2018届高考数学文大一轮复习阶段检测三角函数和复数阶段检测试题含答案.pdf

第三、四章阶段检测试题第三、四章阶段检测试题 时间：120 分钟分值：150 分 一、选择题(每小题 5 分，共 60 分) 1sin15cos15等于() A.1 4 B 3 4 C.1 2 D 3 2 解析：由题 sin15cos151 2sin30 1 4. 答案：A 2已知|a a|1，b b(0,2)，且a ab b1，则向量a a与b b夹角的大小为() A. 6 B 4 C. 3 D 2 解析：因为|a a|1，b b(0,2)，且a ab b1，所以 cosa a，b b a ab b |a|a|b b| 1 1 02 2 1 2，所以向量 a a 与b b夹角的大小为 3 . 答案：C 3(2016新课标全国卷)若z43i，则 z |z|( ) A1B1 C.4 5 3 5i D4 5 3 5i 解析： z |z| 43i 4 232 4 5 3 5i，故选 D. 答案：D 4(2016新课标全国卷)若将函数y2sin2x的图象向左平移 12个单位长度，则平移后图象的对 称轴为() Axk 2 6 (kZ Z) Bxk 2 6 (kZ Z) Cxk 2 12(kZ Z) Dxk 2 12(kZ Z) 解析：函数y2sin2x的图象向左平移 12个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为 y2sin2(x 12)，令 2(x 12)k 2 (kZ Z)，解得xk 2 6 (kZ Z)，所以所求对称轴的方程为xk 2 6 (k Z Z)，故选 B. 答案：B 5对任意向量a a，b b，下列关系式中不恒成立的是() A|a ab b|a a|b b| B|a ab b|a a|b b| C(a ab b) 2|a ab b|2 D(a ab b)(a ab b)a a 2b b2 解析：|a ab b|a a|b b|cosa a，b b| |a a|b b|，故 A 恒成立； 由向量的运算法则知 C，D 也恒成立； 当b ba a0 时，|a ab b|a a|b b|，B 不恒成立故选 B. 答案：B 6在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A 3 ，a 3，b1，则c等于() A1B2 C. 31D 3 解析：法 1：(余弦定理)由a 2b2c22bccosA 得 31c 22c1cos 3 1c 2c， 所以c 2c20. 所以c2 或1(舍去) 法 2：(正弦定理)由 a sinA b sinB，得 3 sin 3 1 sinB，所以 sinB 1 2， 因为ba，所以B 6 ，从而C 2 ， 所以c 2a2b24，所以 c2. 答案：B 7在ABC中，若 tanAtanB1，则ABC的形状是() A一定是锐角三角形 B一定是直角三角形 C一定是钝角三角形 D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 解析： 由 tanAtanB0.当 tanA0，即角A，B都是锐角时，tanCtan(AB)tan(AB) tanAtanB 1tanAtanB0， 2 2 的部分图象如图所示，f(x)的图象左移 4 个单位得 到g(x)的图象，则g(x)的一条对称轴可以是() Ax0Bx 3 Cx 2 Dx 3 解析：由图象可知T 2 11 12 5 12 2 ，即函数的最小正周期T，所以2，因为f 5 12 2sin 25 12 2sin 5 6 2，即 sin 5 6 1，所以5 6 2 k，kZ Z，即 3 k，kZ Z，因为 2 1，| 2 ，且其图象相邻的两条对称轴为 x10，x2 2 ，则() Ayf(x)的最小正周期为，且在 0， 2 上为增函数 Byf(x)的最小正周期为，且在 0， 2 上为减函数 Cyf(x)的最小正周期为 2，且在(0，)上为增函数 Dyf(x)的最小正周期为 2，且在(0，)上为减函数 解析：由已知条件得f(x)2cos x 3 ， 由题意得T 2 2 ，T.T2 ，2.又f(0)2cos 3 ，x0 为f(x)的对称轴， f(0)2 或2，又| 2 ， 3 ，此时f(x)2cos2x，在 0， 2 上为减函数，故选 B. 