第四章 差异量数

第一节 全距、百分位差、四分位差、平均差一、全距全距是一列数据中最大数与最小数的差距，又称极差，用符号（Range）表示，其公式为 全距是说明数据离散程度最简单的统计量。全距的局限：该统计量只依据分布中的两个极端值，未利用到分布的大部分信息。它不能反映观察值的整个变异度，样本的例数越多，全距越大，不够稳定。二、百分位差百分位差表示某两个百分位数之间差异程度的指标。常用的百分位差如，。百分位数是指量尺上的一个点，在此点以下，包括数据分布中全部数据个数的一定百分比，符号为Pp。其计算公式为：例4-1：用下面的次数分布表计算该分布的百分位差P90- P10。组别65115760415655615250814645161384024122353498302164251643201127159162077100解：先计算P90 和P10 第1步：确定P百分位数对应的位置， ， 第2步：确定百分位数所在的分组区间，P90在“50”这组，P10在“15”这组第3步：确定公式中的符号，第4步：代入公式计算P90 ，P10第5步：计算P90-P10答：该分布的百分位差P90-P10是32.23。百分等级：任意分数在整个分数分布中所处的百分位置，百分等级是一种相对位置量数。计算公式为：三、四分位差四分位差是百分位差的特例，用于分析（）与（）之差的一半，即四、平均差（一）概念及计算公式平均差是一组数内各个数据之间与平均数的绝对离差的平均数。用A.D.或者M.D.表示。计算公式为：分组数据计算平均差（二）特点较好反映了数据分布的离散程度。平均数代表一组数据得集中趋势，把一组数据中的每个数据与平均数比较就可以得到每个数据与平均数偏离的程度。但是有绝对值，计算起来不方便。属于低效的差异量数。第二节 方差和标准差一、定义及公式方差是离均差平方的算术平均数，表示一列数据平均差距的平方，其样本方差用符号表示，总体方差用符号表示。标准差就是方差的算术平方根，表示一列数据的平均差距。样本标准差用符号或表示，总体标准差则用符号表示。标准差可用于描述变量值的离散程度，与均数结合还可描述资料的分布情况，此外还可用于求参考值范围和计算标准误。 利用原始数据的计算公式：原始数据公式推导过程如下： ， 例4-2：计算6、5、7、4、6、8这一组数据的方差和标准差。（一）计算步骤：1） 求平均数2）求离均差的平方和 3）代入方差和标准差的公式，计算结果： （二）采用原始数据计算 表4-2 方差与标准差的原始数据计算表编号14162525374944165636686436226计算步骤：1）求原始数据的和，即，见表4-2的第2栏。 2）将每一数据（）平方，并求其平方和（），见表4-2的第3栏。 3）代入方差的公式，计算结果方差： 二、计算分组数据的标准差与方差表4-3 学生创造性思维成绩分布表第1行40-4435-3930-3425-2920-2415-19第2行人数173118232第3行组中值423732272217第4行422599629717634904第5行13.758.753.75-1.25-6.25-11.250第6行189.062576.562514.06251.562539.0625126.5625第7行189.0625535.937542.187517.1875312.5000253.1251350.00001基本式 计算过程如下： 1）求各组次数与组中值的乘积（）及乘积和（），见表4-3的第4行。 2）求平均数 3）求各组的离均差（）及各组的离均差平方，见表4-3的第5行和第6行。 4）求各组的次数与离差平方的乘积及其连加和，见表4-3的第7行。 5）代入公式，计算结果简捷式过程如下： 1）确定各组的简化值，见表4-4的第4行。 2）求各组简化值的平方，即，见表4-4的第5行。 3）求各组次数与简化值乘积及连加和（），见表4-4的第6行。4）求各组次数与简化值平方的乘积及连加和（），见表4-4的第7行。 5）代入公式，计算结果。表4-4 学生创造性思维成绩分布表第1行40-4435-3930-3425-2920-2415-19第2行人数173118232第3行组中值423732272217第4行3210-1-2第5行941014第6行31430-8-48第7行928308856三、方差与标准差的合成方差： 标准差： 例4-4：在三个班级进行某项能力研究，三个班测查结果的平均数和标准差分别如下，求三个班的总标准差。班级人数（）均数（）标准差（）1421031663623611012113509817-41674计算步骤： 1）求总平均数 2）求离差和离差的平方 3）代入公式，计算结果 四、方差与标准差的性质和意义（一）性质可加性、可分解性1、每一个观测值都加一个相同常数C之后，计算得到的标准差等于原标准差。2、每一个观测值都乘以一个相同的常数C，所得到的标准差等于原标准差乘以这个常数。3、每一个观测值都乘以同一个常数C，再加上一个常数d，所得的标准差等于原标准差乘以这个常数C。（二）意义1、方差与标准差是表示一组数据离散程度的最好指标。2、切比雪夫定理指出，随机变量落在平均值附近的概率与标准差有一定的数量关系。第三节 标准差的应用一、差异系数（一）概念及公式差异系数：又称变异系数、相对标准差等，为标准差对平均数的百分比，用CV表示。差异系数是一种相对差异量。用以比较不同单位数据资料的差异，或比较单位相同但平均数相差甚大的数据资料的差异。计算公式为：（二）注意事项 1、测量的数据要保证等距；2、测量工具应具备绝对零；3、差异系数只能用于一般的相对差异量的描述，不能进行统计推论。二、标准分数（一）概念及公式标准分数：又称基分数或Z分数，是以标准差为单位的一种量数。表示的是一个原始分数在团体中所处的相对位置。计算公式： （二）标准分数的性质1、无实际单位，以平均数为参照点，以标准差为单位的一个相对量2、所有原始分数的Z分数之和等于03、一组原始分数中，各个Z分数的标准差为1，平均数为04、若原始分数呈正态分布，则转换得到的所有Z分数的分布为均值为0，标准差为1的标准正态分布。（三）标准分数的应用1、比较观测值在数据分布中的相对位置的高低例4-5：某年高考理科数学全国平均成绩65分，标准差是12.5分，考生A、B、C三人的数学原始分数是50、65、85分，求他们的标准分数是多少？解：2、计算不同质的观测值的总和，以表示在团体中的相对位置例4-6：高考时两名考生的成绩分数，以及全体考生的平均分，标准差如下，试问根据考试成绩应该优先录取哪名考生？考试科目甲乙平均分标准差Z（甲）Z（乙）语文858970101.51.9政治70626551-0.6外语6872698-0.1250.375数学53405060.5-1.67理化7287758-0.3751.5742.51.505计算步骤：1） 计算每门学科的Z分数；2） 计算甲与乙各学科的Z分数之和；3）比较Z分数。3、表示标准测验分数线性转换,将标准分数转换成正态标准分数，转换公式为：三、异常值的取舍在整理数据时，常采用三个标准差法则取舍数据，即如果数据值落在平均数加减三个标准差之外，则在整理数据时，可将此数据作为异常值舍弃。第四节 差异量数的选用一、优良差异量数的标准根据客观数据资料获得的根据全部观测值计算出来简单明了计算方便稳定能够采用代数方法进行计算二、各种差异量数的比较标准差：计算严密，考虑了全部数据，测量具有代表性，适合代数运算，稳定，反应灵敏。但是不好理解方差：描述作用不大，但是具有可加性，是对一组数据重造成各种变异的总和的测量，通常采用方差的可加性分解并确定属于不同来源的变异性，并进一步说明各种变异对总结果的影响。三、各种差异量数之间的关系样本相当大的时候，标准差大约为全距的六分之一。四、如何选用差异量数（一）需