【点评】本题考查奇函数的性质，转化思想，正确转化是关键 6 （5 分） （2020开封一模）某省普通高中学业水平考试成绩按人数所占比例依次由高到低 分为 A，B，C，D，E 五个等级，A 等级 15%，B 等级 30%，C 等级 30%，D，E 等级共 25%其中 E 等级为不合格，原则上比例不超过 5%该省某校高二年级学生都参加学业 水平考试，先从中随机抽取了部分学生的考试成绩进行统计，统计结果如图所示若该 校高二年级共有 1000 名学生，则估计该年级拿到 C 级及以上级别的学生人数有（ ） A45 人 B660 人 C880 人 D900 人 【考点】B8：频率分布直方图菁优网版权所有 【专题】12：应用题；38：对应思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计；65：数学运 算 【分析】利用图形，先算出抽取的总人数，求出 C 的百分比，最后算出结论 【解答】解：根据图形，抽取的总人数 1020%50，其中 C 所占的百分比为：1250 0.24， 故 1000（0.24+0.2+0.46）10000.9900， 故选：D 【点评】考查直方图，扇形统计图，样本估计总体问题等，基础题 7 （5 分） （2020开封一模）2009 年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为 15 第12页（共29页） 的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后 一排测得旗杆顶端的仰角分别为 60和 30，且第一排和最后一排的距离为 10米， 则旗杆的高度为（ ）米 A20 B30 C30 D35 【考点】HU：解三角形菁优网版权所有 【专题】11：计算题；58：解三角形 【分析】先求得AEC 和ACE，则EAC 可求，再利用正弦定理求得 AC，最后在 Rt ABC 中利用 ABACsinACB 求得 AB 的长 【解答】解：如图所示，依题意可知AEC45，ACE1806015105 EAC1804510530 由正弦定理可知 CEsinEACACsinCEA， AC20米 在 RtABC 中， ABACsinACB2030 米 所以旗杆的高度为 30 米 故选：B 【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用此类问题的解决关键是建立数学模型， 把实际问题转化成数学问题，利用所学知识解决 第13页（共29页） 8 （5 分） （2020开封一模）设函数 f（x）alnx+bx3在点（1，1）处的切线经过点（0， 1） ，则实数 a+b 的值为（ ） A2 B1 C0 D1 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有 【专题】15：综合题；35：转化思想；4R：转化法；53：导数的综合应用；65：数学运 算 【分析】本题采用求导法先写出函数 f（x）在点（1，1）处的切线方程，然后根据题 意将点（0，1）代入切线方程，得到关于 a、b 的一个关系式，再根据 f（1）1，代入 函数 f（x）表达式，得 b1即可得到实数 a+b 的值 【解答】解：由题意，f（x）+3bx2，x0 f（1）a+3b， 函数 f（x）在点（1，1）处的切线方程为： y+1（a+3b） （x1） 切线经过点（0，1） ， 1+1（a+3b） （01） ， 整理，得 a+3b2 又f（1）1，代入函数 f（x）表达式，得 b1 a23b1， a+b0 故选：C 【点评】本题主要考查利用导数求出在某一点处的切线方程，然后再代入函数值，考查 了转化能力，数学计算能力本题属中档题 9 （5 分） （2020开封一模） 已知Fn是斐波那契数列， 则 F1F21， FnFn1+Fn2（nN* 且 n3） ，如图程序框图表示输出斐波那契数列的前 n 项的算法，则 n（ ） 第14页（共29页） A10 B18 C20 D22 【考点】EF：程序框图菁优网版权所有 【专题】11：计算题；27：图表型；5K：算法和程序框图；65：数学运算 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 a，b 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：模拟程序的运行，可得 i1，a1，b1， 满足条件 i10，执行循环，输出斐波那契数列的前 2 项，a2，b3，i2 满足条件 i10，执行循环，输出斐波那契数列的第 3，第 4 项，a5，b8，i3 每经过一次循环，输出了斐波那契数列的 2 项，i9 时，共输出了斐波那契数列的前 18 项， 