高三数学一轮复习 第七章平面集合直线方程与两直线的位置关系课件 文

2013届高三数学一轮复习课件第七章平面集合直线方程与两直线的位置关系,从近几年高考试题来看,直线方程的考查主要与平行、垂直的条件以及直线与圆的位置关系相结合进行,两条直线的平行与垂直,点到直线的距离、两点间的距离等是高考的热点,题型主要是选择题、填空题,难度为中、低档,突出“小而巧”的特点,主要考查对概念的理解及运算能力,可以预测2013年高考仍将以两条直线的平行与垂直,点到直线的距离,两点间的距离为主要考点,重点考查运算能力与分析问题、解决问题的能力,考查分类讨论、数形结合等思想方法的灵活运用.,一、直线的倾斜角和斜率,1.直线方程的概念:以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点,反过来,这条直线上的点的坐标都是这个方程的解,这时,这个方程就叫做这条直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线.,2.直线的倾斜角与斜率:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为,那么就叫做直线的倾斜角.当直线和x轴平行或重合时,我们规定直线的倾斜角为0.,3.倾斜角的取值范围是00)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于(),(A).(B)2-.(C)-1.(D)+1.,【答案】C,【解析】由题意知=1,解之得a=-1(舍去)或a=-1.故应选C.,4.若ab0,且A(a,0)、B(0,b)、C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为.,【答案】16,【解析】由题意根据A(a,0)、B(0,b)确定直线的方程为+=1,又C(-2,-2)在该直线上,故+=1,所以-2(a+b)=ab.又ab0,故a0,b0.根据基本不等式ab=-2(a+b)4,从而0(舍去)或4,故ab16,即ab的最小值为16.,题型1直线的倾斜角和斜率,例1直线2xcos-y-3=0(,)的倾斜角的范围是(),(A),.(B),.,(C),.(D),.,【分析】先求斜率的范围,再求倾斜角的范围.,【答案】B,【解析】直线2xcos-y-3=0的斜率k=2cos,由于,因此k=2cos1,.设直线的倾斜角为,则有tan1,由于0,),所以,故选B.,【点评】直线的倾斜角和斜率,可以“知一求一”.当=时,斜率k不存在;当=0时,k=0;当00;当时,k0.,变式训练1已知点A(-1,-5),B(3,-2),直线l的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍,则直线l的斜率为(),(A).(B).,(C).(D).,【答案】B,题型2直线的方程,例2(1)过点(-1,3)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为(),(A)x-2y+7=0.(B)2x+y-1=0.,(C)x-2y-5=0.(D)2x+y-5=0.,(2)经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程是.,【分析】结合所给条件选择适当的直线方程形式求解.,【解析】(1)所求直线的斜率为,故其方程为y-3=(x+1),即x-2y+7=0.,(2)设直线在x轴上的截距为2a,则其在y轴上的截距为a.,当a=0时,直线的斜率k=-,此时,直线方程为y=-x,即2x+5y=0.,当a0时,点A(-5,2)在直线+=1上,得a=-,此时,直线方程为x+2y+1=0.,综上所述,所求直线的方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.,【答案】(1)A(2)x+2y+1=0或2x+5y=0,【点评】求直线方程的方法主要有以下两种:(1)直接法:根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程;(2)待定系数法:先设出直线方程,再根据已知条件求出待定系数,最后代入求出直线方程.,变式训练2ABC的三个顶点为A(-3,0),B(2,1),C(-2,3).求:,(1)BC边所在直线的方程;,(2)BC边上中线AD所在直线的方程;,(3)BC边上的垂直平分线DE的方程.,题型3两直线的平行与垂直,例3已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值.,(1)l1l2,且l1过点(-3,-1);,(2)l1l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.,【分析】两直线的位置关系如何用直线方程的系数来反映,是解题的切入点.,(2)l2的斜率存在,l1l2,直线l1的斜率存在,k1=k2,即=1-a.,坐标原点到这两条直线的距离相等,且l1l2,l1、l2在y轴上的截距互为相反数,即=b,联立解得或,【点评】研究直线的平行与垂直问题,通常需要讨论直线的斜率是否存在.,变式训练3已知两直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0.试确定m、n的值,使:,(1)l1与l2相交于点P(m,-1);,(2)l1l2;,(3)l1l2,且l1在y轴上的截距为-1.,题型4两直线的交点与距离问题,例4(1)求经过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.,(2)已知A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0,在坐标平面内求一点P,使|PA|=|PB|,且点P到直线l的距离为2.,【分析】(1)思路一:求交点,定斜率,用点斜式求解.思路二:利用直线系方程求解.,(2)|PA|=|PB|等价于点P在AB的垂直平分线上.,【解析】(法一)由方程组得,即P(0,2).,ll3,kl=-,直线l的方程为y-2=-x,即4x+3y-6=0.,(法二)直线l过直线l1和l2的交点,可设直线l的方程为x-2y+4+(x+y-2)=0,即(1+)x+(-2)y+4-2=0.,l与l3垂直,3(1+)+(-4)(-2)=0,=11,直线l的方程为12x+9y-18=0,即4x+3y-6=0.,(2)设点P的坐标为(a,b).A(4,-3),B(2,-1),线段AB的中点M的坐标为(3,-2).