2.4.1向量在几何中的应用

向量在平面几何中的应用课后练习1设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（ ）A BC D2如图，正方形中，是的中点，若，则（ ）A B C D3已知OA=OB=2，点C在线段AB上，且OC的最小值为1，则OA-tOB (tR)的最小值为（ ）A2 B3 C2 D54P是ABC所在平面上的一点,满足PA+PB+PC=2AB,若SABC=6,则PAB的面积为（ ）A2 B3 C4 D85正方形边长为2，点为边的中点，为边上一点，若，则（ ）A3B5CD6已知点O是ABC内部一点，并且满足2OA+3OB+5OC=0，OAC的面积为S1，ABC的面积为S2；则S1S2=A310 B38 C25 D4217已知ABC是边长为2aa0的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PAPB+PC的最小值是（ ）A-2a2 B-32a2 C-43a2 D-a28在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为ABC外接圆的圆心，若a=3，且c+23cosC=2b，AO=mAB+nAC，则m+n的最大值为_9如图,M是矩形ABCD的边CD上的一点,AC与BM交于点N,BN=23BM.(1)求证:M是CD的中点;(2)若AB=2,BC=1,H是BM上异于点B的一动点,求AHHB的最小值.10如图，在中， ， ，点在的延长线上，点是边上的一点，且存在非零实数，使.（）求与的数量积；（）求与的数量积.答案1A【解析】=3()；=.故选：C.2B【解析】试题分析：以为坐标原点建立空间直角坐标系，设正方形边长为，由此，故，解得.考点：向量运算3B【解析】分析：由OA=OB=2可得点O在线段AB的垂直平分线上，由结合题意可得当C是AB的中点时OC最小，由此可得OB与OC的夹角为60，故OA,OB的夹角为120然后根据数量积可求得OA-tOB2，于是可得所求详解：OA=OB=2，点O在线段AB的垂直平分线上点C在线段AB上,且OC的最小值为1，当C是AB的中点时OC最小，此时OC=1，OB与OC的夹角为60，OA,OB的夹角为120又OA-tOB2=OA2+t2OB2-2tOAOB=4+4t2-2t2cos120=4t2+2t+4=4(t+12)2+33，当且仅当t=-12时等号成立OA-tOB2的最小值为3，OA-tOB的最小值为3故选B点睛：求解平面向量最值或范围问题的常见方法(1)利用不等式求最值，解题时要灵活运用不等式|ab|abab(2)利用函数思想求最值，常利用“平方技巧”找到向量的模的表达式，然后利用函数思想求最值，有时也常与三角函数知识结合求最值(3)利用数形结合思想求最值，利用平面向量“形”的特征，挖掘向量的模所表示的几何意义，从图形上观察分析出模的最值4A【解析】PA+PB+PC=2AB=2(PB-PA)，3PA=PB-PC=CB，PACB，且方向相同。SABCSPAB=BCAP=|CB|PA|=3，SPAB=SABC3=2。选A。5D【解析】【分析】由题意，根据向量的运算，可得，即，再由E是BC的中点，进而可求解，得到答案.【详解】由题意，可知，即，即，所以，即，又由E是BC的中点，则，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，以及勾股定理的应用，其中解答中根据向量的数量积的运算，得到，再利用勾股定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6A【解析】2OA+3OB+5OC=0，2(OA+OC)=-3(OB+OC)设AC中点为M，BC中点为N，则2OM=-3ON,MN为ABC的中位线，且|OM|ON|=32，SOAC=2SOMC=235SCMN=65(14SABC)=310SABC，即S1S2=310选A点睛：解题的关键是确定点O的位置，由题意得到2(OA+OC)=-3(OB+OC)后考虑到三角形中中线对应的向量的性质考虑到取AC中点为M，BC中点为N，得到2OM=-3ON后便可得到M,O,N三点共线的结论，然后根据图形并结合三角形面积的求法得到结论7B【解析】【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，表示出各个点的坐标，进而利用向量数量积的坐标运算求得PAPB+PC；利用平方为非负数的特性求得最小值。