此时 i10，不满足条件，退出循环体 故程序框图表示输出斐波那契数列的前 n 项的算法，n18 故选：B 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 10 （5 分） （2020开封一模）已知双曲线 C：的左、右焦点分 别为 F1，F2，圆 O：x2+y2a2+b2与 C 在第一象限的交点为 M，若MF1F2的面积为 ab， 则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C2 D 第15页（共29页） 【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合菁优网版权所有 【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定 义、性质与方程；65：数学运算 【分析】设|MF1|m，|MF2|n，运用双曲线的定义和勾股定理、以及矩形的周长和面积 公式，化简可得 a，c 的关系，进而得到所求离心率 【解答】解：设|MF1|m，|MF2|n， 由双曲线的定义可得 mn2a， 由|OM|ON|，|OF1|OF2|， 可得四边形 F1NF2M 为平行四边形，圆 O：x2+y2a2+b2c2， 由直径所对的圆周角为直角，可得 四边形 F1NF2M 为矩形， 即有 m2+n24c2， Smnab， 由可得 4c24ab4a2， 即为 ba， 可得 e 故选：A 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率，考查直径所对的圆周角为直角， 以及勾股定理和化简运算能力，属于中档题 11 （5 分） （2020开封一模）将函数 f（x）asinx+bcosx 的图象向右平移个单位长度得 到 g（x）的图象，若 g（x）的对称中心为坐标原点，则关于函数 f（x）有下述四个结论： f（x）的最小正周期为 2 若 f（x）的最大值为 2，则 a1 第16页（共29页） f（x）在，有两个零点 f（x）在区间，上单调 其中所有正确结论的标号是（ ） A B C D 【考点】2K：命题的真假判断与应用菁优网版权所有 【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图象与性质；5L： 简易逻辑；62：逻辑推理 【分析】利用辅助角公式化积，结合函数的图象平移及对称性求得 ，可得函数 f（x） 的解析式，然后逐一核对四个命题得答案 【解答】解：f（x）asinx+bcosx 将 f（x）的图象向右平移个单位长度得到 g（x）的图象， 则 g（x） g （x） 的对称中心为坐标原点， ， 得， 则 ， kZ f（x） f（x）的最小正周期 T2，故正确； 若 f（x）的最大值为 2，则，a 不一定为 1，故错误； 由 f （x） 0， 得 sin （x+） 0， 即 sin （x+） 0， 在， 有两个零点， ，故正确； 当 x，时，x+， 当 k 为偶数时，f（x）单调递增，当 k 为奇数时，f（x）单调递减，故错误 其中所有正确结论的标号是 故选：D 【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查 yAsin（x+）型函数的图象与性质， 第17页（共29页） 考查推理运算能力，属中档题 12 （5 分） （2020开封一模）已知正方体的棱长为 1，平面 过正方体的一个顶点，且与 正方体每条棱所在直线所成的角相等，则该正方体在平面 内的正投影面积是（ ） A B C D 【考点】LA：平行投影及平行投影作图法菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题；5F：空间位 置关系与距离；64：直观想象 【分析】利用正方体棱的关系，判断平面 所成的角都相等的位置，正方体 ABCD A1B1C1D1的三个面在平面 内的正投影是三个全等的菱形，可以看成两个边长为的 等边三角形，由此求出正方体在平面 内的正投影面积 【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是 3 组平行的棱，每条棱所在直线与平面 所 成的角都相等，如图：所示的正三角形所在平面或其平行平面为平面 时，满足平面 与正方体每条棱所成的角均相等， 并且如图所示的正三角形，为平面 截正方体所形成的三角形截面中， 截面面积最大者 因为正三角形的边长为， 正方体 ABCDA1B1C1D1的三个面 在平面 内的正投影是三个全等的菱形（如图所示） ， 可以看成两个边长为的等边三角形， 所以正方体在平面 内的正投影面积是 S2 故选：B 第18页（共29页） 