无穷小量定义ppt课件

.,一、无穷小量,1、定义:,极限为零的变量称为无穷小量.,5无穷小量与无穷大量,设f在某U(x0)内有定义,若则称f为当xx0时的无穷小量。,若函数g在某U(x0)内有界，则称g为xx0时的有界量。,.,类似可定义xx0+,xx0-,x+,x以及x时的无穷小量与有界量。,任何无穷小量都是有界量。,.,例1,.,注意,（1）无穷小是一种变量,不能与很小的数混淆;,（2）零是可以作为无穷小的唯一的常数.,问：无穷小是否为很小的数？,很小的数是否为无穷小？,.,二、无穷小量与极限的关系,定理1,意义：,（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小量);,.,三、无穷小量的性质,性质1有限个相同类型的无穷小量的和、差、积仍是无穷小量.,性质2（同一过程中的）有界量与无穷小量的乘积是无穷小，即O(1)o(1)=o(1).,用迫敛性可以证明。,证法1：,.,证法2,性质2（同一过程中的）O(1)o(1)=o(1).,即O(1)o(1)=o(1).,.,.,注意无穷多个无穷小量的代数和未必是无穷小；无穷多个无穷小量的乘积未必是无穷小.,.,四、无穷小量阶的比较,无穷小量之比的极限（0/0）可以出现各种情况：,出现不同情况的原因是无穷小趋向于零的速度不同.,例如,不可比.,观察各极限,.,设当xx0时，f与g均为无穷小量，,1若则称当xx0时,f为g的高阶无穷小量,或称g为f的低阶无穷小量，记作,例如，当x0时，x,x2,xn(n为正整数)等都是无穷小量，有,.,.,若存在正数K和L，使得在某U(x0)上有,则称f与g为当xx0时的同阶无穷小量。,f与g必为同阶无穷小量。,2.,.,注若f(x),g(x)是同阶无穷小量，则可记作f(x)=O(g(x),但若f(x)=O(g(x),则f(x)与g(x)不一定是同阶无穷小量。,.,.,属于,函数类,.,3若则称当xx0时,f与g是等价无穷小量，记作,f(x)g(x)(xx0).,注：并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较。,例如，当x0时，xsin1/x和x2都是无穷小量，,当x0时不是有界量，,当x0时不是有界量，,故当x0时，xsin1/x和x2不能比较。,.,例1,例,解,.,常用等价无穷小:,.,五、等价无穷小量在求极限问题中的作用,定理3设函数f,g,h在U(x0)内有定义，且有f(x)g(x)(xx0).,证（2）,.,推论,证,证毕,.,例5,解,.,例6,解,解,错,注意：只可对乘积中的无穷小因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小项不能随意作等价无穷小量代换。,.,作业,P66.1(4)2(2),.,六、无穷大量,定义2设函数f在某U(x0)内有定义，若,则称函数f当xx0时有非正常极限，记作,若将“|f(x)|G”换成“f(x)G”或“f(x)G”,则分别称f当xx0时有非正常极限或，分别记作,类似可定义其他极限过程的非正常极限。,.,定义3对于自变量x的某种趋向（或n时），所有以，或为非正常极限的函数（包括数列），都称为无穷大量。,.,至此，我们定义了极限的全部24种情形。,刻画函数极限值情况。,刻画自变量变化情况。,.,注意,（1）无穷大量是变量,不能与很大的数混淆;,（3）无穷大量是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大量.,.,证,.,证,.,七、无穷小与无穷大的关系,定理4在同一过程中,无穷大量的倒数为无穷小量;恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量.,证,.,意义：关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.,.,注对无穷大量也可以比较它们趋于无穷大的速度，定义高（低、同）阶无穷大以及等价无穷大；也可以进行等价无穷大量替换。,.,例3,分析,.,证明,.,证明,.,八、曲线的渐近线,定义:,1.垂直渐近线,即动点沿着上下方向无限远离原点时，动点到直线x=x0距离趋于0。,.,例如,有垂直渐近线两条:,求垂直渐近线，一般关注分式中分母为0的点。,.,2.水平渐近线,例如,有水平渐近线两条:,即动点沿着左右方向无限远离原点时，动点到直线y=b距离趋于0。,.,3