而AB的斜率kAB=-1,线段AB的垂直平分线方程为y+2=x-3,即x-y-5=0.,点P(a,b)在上述直线上,a-b-5=0.,又点P(a,b)到直线l:4x+3y-2=0的距离为2,=2,即4a+3b-2=10,由联立可得或所求点P的坐标为(1,-4)或(,-).,【点评】求与已知两直线的交点有关的问题,有两种方法:(1)先求出两直线交点,将问题转化为过定点的直线,然后再利用其他条件求解;(2)运用过两直线交点的直线系方程,设出方程后再利用其他条件求解.,变式训练4已知点P(2,-1).,(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程;,(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程,最大距离是多少?,(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.,(2)作图可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线,如图.,由lOP,得klkOP=-1,所以kl=2.由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.,即直线2x-y-5=0是过P点且与原点O距离最大的直线,最大距离为|OP|=.,(3)由(2)可知,过P点不存在到原点距离超过的直线,因此不存在过P点且到原点距离为6的直线.,题型5直线方程的综合应用,例5已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点,O为原点.,(1)当ABO面积最小时,求直线l的方程;,(2)当|MA|MB|取得最小值时,求直线l的方程.,【分析】先设出直线l的方程,再求出A,B两点的坐标,表示出ABO的面积,然后利用相关的数学知识求最值.,【点评】利用直线方程解决问题时,为简化运算要灵活选用直线方程的形式.一般地,已知一点通常选择点斜式;已知斜率选择斜截式或点斜式;已知截距选择截距式.,变式训练5已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,求l在两轴上的截距之和最小时直线l的方程.,题型6对称问题,例6已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2),求:,(1)点A关于直线l的对称点A的坐标;,(2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m的方程.,【分析】两点关于直线l对称等价于两点连线段被直线l垂直平分;直线关于直线对称转化为点关于直线对称.,【点评】两直线l1、l2关于直线l的对称问题也可先在所求直线l1上任取一动点P(x,y),P关于直线l的对称点设为Q(x0,y0),则Q在直线l2上,利用PQ被直线l垂直平分,将Q点坐标用P点坐标表示,再利用Q点坐标满足直线l2的方程求出P点坐标满足的方程即所求的直线l1的方程,这种方法叫做坐标转移法(或代入法).,变式训练6(1)求直线3x-y-4=0关于点P(2,-1)对称的直线l的方程.,(2)求直线a:2x+y-4=0关于直线l:3x+4y-1=0对称的直线b的方程.,解得:b=-10或b=-4(舍去).所求直线l的方程为3x-y-10=0.,(2)设直线b上的动点P(x,y)关于l:3x+4y-1=0的对称点为Q(x0,y0).,则有,解得x0=,y0=.,由于Q(x0,y0)在直线a:2x+y-4=0上,则,2+-4=0,化简得2x+11y+16=0即为所求直线b的方程.,1.解决有关直线方程的综合题,要根据题目给出的条件灵活选用直线方程的形式,且要注意题目中的隐含条件.,2.求直线方程的基本方法包括利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线的基本量.,3.研究最值问题时,可以从几何图形入手,找到最值时的情形,也可以从代数角度考虑,构建目标函数,进而转化为研究函数的最值问题.,直线的斜率不存在,另一条直线的斜率是非零实数时,则两直线相交但不垂直.,5.中心对称和轴对称,(1)中心对称:,点P(x,y)关于O(a,b)的对称点为P(x,y)满足,直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.,4.不重合的两条直线,当两直线的斜率均不存在时,两直线平行;当一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,两直线垂直;当一条,直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.,(2)轴对称:,点A(a,b)关于直线Ax+By+C=0(B0)的对称点为A(m,n),则有,1.(2010年山东卷)已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上,直线l:y=x-1被圆C所截得的弦长为2,则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为.,【答案】x+y-3=0,2.(2011年安徽卷)在平面直角坐标系中,如果x与y都是整数,就称点(x,y)为整点,下列命题中正确的是(写出所有正确命题的编号).,存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点;,如果k与b都是无理数,则直线y=kx+b不经过任何整点;,直线l经过无穷多个整点,当且仅当l经过两个不同的整点;,直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是:k与b都是有理数;,存在恰经过一个整点的直线.,【答案】,【解析】正确,比如直线y=x+,当x取整数时,y始终是一个无理数;错,直线y=x-中k与b都是无理数,但直线经过整点(1,0);正确,当直线经过两个整点时,它经过无数多个整点;错误,当k=0,b=时,直线y=不通过任何整点;正确,比如直线y=x-只经过一个整点(1,0).,例1已知点A(2,-3),B(-3,-2),直线l过点P(1,1)且与线段AB有交点,设直线l的斜率为k,则k的取值范围是(),(A)k或k-4.,(B)-4k.,(C)k或k-.,(D)-k4.,【答案】A,【解析】如图所示,过点B(-3,-2),P(1,1)的直线斜率为k1=,过点A(2,-3),P(1,1)的直线斜率为k2=-4.使过点P的直线l与线段AB有交点,则直线l的斜率应满足k或k-4.,例2在直线l:3x-y-1=0上求两点P、Q,使得:,(1)P与A(4,1)和B(0,4)