大学物理相对论与量子力学基础综合练习题含答案.pdf

第 1 页 大学物理综合练习大学物理综合练习( (八八) ) 相对论与量子力学基础 教学班级： 序 号： 姓 名： 日 期： 一、选择题(把正确答案的序号填入括号内) 1一短跑选手，在地球上以s10的时间跑完100m 的跑道。在飞 行速度为c98. 0的飞船中观察者看来，这选手跑过的距离为 (设飞船飞行方向与跑道平行)。 (A) m100； (B) m9 .19； (C) m1048. 1 10 。 解： 2 1 = vtx x m1048. 1 199. 0 100 . 398. 0100 98. 01 )()( 10 8 2 1212 12 = = = ttvxx xxx C 2对于同时性，下列说法哪一个是正确的： (A)对某观察者来说发生在同一地点，同一时刻的二事件，对 其它一切观察者来说二事件发生在不同地点、不同时刻； (B)有二事件，在某惯性系发生于同一时刻、不同地点，它们 第 2 页 在任何其它惯性系中也是发生于同一时刻、不同地点； (C)有二事件，在某惯性系发生于同一时刻、不同地点，它们 在任何其它惯性系中是发生于不同时刻、不同地点。 解：(A)由 2 1 = vtx x， 2 2 1 / = cvxt t知，仍为同一地点、同一 时刻； (B)同理，应为不同地点、不同时刻； (C)正确。 C 3观察者甲在与其相对静止的惯性系中测得在同一地点发生的 两事件的时间间隔为s4，在其他惯性系中观察者乙和丙声称 他们测得的时间分别为s5和s3，根据相对论的时空观，两事 件的固有时间间隔应为 (A) s3； (B) s4； (C) s5。 解：相对于过程发生的地点为静止的参考系中测量的时间，或 在一惯性系中测量的该惯性系同一地点先后发生的两件事件的 时间间隔为固有时。 B 第 3 页 4粒子的动能等于静止能量时，粒子的速度为： (A) c414. 1； (B) c866. 0； (C) c910. 0。 解： 2 0 2 0 2 cmcmmcEk=， 2 0 2 2cmmc =， 22 0 /1cv m m =， ccv866. 0 4 3 = B 5宇宙飞船相对地面以速度v作匀速直线飞行，某一时刻飞船 头部的宇航员向飞船尾部发出一个光信号（c 为真空中光速） ， 经过t（飞船上的钟）时间后，被尾部的接受器受到，则由 此可知飞船的固有长度为 (A) ct； (B) vt ； C)()2/1cvtc； (D) ()2/1cv tc 。 解：由光速不变原理直接得到 A 6根据天体物理学的观察和推算，宇宙正在膨胀，太空中的天 体都离开我们的星球而去。假定在地球上观察到一颗脉冲星 （发出周期性脉冲电波的星）的脉冲周期为 0.50s，且这颗星 正以运行速度 0.8c 离我们而去，那么这颗星的固有脉冲周期 第 4 页 应是 (A) 0.1s； (B) 0.30s； (C) 0.50s； (D) 0.83s。 解：地球上观测到的为运动时 ()s30. 08 . 015 . 0/1 2 2 =cvt B 7在参考系 S 中有两个静止质量都是 0 m的粒子 A 和 B，分别以 速度v沿同一直线相向运动，相碰后合成为一个粒子，此合成 粒子的静止质量为 (A) 0 2m； (B) ()2 0 /12cvm； (C) ()2 0 /1 2 cv m ； (D) ()2 0 /1 2 cv m 。 解：由动量守恒知合成粒子速度为零，由能量守恒得 () 2 0 2 0 2 2 0 )/(1/1 cM cv m c cv m = + () 2 0 0 /1 2 cv m M = D 8在狭义相对论中，下列说法中哪些是正确的？ (1)一切物体相对于观察者的速度都不能大于真空中的光速。 第 5 页 (2)质量、长度、时间的测量结果都随物体与观察者的相对运 动状态而改变。 (3)一惯性系中的观察者观察一个与他作匀速相对运动的时钟 时，会看到这时钟比与他相对静止的相同的时钟走得快些。 (4)一惯性系中的观察者观察一个与他作匀速相对运动的时钟 时，会看到这时钟比与他相对静止的相同的时钟走得慢些。 (A) (1)，(3)，(4)； (B) (1)，(2)，(4)； (C) (1)，(2)，(3)； (D) (2)，(3)，(4)。 B 9A 和 B 两个相同的物体，具有相同的温度，A 周围的温度低 于 A，而 B 周围的温度高于 B，则 A、B 二物体在单位时间 内辐射的能量)(AE、)(BE的关系为： (A) )()(BEAE； (B) )()(BEAE； (C) )()(BEAE=。 解：只与辐射体本身温度有关，与周围温度无关。 