辽宁地区高三数学函数的最大值与最小值课件 人教

函数的最大值与最小值,一、复习与引入,1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:如果在x0附近的左侧右侧,那么,f(x0)是极大值;如果在x0附近的左侧右侧,那么,f(x0)是极小值.,2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充分条件.极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到.,3.在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上,哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.,二、新课函数的最值,观察右边一个定义在区间a,b上的函数y=f(x)的图象.,发现图中_是极小值，_是极大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值是_。,问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？,导数的应用-求函数最值.,(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)比较,其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.,求f(x)在闭区间a,b上的最值的步骤,(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值),求函数的最值时,应注意以下几点:,(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.,求函数的最值时,应注意以下几点:,(2)闭区间a,b上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.,(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值(或极小值).,(4)如果函数不在闭区间a,b上可导,则在确定函数的最值时,不仅比较函数各导数为零的点与端点的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值.,(5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较.,三、例题选讲,例1:求函数y=x4-2x2+5在区间-2,2上的最大值与最小值.,解:,令,解得x=-1,0,1.,当x变化时,的变化情况如下表:,从上表可知,最大值是13,最小值是4.,例2、函数y=x+3x9x在4,4上的最大值为,最小值为.,分析:(1)由f(x)=3x+6x9=0,(2)区间4,4端点处的函数值为f(4)=20,f(4)=76,得x1=3，x2=1,函数值为f(3)=27,f(1)=5,当x变化时，y、y的变化情况如下表：,比较以上各函数值，,可知函数在4,4上的最大值为f(4)=76，最小值为f(1)=5,求下列函数在指定区间内的最大值和最小值:,练习:,最大值f(1)=3，最小值f(3)=61,最大值f(3/4)=5/4，最小值f(5)=5+,设,函数的最大值为1,最小值为,求常数a,b.,解:令得x=0或a.,当x变化时,f(x)的变化情况如下表:,由表知,当x=0时,f(x)取得极大值b,而f(0)f(a),f(0)f(-1),f(1)f(-1).故需比较f(1)与f(0)的大小.,又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)/20,所以f(x)的最大值为f(0)=b,故b=1.,（04浙江文21）（本题满分12分）已知a为实数，（）求导数；（）若，求在-2，2上的最大值和最小值；（）若在（-，-2和2，+）上都是递增的，求a的取值范围。,例3,2、求最大（最小）值应用题的一般方法:,(1)分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式，这是关键一步;,(2)确定函数定义域，并求出极值点;,(3)比较各极值与定义域端点函数的大小，结合实际，确定最值或最值点.,1、实际应用问题的表现形式，常常不是以纯数学模式反映出来:,首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质;其次，建立相应的数学模型,将应用问题转化为数学问题,再解.,四、应用,解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积V(x)=x2h=(60 x2-x3)/2(0x60).,令,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=16000.,由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子的容积很小,因此,16000是最大值.,答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.,解:设圆柱的高为h,底半径为r,则表面积S=2rh+2r2.,由V=r2h,得,则,令,解得,从而,即h=2r.,由于S(r)只有一个极值,所以它是最小值.,答:当罐的高与底半径相等时,所用的材料最省.,解:设B(x,0)(0x2),则A(x,4x-x2).,从而|AB|=4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积为:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0x2).,令,得,所以当时,因此当点B为时,矩形的最大面积是,五、小结,1.求在a,b上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在a,b上的最值的步骤:(1)求f(x)在(a,b)内的极值;(2)将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.,2.求函数的最值时,应注意以下几点:,(1)要正确区分极值与最值这两个概念.,(2)在a,b上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在(a,b)内未必有最大值与最小值.,(3)一旦给出的函数在(a,b)上有个别不可导点的话,不要忘记在步骤(2)中,要把这些点的函数值与各极值和f(a)、f(b)放在一起比较.,3.应用问题要引起重视.,(1)利用函数的导数求函数的最