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数学竞赛题库一试 第 1 页 共 12 页 函数习题题库 第一题难度： 考查知识点：函数的最值问题，函数的性质（几何意义） （原创）求函数20822)( 22 xxxxxf在,x的最小 值。 答案：23 我们通过观察发现两个根号中的函数的形式都是平方和的形式： 2 2 2 2 22 241120822)(xxxxxxxf 我们首先来看坐标系中的距离公式： 平面直角坐标系中bayx,到定点的距离公式为： 22 )()(byaxL 则本题函数可理解成坐标系中点0 , x到 2 , 41 , 1两点的距离之和 如下图： 所求函数的值相当于从 x 轴上找一点使其与 B 和 A 点的距离之和最 数学竞赛题库一试 第 2 页 共 12 页 小，由于 x 轴上点到 B 点距离等于其到 C 点距离，则函数的值相当 于从 x 轴上找一点使其与 B 和 C 点的距离之和最小，两点之间直线 最短，函数最小值为23) 1(214 22 第二题难度： 考查知识点：函数图像的理解，绝对值函数 （原创）已知函数axy24 2 有八个不同的实根，求 a 的取值范 围。 答案：2 , 0 如上图，简单地画出了24 2 xy的函数图像，用ay 的直线扫 过函数图像，观察什么时候能有八个交点。 易得：a 的取值范围为2 , 0 第三题难度： 考查知识点：奇函数的性质，简单的函数方程 已知函数 xf是定义在实数集R上的不恒为零的奇函数， 且对任意的 实数x都有 xfxxxf11，求 2 5 f的值。 数学竞赛题库一试 第 3 页 共 12 页 答案：0 解：若0x，则有 xf x x xf 1 1 取 2 1 x，则有 2 1 2 1 ff 由 xf是奇函数则有 2 1 2 1 ff 得到0 2 1 f，故0 2 1 3 3 5 2 3 3 5 2 5 fff 第四题难度： 考查知识点：函数的单调性，指数函数和对数函数的性质 已知baRbalnlnlnlnln,且满足条件，求证： be ee a 证明：由于对数函数的单调性，以及balnlnlnlnln 有)ln(lnlnba ，再利用一次对数函数的单调性，有： baln即 a eb ，则有 a eb ee 第五题难度： （原创） 定义高斯函数 x为定义在实数域上的函数， x表示不超过x 的整数。又定义 xxx，证明： 2 ) 1(xxf是定义在实数域 上的周期函数。 考查知识点：高斯函数的简单定义，函数的周期性 证明：由高斯函数的性质： )( * Znnxnx Znxxnxnxnxxxx 数学竞赛题库一试 第 4 页 共 12 页 由此知 x是周期为 1 的周期函数， 由此知 2 x同样是周期为 1 的周期 函数，由于两个周期相同的周期函数相加也是周期函数，则由此得 2 ) 1(xxf是定义在实数域上的周期函数。 第六题难度： 设,0,1x y，求函数( , )11f x yxyyx的最大值。 答案：1 由于,0,1x y，则,xx yy，令 22 sin,sinxy，,0 2 ， 于是( , )11(1)(1)f x yxyyxxyyx sincoscossinsin()1，取等号当且仅当 2 ，并且 ,xx yy，此时 ,0,1x y 第七题难度： 考查知识点：函数最值问题，函数的定义域和值域的理解 （原创）设函数 6 1 2 1 )(xxxf的最大值为a，最小值为b，则 ba的值是（） )63( 3 3 )() 12( 3 3 )()31 ( 3 3 )()32( 3 3 )(DCBA 答案：C 采用变量代换法： 6 1 2 1 xBxA设则满足条件：都是正实数）其中BABA,( 3 1 22 由均值不等式xyyx2 22 可推出 2 2 22 BA BA 数学竞赛题库一试 第 5 页 共 12 页 则有 3 6 3 1 2 2 BA BA 下面考虑BA的下界，由 A 和 B 的非负性： 3 3 3 1 22 2 BABABA 则BA的最大值和最小值的和为 3 6 3 3 第八题难度： 考查知识点：简单的函数方程，探索法 若 2 1 1 1 xf xx f，则 3f= 答案： 2 1 这种类型的函数方程，一般使用简单的探索法即可完成： 23 3 1 ) 2 1 (, 3ffx有令 2 2 1 2 3 2 , 2 1 ffx有令 2 3 2 2 3 3 3 2 ffx，有令 联立三个方程组得： 23 3 2 3 4 3 3 2 ff 解得 3f 2 1 第九题难度： 考查内容：反函数的相关知识 函数 1( ) x yexR 的反函数是() 数学竞赛题库一试 第 6 页 共 12 页 A1ln (0)yx x B1 ln (0)yx x C1 ln (0)yx x D1ln (0)yx x 解：由 1x ye 得：1ln ,-1 lnxyxy 即 所以1 ln (0)yx x 为所求 故选D 第十题难度： 已知定义域为R的函数 1 2 ( ) 2 x x b f x a 是奇函数,求, a b的值。 考查知识点：奇函数的性质 解：因为( )f x是奇函数，所以(0)f0， 即 1 11 2 01( ) 22 x x b bf x aa 又由 f(1) f(1)知 1 1 1 2 2 2. 41 a aa 第十一题难度： 已知实数ba,分别满足153 23 aaa，553 23 bbb，则满足条件的 ba 的值为. 考查知识点：函数的简单构造 答案：2 说明：由于已知的两个等式结构相似，因此可考虑构造函数。 