答案：B 11(2017湖南东部六校联考)如图所示，已知点G是ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分 别交于M，N两点，且AM xAB ，AN yAC ，则x2y的最小值为() A2B1 3 C.32 2 3 D3 4 解析：由已知可得AG 2 3 1 2(AB AC )1 3AB 1 3AC 1 3xAM 1 3yAN ，又M，G，N三点共线，故 1 3x 1 3y1， 1 x 1 y3，则 x2y(x2y) 1 x 1 y1 3 1 3 32y x x y32 2 3 (当且仅当x 2y时，取“”号) 答案：C 12 在 RtABC中，CACB3，M，N是斜边AB上的两个动点， 且MN 2， 则CM CN 的取值范围为() A2，5 2 B2,4 C3,6D4,6 解析：记MN的中点为E，则有CM CN 2CE ，CM CN 1 4(CM CN ) 2(CM CN ) 2CE 21 4MN 2CE 21 2. 又|CE |的最小值等于点C到AB的距离， 即3 2 2 ， 故CM CN 的最小值为(3 2 2 ) 21 24， 当点 M(或N)与点A(或 B)重合时，|CE |达到最大，|CE |的最大值为 3 2 2 2 2 2 13 2 ，因此CM CN 的取值范围是 4,6，选 D. 答案：D 二、填空题(每小题 5 分，共 20 分) 13函数ytan 2x 6 的对称中心为_ 解析：ytanx(x 2 k，kZ Z)的对称中心为 k 2 ，0 (kZ Z)， 可令 2x 6 k 2 (kZ Z)， 解得x 12 k 4 (kZ Z) 因此，函数ytan 2x 6 的对称中心为 12 k 4 ，0 (kZ Z) 答案： 12 k 4 ，0 (kZ Z) 14已知 sin1 2cos，且 0， 2 ，则 cos2 sin 4 的值为_ 解析：依题意得 sincos1 2， 又(sincos) 2(sincos)22， 所以(sincos) 2 1 2 22， 故(sincos) 27 4. 又 0， 2 ，因此有 sincos 7 2 ， 所以 cos2 sin 4 cos 2sin2 2 2 sincos 2(sincos) 14 2 . 答案： 14 2 15(2016江苏卷)如图，在ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BA CA 4， BF CF 1，则BE CE 的值是_ 解析：设BD a a，DF b b，则BA CA (a a3b b)(a a3b b)9|b b| 2|a a|24，BF CF (a ab b)(a a b b)|b b| 2|a a|21，解得|a a|213 8 ，|b b| 25 8，则BE CE (a a2b b)(a a2b b)4|b b| 2|a a|27 8. 答案：7 8 16(2017太原一模)在锐角ABC中，已知B 3 ，|AB AC |2，则AB AC 的取值范围是_ 解析：B 3 ，ABC是锐角三角形，AC2 3 ， 6 A 2 ，|AB AC |2，|AB AC |a 2 ， a sinA b sinB c sin 2 3 A ， b 3 sinA ，c 2sin 2 3 A sinA ， AB AC cbcosA 2 3sin 2 3 A sin 2A cosA 3 tan 2A 3 tanA( 3 tanA 1 2) 21 4， 3 tanA(0,3)，AB AC (0,12) 答案：(0,12) 三、解答题(共 6 小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤) 17(10 分)已知函数f(x) 3sinxcosxcos 2xa. (1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间； (2)若f(x)在区间 6 ， 3 上的最大值与最小值的和为3 2，求 a的值 解：(1)因为f(x) 3 2 sin2x1 2(1cos2x)asin 2x 6 1 2a， 所以其最小正周期T； 由 2k 2 2x 6 2k3 2 (kZ Z)得k 6 xk2 3 (kZ Z)， 所以f(x)的单调递减区间是 k 6 ，k2 3(kZ Z) (2)因为 6 x 3 ， 所以 6 2x 6 5 6 ， 所以1 2sin 2x 6 1. 