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正态分布性质正态分布定义:若随机变量服从一个位置参数为、尺度参数为的概率分布,且其概率密度函数为F(x)=12exp(-(x-)222)则这个随机变量就称为正态随机变量,正态随机变量服从的分布就称为正态分布,记作,读作服从,或服从正态分布。正态分布可以写成自然指数分布族分布形式F(x;)=12exp(-(x-)222)=12exp(x2-222-x222)=12exp(-x222)exp(2x-222)其中=2,()=222,h(x)=12exp(-x222)则正态分布族属于自然指数分布族。正态分布数字特征(1) 正态分布的期望:E(X)=-+X*12exp(-(x-)222)dx =12-+(+t)e-t22dt =12 -+e-t22dt+2-+te-t22dt =(2)D(X)=-+(x-)2f(x)dx =-+(x-)2f(x)dx =-+(x-)2*12exp(-(x-)222)dx令x-=t,得D(X)= 22-+t2e-t22dt= 22(-te-t22)-+-+e-t22dt)=0+ 222=2正态分布的图形性质(1) 变换:正态分布有两个参数,即均值和标准差,可记作N(,):均值决定正态曲线的中心位置,标准差决定正态曲线的陡峭或扁平程度。若固定,而改变的值,则当x=时,f(x)=12。由此可知,越小,曲线越陡峭;越大,曲线越扁平。 f(x) O X(2) 变换:为了便于描述和应用,常将正态变量做数据转换。是正态分布的位置参数,描述正态分布的集中趋势位置。正态分布以x=为对称轴,左右完全对称。当恒定后,而改变的值,则f(x)的图形沿x平行移动,但不改变其形状。越大,则曲线沿横轴向右移动;反之,越小,则曲线沿横轴向左移动。正态分布的均数、中位数、众数相同,均等于。正态曲线由均数所在处开始,分别向左右两侧逐渐均匀下降(3) 曲线y=f(x)在x=+处有拐点且曲线y=f(x)以OX轴为渐近线,无限逼近。(4) 在正态曲线下方和x轴上方范围内区域面积始终为1。3原则:P(-X+)=68.3%P(-2X+2)=95.4%P(-30时,Z=a+bx-(a+b)b=x-故ZN(0,1),从而YN(a+b,b22)当b0时,Z=a+bx-(a+b)-b=-(x-)根据性质(1),因为x- N(0,1),所以ZN(0,1)则YN(a+b,b22)综上Y=a+bxN(a+b,b22)(3)XN(1,,12),YN(2,,22),且X与Y相互独立,则Z=X+YN(1+2,12+22)证明:X+Y=2(X-12+Y-22)+1+2XN(,2) 则Y=aX+bN (b+a,a22)由此可推出X-12N(0,1222), Y-22N(0,1)所以X-12+Y-22N(0,1+12
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