C 10用频率为 1 和 2 的两种单色光，先后照射同一种金属均能 产生光电效应，已知该金属的红限频率为 0 ，测得两次照射 时的遏止电压 12 2 aa uu=，则这两种单色光的频率有如下关 第 6 页 系： (A) 012 +=； (B) 012 2=； (C) 012 2=。 解：)( 2 1 0 2 =hAheUmv a )( 011 = heUa，)(2 0212 =heUeU aa 012 2= B 11光电效应和康谱顿效应，都包含电子与光子的相互作用， 今有一光子和一静止的自由电子相互作用，此过程只能是 (A) 光电效应； (B) 康谱顿效应； (C) 同时产生光电效应和康谱顿效应。 解：静止的自由电子不能吸收光子，因不满足能量守恒和动量 守恒规律。 B 12 不确定度关系 2 h px x 表明粒子的坐标和动量不可能同 时具有确定的值，这是因为 (A) 微观粒子的质量大小很难测量； (B) 微观粒子的运动轨道不确定，所以很难测量； 第 7 页 (C) 微观粒子具有波粒二象性的必然结果。 C 13已知一粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为 )( 2 3 cos 1 )(axa a x a x= 那么粒子在ax 6 5 =处出现的概率密度为 (A) a2 1 ； (B) a 1 ； (C) a 1 。 解： a x a x 2 3 cos 1 )( 2 2 =，ax 6 5 =， a x 2 1 )( 2 =。 A 二、填充题(单位制为 SI) 1火箭 A 以c8 . 0的速度相对于地球向正东方向飞行，火箭 B 以c6 . 0的速度相对于地球向正西方向飞行，则火箭 A 测得火 箭 B 的速度大小为 ，方向 。 解：c c c c cc v c u uv v946. 0 8 . 0 6 . 0 1 8 . 06 . 0 1 22 = + = =，方向正西。 2 一根米尺静止在 K 系中， 与x o 轴成30角， 若 K 系相对于K 系以c8 . 0运动，则在K 系中测得米尺的长度为 。 第 8 页 解：=30cos6 . 064. 0130cos11 2 xx ll， =30sin1 y l，m721. 0 22 =+= yx lll。 3某微观粒子的总能量是它的静止能量的K倍，则其运动速度 的大小为(以表示真空中光速) 。 解： 2 0 2 cKmmc =， 22 0 /1cv m m = 1 2 =K K c v。 4把一电子自速度c6 . 0加速到c8 . 0，所需的能量为 ； 这时电子的质量增加了 。 解： 2 0 2 0 22 2 12 5 6 . 01 1 8 . 01 1 cmcmmcE= =， 0 12 5 mm = 5对黑体加热后，测得总的辐出度(即单位面积辐射功率)增大 为原来的16倍，则黑体的温度为原来 倍，它的最 大单色辐出度所对应的波长为原来的 倍。 解： 4 )(TTM B =， 44 16)(TTTM B = TT2= bT m =，TTT mmm =2 第 9 页 2 m m = 6 某黑体在nm0 .600= m 处辐射最强， 假如物体被加热使其 m 移到nm0 .500， 则前后两种情况下辐出度之比为 。 解：bT m =， 6 5 1 2 2 1 = m m T T 4 )(TTM B =，482. 0 6 5 )( )( 4 4 4 2 1 2 1 = = T T TM TM B B 7设氢原子的基态能量为E，当氢原子从激发态2=n跃迁到基 态时， 发射的光子的波长= （用 E、h、c表示） 。 解：E nh me n En 222 0 4 2 1 8 1 = = ， h EE = 2 h E 4 |3 =， |3 4 E hcc = 8电子的静止质量为 0 m，若以速度c6 . 0=v运动，则它的动能 为 ，它的德布罗波长为 ， 频率为 (用 0 m、h、c表示)。 解： 2 0 2 0 2 2 0 2 25. 01 6 . 01 1 cmcmcmmcEk= = 第 10 页 cm h cm h vm h mv h 0 2 0 2 0 3 4 6 . 01 6 . 0 1= = h cm h cm h mc 4 5 1 2 0 2 2 0 2 = = 9一个光子的波长为nm0 .300，如果测定此波长的精度为 6 10= ，则此光子位置的不确定量为 。 解： h p =， = 2 h p， 2 h px= m0477. 0 2 1010300 22 692 = = = = p h x 10初速度为零的电子经100伏电压加速后垂直平行入射到缝宽 nm200=a的单缝上，此电子的速度为 ， 波长为 ，衍射中央明纹的半角宽度 = 。 解： 2 0 2 1 vmeU = m/s1093. 5 101 . 9 1001060. 