所以asin 2x 6 1 2a 3 2a， 即f(x)在区间 6 ， 3 上的值域为 a，a3 2 ，又f(x)在区间 6 ， 3 上的最大值与最小值的和 为3 2，所以 aa3 2 3 2，则 a0. 18(12 分)已知函数f(x)2 2cos(x 4 )cos(x 4 )2 2sinxcosx. (1)求f(x)的最小正周期和最大值； (2)在下图给出的坐标系中画出函数yf(x)在区间0，上的图象，并说明yf(x)的图象是由y sin2x的图象怎样变换得到的 解 ： (1)f(x) 22 cosxcos 4 sinxsin 4 cosxcos 4 sinxsin 42 sin2x2 (cosx sinx)(cosx sinx) 2 sin2x2 (cos 2x sin 2x) 2 sin2x2 cos2x2 sin2x 2 2 2 cos2x 2 2 sin2x 2sin 2x 4 ， 则f(x)的最小正周期T2 2 . 当 2x 4 2k 2 (kZ Z)， 即xk 8 (kZ Z)时，f(x)max2. (2)列表如下： x0 8 3 8 5 8 7 8 2x 4 4 2 3 2 2 9 4 f(x)220202 根据列表描点连线作出f(x)的图象如图所示： yf(x)的图象是由ysin2x的图象经过以下变换得到的：先将ysin2x的图象向左平移 8 个单位 长度，得到ysin 2x 4 的图象，再将ysin 2x 4 的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 2 倍， 横坐标不变，得到y2sin 2x 4 的图象 19(12 分)(2016江苏卷)在ABC中，AC6，cosB4 5，C 4 . (1)求AB的长； (2)求 cos(A 6 )的值 解：(1)因为 cosB4 5，0B，所以 sinB 1cos 2B 1 4 5 23 5. 由正弦定理知 AC sinB AB sinC， 所以ABACsinC sinB 6 2 2 3 5 5 2. (2)在ABC中，ABC，所以A(BC)， 于是 cosAcos(BC)cos(B 4 ) cosBcos 4 sinBsin 4 ， 又 cosB4 5，sinB 3 5， 故 cosA4 5 2 2 3 5 2 2 2 10 . 因为 0A，所以 sinA 1cos 2A7 2 10 ，因此，cos(A 6 )cosAcos 6 sinAsin 6 2 10 3 2 7 2 10 1 2 7 2 6 20 . 20(12 分)已知两个不共线的向量a a，b b，它们的夹角为，且|a a|3，|b b|1，x为正实数 (1)若a a2b b与a a4b b垂直，求 tan； (2)若 6 ，求|xa ab b|的最小值及对应的x的值，并判断此时向量a a与xa ab b是否垂直 解：(1)因为a a2b b与a a4b b垂直， 所以(a a2b b)(a a4b b)0 所以a a 22a ab b8b b20， 所以 3 2231cos8120， 所以 cos1 6， 又(0，)，sin 1cos 2 35 6 ， 所以 tansin cos 35. (2)|xa ab b|xa ab b 2 x 2a a22xa ab bb b2 9 x 3 6 21 4 故当x 3 6 时，|xa ab b|取最小值为1 2， 此时a a(xa ab b)xa a 2a ab b 3 6 931cos 6 0， 故向量a a与xa ab b垂直 21(12 分)(2017山西太原一模)已知a，b，c分别是ABC的内角A，B，C所对的边，且c2，C 3 . (1)若ABC的面积等于 3，求a，b； (2)若 sinCsin(BA)2sin2A，求A的值 解：(1)c2，C 3 ， 由余弦定理得 4a 2b22abcos 3 a 2b2ab， ABC的面积等于 3， 1 2absinC 3，ab4， 联立 a 2b2ab4， ab4， 解得 a2， b2. (2)sinCsin(BA)2sin2A， sin(BA)sin(BA)4sinAcosA， sinBcosA2sinAcosA， 当 cosA0 时，A 2 ； 当 cosA0 时，sinB2sinA，由正弦定理得b2a，联立 a 2b2ab4， b2a， 解得 a2 3 3 ， b4 3 3 ， b 2a2c2， C 3 ，A 6 . 综上所述，A 2 或A 6 . 22 (12 分)已知向量a a ksinx 3，cos 2x 3 ，b b cosx 3，k， 实数k为大于零的