189904高等数学练习题库及答案.pdf

高等数学练习测试题库及答案高等数学练习测试题库及答案 一选择题一选择题 1.函数 y= 1 1 2 x 是（） A.偶函数B.奇函数C 单调函数D 无界函数 2.设 f(sin 2 x )=cosx+1,则 f(x)为（） A2x 2 2B22x 2 C1x 2 D 1x 2 3下列数列为单调递增数列的有（） A0.9 ，0.99，0.999，0.9999B 2 3 ， 3 2 ， 4 5 ， 5 4 Cf(n),其中 f(n)= 为偶数， 为奇数 n n n n n n 1 , 1 D. n n 2 12 4.数列有界是数列收敛的（） A充分条件B. 必要条件 C.充要条件D 既非充分也非必要 5下列命题正确的是（） A发散数列必无界B两无界数列之和必无界 C两发散数列之和必发散D两收敛数列之和必收敛 6 1 ) 1sin( lim 2 1 x x x （） A.1B.0C.2D.1/2 7设 x x x k )1 (lime 6 则 k=() A.1B.2C.6D.1/6 8.当 x1 时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（） A.x 2 -1B. x 3-1 C.(x-1) 2 D.sin(x-1) 9.f(x)在点 x=x0处有定义是 f(x)在 x=x0处连续的（） A.必要条件B.充分条件 C.充分必要条件D.无关条件 10、当|x|1 时，y=（） A、是连续的B、无界函数 C、有最大值与最小值D、无最小值 高等数学练习测试题库及答案高等数学练习测试题库及答案 一选择题一选择题 1.函数 y= 1 1 2 x 是（） A.偶函数B.奇函数C 单调函数D 无界函数 2.设 f(sin 2 x )=cosx+1,则 f(x)为（） A2x 2 2B22x 2 C1x 2 D 1x 2 3下列数列为单调递增数列的有（） A0.9 ，0.99，0.999，0.9999B 2 3 ， 3 2 ， 4 5 ， 5 4 Cf(n),其中 f(n)= 为偶数， 为奇数 n n n n n n 1 , 1 D. n n 2 12 4.数列有界是数列收敛的（） A充分条件B. 必要条件 C.充要条件D 既非充分也非必要 5下列命题正确的是（） A发散数列必无界B两无界数列之和必无界 C两发散数列之和必发散D两收敛数列之和必收敛 6 1 ) 1sin( lim 2 1 x x x （） A.1B.0C.2D.1/2 7设 x x x k )1 (lime 6 则 k=() A.1B.2C.6D.1/6 8.当 x1 时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（） A.x 2 -1B. x 3-1 C.(x-1) 2 D.sin(x-1) 9.f(x)在点 x=x0处有定义是 f(x)在 x=x0处连续的（） A.必要条件B.充分条件 C.充分必要条件D.无关条件 10、当|x|2）有 2 1 0 2 1 022 6 0 2 1 arcsin 11 2 1 1 1 1 1 1 x x dx x dx xx nn 即， 2 1 0 )2( , 6 1 2 1 n x dx n 3设)(xf，g(x)区间)0(,aaa上连续，g(x)为偶函数，且)(xf满足条件 。为常数)()()(AAxfxf证明： aa a dxxgAdxxgxf 0 )()()( 证明：dxxgxfdxxgxfdxxgxf a a a a 0 0 )()()()()()( dxxgxfduugufuxdxxgxf a aa 0 00 )()()()()()(令 aaaaa a dxxgAdxxgxfxfdxxgxfdxxgxfdxxgxf 0000 )()()()()()()()()()( 4设 n 为正整数，证明 2 0 2 0 cos 2 1 sincos xdxxdxx n n nn 证明：令 t=2x,有 0 1 2 0 2 0 1 sin 2 1 2)2(sin 2 1 sincostdtxdxxdxx n n n n nn ,sinsin 2 1 2 2 0 1 tdttdt nn n 又， 0 2 2 0 2 sin)(sinsin ududuuuttdt nnn ， 所以， 2 2 0 2 0 2 0 2 0 1 sin 2 1 sin 2 1 )sinsin( 2 1 sincosxdxtdttdttdtxdxx n n n n nn n nn 又， 2 0 0 22 coscos 2 sin xdxtdttxxdx nnn 因此， 2 0 2 0 cos 2 1 sincos xdxxdxx n n nn 5设)(t是正值连续函数，),0(,)()( aaxadtttxxf a a 则曲线 )(xfy 在aa,上是凹的。 证明： x a a x dttxtdtttxxf)()()()()( x a a x x a x a dttxdtttdtttdttx)()()()( x a x a x a a x dttdttdttdttxf)()()()()( 0)(2)()()(xxxxf 故，曲线)(xfy 在aa,上是凹的。 6.证明： 1 1 1 22 11 x x x dx x dx 证明： 11 1 1 1 1 1 222 2 1 2 11 ) 1 ( 1 1 1 1 x x xx u x x dx u du du u u x dx 令 7设)(xf是定义在全数轴上，且以 T 为周期的连续函数，a 为任意常数，则 Ta a T dxxfdxxf 0 )()( 证明： aaa Txf xfTxf Tux Ta T dxxfdxTxfduTufdxxf 000 )( )()( )()()()( 为周期以令 0)()( 0 Ta T a dxxfdxxf 在等式两端各加 T dxxf 0 )(，于是得 Ta a T dxxfdxxf 0 )()( 8若)(xf是连续函数，则 xxu duufuxdudttf 000 )()()( 证明： xuxu duuuf x dttfududttf 0000 )( 0 )()( xx duuufdttfx 00 )()( x duufux 0 )()( 9设)(xf，)(xg在ba,上连续，证明至少存在一个),(ba使得 a b dxxfgdxxgf)()()()( 证明：作辅助函数 x a b x dttgdttfxF)()()(，由于)(xf,)(xg在ba,上连续，所以 )(xF在ba,上连续，在（a,b）内可导，并有0)()(bFaF由洛尔定理 ),(, 0)(baF 即 x b x x a x x x a b x xgdttfdttgxfdttgdttf)()()()()()( b a dxxfgdxxgf )()()()( 0 亦即， a b dxxfgdxxgf)()()()( 10设)(xf在ba,上连续，证明： b a b a dxxfabdxxf)()()( 2 2 证明：令 x a x a dttfaxdttfxF)()()()( 2 2 x a dtxftfxF0)()()( 2 故)(xf是ba,上的减函数，又0)(aF，0)()(aFbF 故 b a b a dxxfabdxxf)()()( 2 2 11设)(xf在ba,上可导，且Mxf)(