将已知等式变形为2) 1(2) 1( , 2) 1(2) 1( 33 bbaa， 构 造 函 数xxxf2)( 3 ， 这 是 一 个 单 调 递 增 的 奇 函 数 ， 因 为 2) 1(, 2) 1(bfaf 所以)1 () 1() 1(bfbfaf，从而有ba11，2 ba。 数学竞赛题库一试 第 7 页 共 12 页 第十二题难度： 设实数1a，使得不等式aaxx 2 3 ，对任意的实数2 , 1x恒成立， 则满足条件的实数a的范围是. 考查知识点：简单不等式的解法，函数的数形结合。 当 3 2 a 时，不等式aaxx 2 3 ，对任意的实数2 , 1x恒成立， 当 3 2 a 时 ， 将 不 等 式 化 为 3 2 | a xa x ， 作 出 函 数 3 2 |,(12) a yxayx x 的图像，如图， 不等式aaxx 2 3 ，对任意的实数2 , 1x恒成立的条件是，函数 |,yxa的图像全部落在函数 3 2 (12) a yx x 的图像的上方， 由 3 2 2 2 3 1 2 a a aa 解得 5 2 a ， 综上所述，实数a的范围是 35 1, ,) 22 。 第十三题难度： 若函数( ) |21|f xx，则函数( )( ( )lng xf f xx在(0,1)上不同的零点个 数为. 考查知识点：数形结合法的应用，函数图象的作法，对数函数 x y O12 a 数学竞赛题库一试 第 8 页 共 12 页 考虑函数1122)(xxffy与xyln的图象交点的个数。 而函数 4 1 , 14 2 1 4 1 , 14 4 3 2 1 , 34 4 3 , 34 1122 xx xx xx xx xy，由图象易见结果为 3。 按如下步骤做出1122)(xxffy的图象： 先作1122xy的图象，再作1122xy的图象。 第十四题难度： 数学竞赛题库一试 第 9 页 共 12 页 考查知识点：函数的性质，函数的奇偶性 对于函数( )()yf x xR，给出下列命题： 在同一直角坐标系中，函数(1)yfx与(1)yf x的图象关于直线 0 x 对称； 若(1)(1)fxf x，则函数( )yf x的图象关于直线1x 对称； 若(1)(1)fxf x，则函数( )yf x是周期函数； 若(1)(1)fxf x ，则函数( )yf x的图象关于点（0,0）对称。 答案： 直接通过周期函数和对称函数的定义可得到： 为周期函数成立，则函数定义域中对，若有)()()(xfxxftxfRt 为对称轴的函数 为以成立，则函数定义域中对，若有txxfxxtftxfRt)()()( 将这两个定义代入等式中可得解 第十五题难度： 考查知识点：奇函数的性质，简单的代数恒等变形 （原创） 已知定义域为R的函数 1 61 ( ) 6 x x f x a 是奇函数， 则a . 答案：6 11 611616 ()( ) 6666 ()( )666 xxx xxx xx fxf x aaa fxf xa 则 第十六题难度： 考查知识点：二次函数的性质，函数的最值问题 定义在 D 上的函数)(xf， 如果满足： 对任意Dx， 存在常数0M， 数学竞赛题库一试 第 10 页 共 12 页 都有Mxf)(成立，则称)(xf是D上的有界函数，其中M称为函数 )(xf的上界.已知函数 2 1)(axxxf. (1)当1a时， 求函数)(xf在 0-，上的值域， 判断函数)(xf在0-，上 是否为有界函数，并说明理由； (2)若函数)(xf在4 , 1x上是以 3 为上界的有界函数， 求实数a的取值 范围. 解：解：(1)1a时，, 4 5 ) 2 1 (1)( 22 xxxxf )0 ,()(xxf在上单调递增， , 1 4 5 ) 2 1 0()( 2 xf 故函数)(xf在0-，上的值域为).1 ,( 又), 0)(, 1)(xfxf , 不存在常数0M，使Mxf)(都成立. 故函数)(xf在0-，上不是有界函数. (2) 若函数)(xf在4 , 1上是以 3 为上界的有界函数, 则3)(xf在4 , 1上恒成立. 即, 313, 3)(3 2 axxxf . 24 22 x x a x x 即 xx a xx 1214 22 在4 , 1x上恒成立. .) 12 () 14 ( min 2 max 2 xx a xx 令 1 , 4 1 , 1 tt x 则， 1 , 4 1 ,)2()4( min 2 max 2 tttatt. 数学竞赛题库一试 第 11 页 共 12 页 令tttg 2 4)(，则 2 1 , 5 16 1 ) 8 1 (4)( 2 ttg. 令ttth 2 2)(，则 1 , 8 1 8 1 ) 4 1 (2)( 2 tth. 实数a的取值范围为. 8 1 , 2 1 第十七题难度： 考查知识点：函数的最值问题，数形结合 求函数 22 ( )4210f xxxx的最小值。 答案：26 由 2222 ( )2(1)3f xxx可看作由点( ,0)P x到点(0,2)A及到点 ( 1,3)B 的距离之和：fPAPB， 作点A关于X轴的对称点 1(0, 2) A，易知 1 A B的 方 程 为520 xy， 其 与X轴 的 交 点 为 0 2 ,0 5 P ，注意 1101000 PAPBPAPBA BP AP BP AP B 而 22 1 ( 1 0)(32)26A B ，即( )26f x （当 2 5 x 时取得此最小值） 。 第十八题难度： 考查知识点：简单的不等式，代数恒等变形