【点评】本题考查直线与平面所成角的大小关系，考查空间想象能力以及计算能力，属 于难题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分） （2020开封一模）已知向量，若， 则 m 1 【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；49：综合法；5A：平面向量及应用；65：数学运算 【分析】由题意可得 0，再利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求 出 m 的值 【解答】解：向量，若，则 0， 即 236m0，则 m1， 故答案为：1 【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，属于基础题 14 （5 分） （2020开封一模）已知点 A（0，2） ，动点 P（x，y）的坐标满足条件， 则|PA|的最小值是 【考点】IR：两点间的距离公式菁优网版权所有 【专题】34：方程思想；44：数形结合法；5B：直线与圆 【分析】由题意画出图形，再由点到直线的距离公式求解 【解答】解：动点 P（x，y）所满足的可行域如图： 第19页（共29页） 则|AP|的最小值转化成点 A 到直线 yx 的距离 d， 故答案为： 【点评】本题考查点到直线距离公式的应用，考查数学转化思想方法与数形结合的解题 思想方法，是中档题 15 （5 分） （2020开封一模）如图，两个同心圆的半径分别为 1 和 2，点 M 在大圆上从点 M0出发逆时针匀速运动，点 N 在小圆上从点 N0出发顺时针匀速运动图中的阴影是运 动一秒钟后，OM，ON 分别扫过的扇形假设动点 M，N 运动了两秒钟，在 OM，ON 扫 过的扇形中任取一点，则该点落在公共区域内的概率是 【考点】CF：几何概型菁优网版权所有 【专题】31：数形结合；49：综合法；5I：概率与统计；65：数学运算 【分析】先分别求出各自运动的面积以及公共面积，结合几何概型的面积比即可求解 【解答】解：如图： 第20页（共29页） 由题可得点 M 运动了两秒钟，OM 扫过的是半径为 2，圆心角为 120的扇形 AOB；且 其面积为：22； 点 N 运动了两秒钟，ON 扫过的是半径为 1，圆心角为 180的扇形 COF；且其面积为： 12； 公共部分是半径为 1，圆心角为 30的扇形 COD；其面积为：12； 所求概率：p 故答案为： 【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量” ，可以为线段长度、面积、体积等， 而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解决的步骤均为：求 出满足条件 A 的基本事件对应的“几何度量”N（A） ，再求出总的基本事件对应的“几 何度量”N，最后根据 P求解 16 （5分） （2020开封一模）若数列an满足 ，则称数列an为“差半递增”数列若 数列an为 “差半递增” 数列， 且其通项 an与前 n 项和 Sn满足， 则实数 t 的取值范围是 【考点】8H：数列递推式菁优网版权所有 【专题】23：新定义；31：数形结合；33：函数思想；44：数形结合法；4O：定义法； 54：等差数列与等比数列；55：点列、递归数列与数学归纳法；62：逻辑推理 【分析】因为 Sn2an+2t1，则 Sn12an1+2t1，把这两个等式相减，得 an2an 2an1，所以，因为 S12a1+2t1，所以 a112t，则数列an是公比为 2 的等 比数列，所以 ana12n 1（12t）2n1， （12t）2n 2，根据题意得， （an+1）（anan1）0，进而得出答案 【解答】解：因为 Sn2an+2t1， 第21页（共29页） 则 Sn12an1+2t1， 把这两个等式相减，得 an2an2an1， 所以， 因为 S12a1+2t1，所以 a112t， 则数列an是公比为 2 的等比数列， 所以 ana12n 1（12t）2n1， （12t）2n 2， 所以 anan13（12t）2n 3， an+13（12t）2n 2， （an+1）（anan1）3（12t）2n 23（12t）2n30， 解得 t， 故答案为： （，） 【点评】本题是考查新定义的“差半递增”数列，属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分） （2020开封一模）已知等差数列an满足 an+1+n2an+1 （1）求an的通项公式； （2）记 Sn为an的前 n 项和，求数列的前 n 项和 Tn 【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式菁优网版权所有 