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2.2 多维随机变量,联合分布列和边际分布列在上一节中我们讨论了一维随机变量,已经知道所谓一维随机变量无非是随机试验的结果和一维实数之间的某个对应关系.但在许多实际问题中,对于每一个试验结果,往往同时对应有一个以上的实数值.如在例2.1中,对每一台出厂的电视机来说,除了一年中发生故障次数以外,还可以考察一年中实际工作的小数,一年中损坏的元件数等数据.一般地说,每个试验结果可以有n个数值与之对应,这时就称这种对应关系是一个n维随机变量,也称为n维随机变量.如同 2.1中所给出的一维离散型随机变量的定义,现在给出n维离散型随变量的定义.定义 2.2设是样本空间上的n个离散型随机变量,则称nh维向量()是上的一个n维离散型随机变量或n维随机向量.如同数学分析中大家所熟悉的那样,从一维到多维会增添许多新的问题.为了叙述和学习的方便起见,下面着重讨论二维的离散型随机变量.设(, )是一个二给离散型随机变量,它们一切可能取的值为令称()是二维随机变量(, )的联合分布列.如同一维时的论述,容易证明二维联合分布列具有下面三个性质:(1) (2.15)(2) (2.16)(3) (2.17)其中(1).(2)是显然的,现在骓(3).由联合分布列的定义及全概率公式有=同理可得如果记，即可得到（2.17）现在看一个比较简单的例子.例 2.7 把三个相同的球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中,记落入1号盒子中的球的个数为,落入第2号盒子中球的个数为,则(,)是一个二维随机变量,其中和的可能取值为0,1,2,3.现在来找(,)的联合分布列.由条件概率的定义易知有=这时显然有于是=而当i+j3或i+j0时显然有=0由前面的讨论和例2.7的计算中,都可以看出来,如果知道了二维随机变量(,)的联合分分布列,那么这时和的边际分布列即可由联合分布列求出.这件事实直观上是容易理解的,因为(,)总体的规律性如果确定了,那么它的个别分量的规律性当然也确定了.例 2.8 (略)见P73定义 2.3 设离散型随机变量的可能取值为的可能取值为如果对任意的,有 (2.18)成立,则称离散型随机变量和是相互独立的.在这个例子中, 取什么值和取什么值两者之间确实是互不影响的,所以称它们相互独是可以理解的.现在不难把独性的概念推广到多个离散型随机变量的场合,这就是下面的定义.定义 2.4 设是n个离散型随机量,的可能取值为如果对于任意的一组(),恒有 (2.19)成立,则称是相互独立的.例 2.9 在n重贝努里试验中
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