线性代数2-1节-n阶行列式定义

第二章方阵的行列式,行列式是一种常用的数学工具，也是代数学中必不可少的基本概念，在数学和其他应用科学以及工程技术中有着广泛得用应用。本章主要介绍行列式的概念、性质和计算方法。,教学目的：通过本章的教学使学生了解行列式的概念，掌握行列式的性质，会计算各种类型的行列式.,教学要求：理解行列式的概念，深刻理解方阵与方阵的行列式的关系，会用行列式的六条性质熟练计算各种类型的行列式，掌握行列式的展开定理和拉普拉斯定理.,教学重点：方阵行列式的性质及展开定理，计算典型的行列式的各种方法.,教学难点：n阶行列式的计算，拉普拉斯定理的应用.,用消元法求解，得：,当时，求得方程组有唯一解：,1阶行列式的定义,1、二元线性方程组,1.1n阶行列式的引出,由方程组的四个系数确定.,为了便于记忆，引入二阶行列式,来表示4个数的一种运算，,主对角线,副对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,则二元线性方程组的解为,注意分母都为原方程组的系数行列式.,例1解二元线性方程组,解由于,2.三元线性方程组,同理用消元法可求得，当,时，,三元线性方程组有唯一解：,(1)沙路法,三阶行列式的计算,(2)对角线法则,注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号,说明1.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,例2,3.n元线性方程组,构造：,下面提出三个问题：,（1）D=？（怎么算）？,（2）当D0时，方程组是否有唯一解？,（3）若D0时，方程组有唯一解，解的形式是否是,1.2全排列及其逆序数,1、全排列用1，2，3三个数字可以排6个不重复三位数即：123，231，312，132，213，321,一般地，把n个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？这是一个全排列问题。从n个元素中任取一个放在第一个位置上，有n种取法；再从剩下的n-1个元素中任取一个元素，放在的第二个位置上有n-1种取法;依此类推，直到最后剩下一个元素放在最后位置上，只有一种取法；于是：,在一个排列中，若数则称这两个数组成一个逆序.,例如排列32514中，,定义,我们规定各元素之间有一个标准次序,n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.,2.排列的逆序数,32514,定义一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.,例如排列32514中，,32514,逆序数为3,1,故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.,由前往后分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.,方法2,计算排列逆序数的方法:,例3在19构成的排列中,求j、k，使排列1274j56k9为偶排列.解：由题可知，j、k的取值范围为3，8当j=3、k=8时，经计算可知，排列127435689的逆序数为5，即为奇排列当j=8、k=3时，经计算可知，排列127485639的逆序数为10，即为偶排列j=8，k=3,例4计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.,解,当时为偶排列；,当时为奇排列.,例5设排列x1x2x3xn的逆序数为I，求xnx3x2x1的逆序数（x1x2x3xn是1n的某一排列）解：排列x1x2x3xn与排列xnx3x2x1的逆序数之和等于1n这n个数中任取两个数的组合数即：,（习题课教程P35例3）,4.对换,定义,在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的变换叫做对换,将相邻两个元素对调，叫做相邻对换,例如,对换与排列的奇偶性的关系(P37),定理1.1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性,证明,设排列为,除外，其它元素的逆序数不改变.,先证二相邻元素对换的情形.,当时，,经对换后的逆序数不变，的逆序数减少1.,因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.,当时，,所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.,推论1,奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.,证明,由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此,知推论成立.,由于n个不同元素的全排列的总数为n!，由定理1，我们还有：,推论2在n个不同元素的全排列中，奇偶排列各,占一半，均为n!/2个。,1.3n阶行列式值的定义,(P38)定义1.1设n阶方阵A=（aij)，定义n阶行列式|A|的值为,也可记为:,作出n阶方阵A=（aij)中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号，得到形如的项（称为行列式的一个均布项），其中j1j2,jn为自然数1，2，n的一个排列，为这个排列的逆序数。这样的排列共有n!个，所有这些项的代数和即为n阶行列式的值。,说明：,1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;,2、阶行列式是项的代数和;,3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同列个元素的乘积;,4、一阶行列式不要与绝对值记号相混淆;,5、的符号为,例7用行列式的定义计算,解,行列式的另一种定义形式为:(P39),同理，也可以定义为:,其中，,1.4几种特殊的行列式,（1）对角行列式,证明,第一式是显然的,下面证第二式.,若记,则依行列式定义,证毕,（2）下（上）三角行列式,（3）,其中，,证明过程请大家阅读书P40例1.4,附:有关结论,1.二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.,小结：,3.排列具有奇偶性.,2.个不同的元素的所有排列种数为,4.一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性,5.行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的.,6.行列式的三种表示方法,7.阶行列式共有项，每项都是位于不同行、不同列的个元素的