122 6 31 19 0 = = m eU v m1023. 1 1093. 5101 . 9 1063. 6 10 631 34 0 = = vm h mv h 第 11 页 = 1 sinx, 20 23. 1 sin 1 = = ax ,=53. 3 1 11在一维无限深势阱中处于基态的粒子的振辐波函数 a x a x sin 2 )(=， 能 量 2 22 2ma h E =， 则 其 定 态 波 函 数 =),(tx 。 解： Et i extx =)(),( a x a sin 2 = t ma hi e 2 22 2 三、计算题 1在惯性K系，有两事件发生于同一地点，且第二事件比第一 事件晚发生s8，而在另一惯性系 K 中，观测到第二事件比第 一事件晚s10，求： (1) K 相对于K运动的速度； (2) K 中测得两事件发生地点之间的距离。 解：(1) 2 2 1 / = cvxt t， 22 /1cv t t = 第 12 页 s8=t，s10=t， 10 8 /1 22 =cv m/s108 . 16 . 0 8 =cv (2) 2 1 = vtx x， m108 . 1 5/4 8108 . 1 /1 9 8 22 = = = cv tvx x 2波长为A71. 0=的 X 射线使金属箔发射光电子，电子在磁 感应强度为B的均匀磁场中做半径为r的圆周运动，已知 Tm1088. 1 4 = rB。求： (1)光电子最大动能； (2)金属逸出功。 解：(1) r v mevB 2 =， eV101 . 3J105 . 0 )( 2 1 2 1 315 2 2 = m erB mvEk (2) 10 8 34 1071. 0 100 . 3 1063. 6 = c hh eV1075. 1J1080. 2 415 = Amvh+= 2 2 1 eV1044. 1 2 1 42 =mvhA 。 第 13 页 3在康谱顿散射实验中，当能量为MeV50. 0的射线射中一个 电子时，该电子获得MeV10. 0的动能，假设电子原来是静止 的，试求： (1)散射光子的波长； (2)散射光子与入射方向的夹角。 解：(1) k Eh c h= 0 196 834 0 106 . 110) 1 . 05 . 0( 1031063. 6 = = k Eh hc 031. 0m101 . 3 12 = A (2)E c h= 0 ， 2 0 1049. 2 = E hc A 0061. 0=A 2 sin 2 2 0 cm h =，126. 0 22 sin 02 = = h cm 6341= 4有一微观粒子，沿x方向运动，其波函数为 + + =x ix A x( 1 )( A为正常数) (1)将此波函数归一化； (2)求粒子的几率密度函数； 。 。 。 第 14 页 (3)求找到粒子几率最大的位置。 解：(1)1d 1 d)( 2 2 2 2 = + = + + Ax x A xx， 1 =A 归一化波函数 )( )1 ( 1 )(+ + =x ix x (2)( )1 ( 1 )()()( 2 * + + =x x xxx (3)0 )1 ( 21 d )(d 22 = + = x x x x ，得0 1 =x，= 2 x，+= 3 x = 2 x和+= 3 x时，0)(=x，不合题意。 所以 0=x时，)(x最大， 1 )0(= 5一个质量为m的粒子，约束在长度为L的一维线段上，试根 据测不准关系估算这个粒子所能具有的最小能量值，并计算 在直径m100 . 1 14 的核内质子的最小动能。 解：hpx x ， xx vmp=， mL h mx h vx= () 2 2 2 2 1 2 1 2 1 = mL h mvmmvE x J1031. 1 )100 . 1 (1067. 12 )1063. 6( 2 12 21427 234 2 2 min = = mL h E 6一质量为m的粒子被约束在宽度为)0(axa的一维无限深 第 15 页 势阱中， 试从驻波和物质波的观点， 求出粒子的波函数)(x及 粒 子 的 能 量E( 提 示 ： 设 驻 波 振 幅 波 函 数 为 )sin()(+=kxAx)。 解：设粒子驻波振幅波函数为 )sin()(+=kxAx 由连续条件 0sin)0(=A，得0= 0)sin()(=+=kaAa，得 a nk =，3 , 2 , 1=n x a n Ax sin)(=，3 , 2 , 1=n 由归一化条件 1dsind)( 0 22 2 0 = aa xx a n Axx ， 得 a A 2 = = = axnx a n a axx x 0,3 , 2 , 1sin 2 , 00 )( 又 m P E 2 2