【详解】建立如图所示的平面直角坐标系设P(x,y) ，A0,3a,B-a,0,Ca,0, 则PA=-x,3a-y,PB=-a-x,-y,PC=a-x,-y 所以PAPB+PC=-x,3a-y-a-x,-y+a-x,-y=-x,3a-y-2x,-2y=2x2+2y2-23ay=2x2+2y-32a2-32a2所以最小值为-32a2所以选B【点睛】本题考查了向量数量积在平面几何中的简单应用，建立坐标系是常用的方法，属于中档题。823【解析】【分析】通过c+23cosC=2b，可求得A=3，进一步通过正弦定理和余弦定理求得半径和BOC的大小；通过将向量AB和AC进行拆解，将AO与OB,OC联系起来，通过平方运算，得到关于m,n的等量关系，最终利用基本不等式得到m+n的最大值。【详解】由c+23cosC=2b可得：c+23a2+b2-c223b=2b即b2+c2-a2=bc cosA=12 A=3由正弦定理可得圆O半径为：12asinA=1，即AO=OB=OC=1根据余弦定理可知：cosBOC=OB2+OC2-a22OBOC=1+1-32=-12BOC=23又AO=mAB+nAC=mOB-OA+nOC-OA=mOB+nOC+m+nAO1-m-nAO=mOB+nOC1-m-n2AO2=m2OB2+n2OC2+2mnOBOCcosBOC1-m-n2=m2+n2-mn整理可得：3mn=2m+2n-1又mnm+n22得：2m+n-134m+n2解得：m+n23或m+n2当m+n2时，点O在ABC外部，且BOC+A=，所以B,O,C,A四点共圆，不满足题意，舍去m+n23（当且仅当m=n=13时取等号）本题正确结果：23【点睛】本题将解三角形、平面向量、基本不等式等几个部分相结合，对学生各部分知识的综合运用能力要求较高。难点在于将AO=mAB+nAC中的AB和AC通过向量的线性运算，表示为夹角和模长全都已知的向量OB和OC的关系，这也是解决平面向量线性关系中常用的处理问题的方法：将未知向量向已知向量进行转化。9（1）见解析；（2）0【解析】【分析】(1) 设CM=mCD,CN=nCA,再根据向量的线性运算化简BN=23BM=23BC+23mCD,再求出BN=BC+CN=(1-n)BC+nCD,解方程组23=1-n,23m=n,得m=12,n=13.所以CM=mCD=12CD,即M是CD的中点.（2）先利用向量的数量积和向量的线性运算求得AHHB=-|BH|-222+12,再利用二次函数求出函数的最小值.【详解】(1)设CM=mCD,CN=nCA,由题意知BN=23BM=23(BC+CM)=23(BC+mCD)=23BC+23mCD,又BN=BC+CN=BC+nCA=BC+n(CB+CD)=(1-n)BC+nCD,23=1-n,23m=n,解得m=12,n=13.CM=mCD=12CD,即M是CD的中点.(2)AB=2,BC=1,M是CD的中点,MB=2,ABM=45,AHHB=(AB+BH)HB=-(AB+BH)BH=-ABBH-|BH|2=-|AB|BH|cos(180-ABH)-|BH|2=|AB|BH|cos 45-|BH|2=2|BH|-|BH|2=-|BH|-222+12,又0|BH|2,当|BH|=2,即H与M重合时,AHHB取得最小值,且最小值为0.【点睛】(1)本题主要考查向量的线性运算和基底法，考查向量的数量积计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于平面内的不共线的向量e1,e2，则平面的任意一个向量a总可以表示成a=e1+ue2，其中e1,e2是基底.10()-18；() .【解析】试题分析：()在中由余弦定理得，从而得到三角形为等腰三角形，可得，由数量积的定义可得()根据所给的向量式可得点在的角平分线上，故可得，所以，因为，所以得到设设，则得到， ，根据数量积的定义及运算率可得所求试题解析：（）在中，由余弦定理得，所以，所以是等腰三角形，且，所以,