武昌区2020届高三4月调研测试理数答案

高三理科数学 第 1 页（共 4 页） E F 武昌区武昌区 2020 届高三年级届高三年级四四月月调研调研测测试试 理科数学参考答案及评分细则 一一、选择题选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B D B A B B B A D A D 二二、填空题填空题： 13 2 132020 2020 S 14 15 5 5 16 ) 4 15 , 2 7 () 4 11 , 4 7 () 2 3 , 4 3 ( 三三、解答题解答题： 17 （ （本题本题 12 分分） 解解： （1）由正弦定理，得， ba ca c ba ，化简得acbca 222 . 由余弦定理，得 2 1 cos 2 222 B ac bca ，所以 3 B. .(6 分) （2）设AC的中点为 D，由余弦定理，得 CDBD BCCDBD ADBD ABADBD 22 222222 ， 即 342 34 342 34 222222 ac ，所以50 22 ca. 又，acbca 222 ，6b，所以14ac. 所以， 2 37 sin 2 1 BacS. .(12 分) 18 （ （本题本题 12 分分） 解解： （1）因为BCAD/， 1 2 2 ABADDCBC，所以 90BAC，即ACAB . 因为ACPB ，所以AC平面PAB. 因为AC平面ABCD，所以，平面PAB 平面ABCD. .(4 分) （2）因为4PA，32PB，2AB，所以BAPB . 由（1）知，PB平面ABCD，所以BCPB ，平面PBC平面ABCD. 过点D作BCDE 于E，则DE平面PBC. 过E作PCEF 交BC于F，则角DFE为所求二面角的平面角. 在梯形ABCD中，求得3DE.在PBCRt中，求得 7 3 EF. 在DEFRt中，求得， 7 62 DE，3DF. 高三理科数学 第 2 页（共 4 页） 在DEF中，求得 4 2 cosDEF，为所求. .(12 分) 另解另解： （向量法）建系设（求）点正确 2 分；求两个法向量正确 4 分；求余弦正确 2 分. 19 （ （本题本题 12 分分） 解解： （1）由题意，得 , 2 2 , 1 14 22 a c ba 考虑到 222 cba，得6 2 a，3 2 b. 所以，椭圆 C 的方程为1 36 22 yx . .(4 分) （2）当直线AB的斜率存在时，设其方程为mkxy，代入椭圆方程，整理得 0624)21 ( 222 mkmxxk，由0，得036 22 mk. 设),( 11 yxA，),( 22 yxB，则 2 21 21 4 k km xx ， 2 2 21 21 62 k m xx . 因为PBPA，所以1 PBPA kk，所以1 2 1 2 1 2 2 1 1 x y x y ， 即4(21)( 21212121 xxxxyyyy. 其中 2 2121 2 2121 )()(mxxmkxxkmkxmkxyy，mxxkyy2)( 2121 . 代入，整理得012384 22 mmmkk，即0) 132)(12(mkmk. 当012mk时，直线 AB 过点 P，不合题意，所以0132 mk. 此时，直线 AB 的方程为 3 1 ) 3 2 (xky，直线过定点) 3 1 , 3 2 (M. 所以，当ABPM 时，点 P 到直线 AB 的最大距离为 3 24 | PMd. 当直线AB的斜率不存在时，设其方程为nx ，代入解得 3 2 n或2n（舍去）. 当 3 2 n时，点 P 到直线 3 2 x的距离为 3 4 . 综上，点 P 到直线 AB 的最大距离为 3 24 | PMd. .(12 分) 另另：当0132 mk时，直线AB的方程为0 3 1 3 2 kykx，此时点 P 到直线 AB 的距离 k k k k d 1 2 1 3 4 1 |1| 3 4 2 )0( k，其中2 1 k k或2 1 k k. 20 （ （本题本题 12 分分） 解解： （1）若某居民用水 17 吨，则需交费124451 775 （元）. .(4 分) （2）设取到第二阶梯电量的用户数为，可知第二阶梯电量的用户有 3 户，则可取 0，1， 2，3. 高三理科数学 第 3 页（共 4 页） 24 7 )0( 3 10 3 7 C C p， 40 21 ) 1( 3 10 1 3 2 7 C CC p， 40 7 )2( 3 10 2 3 1 7 C CC p， 120 1 )3( 3 10 3 3 C C p. 故的分布列是 0 1 2 3 p 7 24 21 40 7 40 1 120 所以 10 9 120 1 3 40 7 2 40 21 1 24 7 0)(E. .(8 分) （3）可知从全市中抽取 10 户的用电量为第一阶梯，满足X) 5 3 ,10(B， 于是为 kkk CkXP 10 10 ) 5 2 () 5 3 ()(，10, 2 , 1 , 0k. 由 ,) 5 2 () 5 3 () 5 2 () 5 3 ( ,) 5 2 () 5 3 () 5 2 () 5 3 ( )1(1011 10 10 10 )1(1011 10 10 10 kkkkkk kkkkkk CC CC 化简得 ,23 ,32 1 1010 1 1010 kk kk CC CC 解得 5 33 5 28 k. 因为 Nk，所以6k. .(12 分) 21 （ （本题本题 12 分分） 解解： （1）由0ln)e ()(xxxf，得1x，或ex，所以函数)(xf的零点为1e，. 因为1ln e )(x x xf，所以1e) 1 ( f ，1)e ( f 因为0)e () 1 ( ff，所以，曲线( )yf x在1x 处的切线方程为) 1)(1e (xy，在ex处 的切线方程为exy. .(4 分) （2）因为1ln e )(x x xf，所以0 e1 )( 2 xx xf，所以1ln e )(x x xf单调递减. 令) 1)(1e ()(xxg，e)(xxh. 下证)()(xgxf，即) 1)(1e (ln)e (xxx. 记xxxxmln)e () 1)(1e ()(，则e e ln)( x xxm，0 e1 )( 2 xx xm， 所以 m x单调递增，且 10 m ，故 m x在01 ，单减， m x在1 ，单增. 所以 10m xm，即) 1)(1e (ln)e (xxx. 同法可证)()(xhxf，即eln)e (xxx.(略) 不妨设mxhxfxfxg)()()()( 4213 ， 因为)()()( 311 xgmxfxg，且) 1)(1e ()(xxg为增函数，所以 31 xx . 由mxxg) 1)(1e ()( 33 ，得1 1e 3 m x. 同理， 24 xx ，mx e 4 ， 所以，mxxxx m e1 1e 4213 . 所以， 1e e 1e1) 1e (e| 21 mm mxx， 高三理科数学 第 4 页（共 4 页） 所以， 1e e 1e| 21 m xx. .(12 分) 22选修选修 4-4：坐标系与参数方程坐标系与参数方程（本题本题 10 分分） 解解： （1）曲线 1 C的普通方程 2 2 34xy， 曲线 2 C的普通方程4xy. .(4 分) （2）将4xy代入 2 2 34xy，并整理得021142 2 yy， 所以7 21 yy， 2 21 21 yy. 因为|2| 1 yPA ，|2| 2 yPB ， 所以 3 2 2 )(2 | 1 | 1 21 21 yy yy PBPA . .(10 分) 另解另解：点(4,0)P，过点(4,0)P的直线l的参数方程为 , 2 2 , 2 2 4 ty tx 代入 2 2 34xy，得02127 2 tt， 12 7 2tt， 1 2 21t t . 所以， 12 12121 2 1111117 22 |213 tt PAPBttttt t . .(10 分) 23选修选修 4-5：不等式选