【专题】35：转化思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列；65：数学运算 【分析】 （1）设等差数列的公差为 d，将已知等式中的 n 换为 n1，相减可得公差 d1， 再令 n1，可得首项，进而得到所求通项公式； （2）由等差数列的求和公式可得 Sn，求得，再由数列的裂 项相消求和，化简可得所求和 【解答】解： （1）由已知an为等差数列，记其公差为 d 第22页（共29页） 当 n2 时，两式相减可得 d+12d， 所以 d1， 当 n1 时，a2+12a1+1，所以 a11 所以 an1+n1n； （2）， 所以 【点评】本题考查等差数列的定义、通项公式和求和公式，以及数列的裂项相消求和， 化简运算能力，属于中档题 18 （12 分） （2020开封一模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F（1，0） ，动点 Q 到点 F 的距离比到 y 轴的距离大 1 个单位长度 （1）求动点 Q 的轨迹方程 E； （2）若过点 F 的直线 l 与曲线 E 交于 A，B 两点，且，求直线 l 的方程 【考点】KN：直线与抛物线的综合菁优网版权所有 【专题】36：整体思想；4P：设而不求法；5C：向量与圆锥曲线；65：数学运算 【分析】 （1）由抛物线的定义可知求出 Q 的轨迹方程； （2）设直线方程与抛物线联立，根与系数的关系及数量积可得直线 l 的方程 【解答】解： （1）当 F 不在定直线上时，根据抛物线的定义，知动点 Q 的轨迹是以 F 为 焦点，以 x1 为准线的抛物线， 所以动点 Q 的轨迹方程 E 为：y24x 当 F 在定直线上时，动点 Q 的轨迹方程 E：y0（x0） ， 综上所述动点 Q 的轨迹方程 E 为：y0（x0）或 y24x （2）当 l 的斜率不存在时，可知，不符合条件； 当 l 的斜率存在且不为 0 时，设 l：yk（x1） ， 则，联立可得 k2x2（2k2+4）x+k20， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则，x1x21 第23页（共29页） 因 为 向 量，方 向 相 反 ， 所 以 ， 所以 k21，即 k1， 所以直线 l 的方程为 yx1 或 yx+1 【点评】考查抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系，属于中档题 19 （12 分） （2020开封一模）底面 ABCD 为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所 示的几何体若 DADHDB4，AECG3 （1）求证：EGDF； （2）求三棱锥 FBEG 的体积 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直菁优网版权所有 【专题】15：综合题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；64：直 观想象 【分析】 （1）连接 AC，由题意可知四边形 AEGC 为平行四边形，得到 EGAC，再由已 知证明 EGBF，可得 EG平面 BDHF，进一步得到 EGDF； （2）设 ACBDO，EGHFP，由已知证明 EHFG，EFHG，得到四边形 EFGH 为平行四边形，则 P 为 EG 的中点，由 OP3，DH4，由梯形中位线定理得 BF2求 出三角形 BFG 的面积， 再证明 EA平面 BCGF， 可得点 A 到平面 BCGF 的距离等于点 E 到平面 BCGF 的距离然后利用等积法求三棱锥 FBEG 的体积 【解答】 （1）证明：连接 AC，由 AECG，AECG，可知四边形 AEGC 为平行四边形， EGAC， 由题意知 ACBD，ACBF，EGBD，EGBF， BDBFB，EG平面 BDHF， 又 DF平面 BDHF，EGDF； （2）解：设 ACBDO，EGHFP， 由已知可得：平面 ADHE平面 BCGF， 第24页（共29页） EHFG，同理可得：EFHG， 四边形 EFGH 为平行四边形，得 P 为 EG 的中点， 又 O 为 AC 的中点，OPAE 且 OPAE， 由 OP3，DH4，由梯形中位线定理得 BF2 EAFB，FB平面 BCGF，EA平面 BCGF，EA平面 BCGF， 点 A 到平面 BCGF 的距离等于点 E 到平面 BCGF 的距离，为 【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间 想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题 20 （12 分） （2020开封一模）某次高三年级模拟考试中，数学试卷有一道满分 10 分的选 做题，学生可以从 A，B 两道题目中任选一题作答某校有 900 名高三学生参加了本次考 试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，作为下一步教学的参考依据，计划从 900 名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为 10 的样本，为此将 900 名考生选做题的 成绩按照随机顺序依次编号为 001900 （1）若采用系统抽样法抽样，从编号为 001090 的成绩中用简单随机抽样确定的成绩 编号为 025，求样本中所有成绩编号之和； （2）若采用分层抽样，按照学生选择 A 题目或 B 题目，将成绩分为两层已知该校高三 学生有 540 人选做 A 题目，有 360 人选做 B 题目，选取的样本中，A 题目的成绩平均数 为 5，方差为 2，B 题目的成绩平均数为 5.5，方差为 0.25 （i）用样本估计该校这 900 名考生选做题得分的平均数与方差； （ii）本选做题阅卷分值都为整数，且选取的样本中，A 题目成绩的中位数和 B 题目成绩 的中位数都是 5.5从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据做进一步调查，求取到 的两个成绩来自不同题目的概率 第25页（共29页） 【考点】B4：系统抽样方法；BC：极差、方差与标准差菁优网版权所有 【专题】12：应用题；35：转化思想；4O：定义法；5I：概率与统计；66：数据分析 【分析】 （1）按照系统抽样方法抽出的编号组成等差数列，计算编号之和即为该数列的 前 10 项和，求出即可； （2） （i）由题意分别计算样本的平均数和方差，由此估计所求的平均数和方差； （ii）由题意知样本中 A、B 题目的成绩大于样本平均值的成绩个数，用列举法求出基本 事件数，再计算所求的概率值 【解答】解： （1）由题意知，若按照系统抽样的方法，抽出的编号可以组成以 25 为首项， 以 90 为公差的等差数列， 所以样本编号之和即为该数列的前 10 项之和， 所以； （2） （i）由题意知，若按分层抽样的方法，抽出的样本中 A 题目的成绩有 6 个，按分值 降序分别记为 x1，x2，x6； B 题目的成绩有 4 个，按分值降序分别记为 y1，y2，y3，y4； 记样本的平均数为 ，样本的方差为 s2； 由题意可知， ，i1，2，6； ，i1， 2，4； ； 所以估计该校 900 名考生选做题得分的平均数为 5.2，方差为 1.36 （ii）本选做题阅卷分值都为整数，且选取的样本中，A 题目成绩的中位数和 B 题目成绩 的中位数都是 5.5， 易知样本中 A 题目的成绩大于样本平均值的成绩有 3 个，分别为 x1，x2，x3； B 题目的成绩大于样本平均值的成绩有 2 个，分别为 y1，y2； 第26页（共29页） 从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据共有种 10 方法，为： （x1，x2） ， （x1，x3） ， （x2，x3） ， （y1，y2） ， （x1，y1） ， （x2，y1） ， （x3，y1） ， （x1，y2） ， （x2，y2） ， （x3，y2） ， 其中取到的两个成绩来自不同题目的取法共有 6 种，为： （x1，y1） ， （x2，y1） ， （x3，y1） ， （x1，y2） ， （x2，y2） ， （x3，y2） ； 记“从样本中随机选取两个大于样本平均值的数据，取到的两个成绩来自不同题目”为 事件 A， 所以 【点评】本题考查了统计数据分析与古典概型的概率计算问题，也考查了分析问题与解 答问题的能力，是中档题 21 （12 分） （2020开封一模）已知函数，aR，e 为自然对数的底数 （1）当 a1 时，证明：x（，0，f（x）1； （2）若函数 f（x）在上存在极值点，求实数 a 的取值范围 【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数研究函数的最值菁优网版权所有 【专题】12：应用题；33：函数思想；49：综合法；53：导数的综合应用；65：数学运 算 【分析】（1） 把 a1 代入， 直接用导数法证明即可；（2） 对 f （x） 求导， 对 a 进行讨论，判断函数 f（x）的极值，确定 a 的范围 【解答】解： （1）当 a1 时，则， 当 x（，0时，0ex1，则，又因为 cosx1， 所以当 x（，0时，仅 x0 时，f（x）0， 所以 f（x）在（，0上是单调递减，所以