河北省邯郸市2020届高三3月空中课堂备考检测数学理试题.pdf

1 邯郸市 2020 年空中课堂高三备考检测 理科数学 同学们，在举国防控疫情期间，我们全民动员，同舟共济、共克时艰，显示了中华民族的伟大同学们，在举国防控疫情期间，我们全民动员，同舟共济、共克时艰，显示了中华民族的伟大 拼搏精神。作为高三学生，我们宅家备考，学会了人生的必修课拼搏精神。作为高三学生，我们宅家备考，学会了人生的必修课自律。岁月不蹉跎，未来才可自律。岁月不蹉跎，未来才可 期！努力充实丰盈自己，才能赢得胜利！期！努力充实丰盈自己，才能赢得胜利！ 本试卷分第 I 卷和第卷两部分。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。 注意事项： 1答题前，务必先将自己的姓名、考号填写在答题卡上。 2答题时使用 0.5 毫米黑色签字笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4保持卡面清洁，不折叠，不破损。 第第卷（卷（6060 分）分） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的. . 1设复数 34 i z i，则在复平面内z对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2已知集合 22 6501Mx xxNy yx，则MN A 5 +， B 15 +， C 1 5， DR 3 6 1 2x的展开式第三项为 A60 B 120 C 2 60 x D 3 120x 4函数 1 ( )cos 1 x x e f xx e 的部分图象大致为 A. B. C. D. 2 5设变量x， y 满足约束条件 1, 22, 10, xy xy xy 则 2 2 3zxy 的最小值为 A2 B 4 5 5 C4 D 16 5 6公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形（或格点）来表 示数，称为形数.形数是联系算数和几何的纽带.图为五角形数的前 4 个，则第 10 个五角形数为 A120 B145 C270 D285 7若双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的一条渐近线与函数 ln1fxx 的图象相切，则该双 曲线离心率为 A 2 B 3 C2 D 5 8已知 f x 是定义在R上的奇函数，其图象关于点 3,0 对称，当 0,3x 时 x f xe ，则当 2018,2019x 时， f x 的最小值为 A0 Be C 2 e D 3 e 9设m，n为正数，且 2mn ，则 2 3 1 1 n n m 的最小值为 A2 3 B3 5 C4 7 D5 9 10已知F为抛物线 2 :2(0)C ypx p 的焦点.过点F的直线l交抛物线C于A B， 两点，交准 线于点M.若 0 BABM ， 9AB ，则 p 为 A2 B3 C4 D5 11已知点 12 0,1,2, 2AB xC x （），（），（） 在函数 ) 2 00)(sin(2)( ，xxf 的图象 3 上，且 5 min BC 给出关于 ( )f x 的如下命题 :p( )f x 的最小正周期为 10 :q( )f x 的对称轴为 31()xkkZ :r)2019()2020(ff :s方程( )2lgf xx有 3 个实数 根 其中真命题的个数是 A4 B3 C2 D1 12已知三棱柱 111 ABCABC 各棱长均为 2， 1 AA 平面ABC，有一 个过点B且平行于平面 1 ABC 的平面，则该三棱柱在平面内的正投 影面积是 A 11 7 7 B 10 7 7 C 9 7 7 D 8 7 7 第第卷（卷（9090 分）分） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 13已知 n a 是首项为1的等比数列，若 12 4,2, nnn aaa 成等差数列，则 n a _. 14执行如图所示的程序框图，若输出的 y 值为1，则可输入的所有x值组成的集合为 _. 15若 , ,A B C 三点满足 6 AB ，且对任意R都有 2 ACAB ，则 CA CB的最小值为 _. 16近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道道亮丽的风景线他 们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单某外卖小哥每天来往于r个外卖店（外卖店的编号分别 4 为 1，2，r，其中 3r ） ，约定：每天他首先从 1 号外卖店取单，叫做第 1 次取单，之后， 他等可能的前往其余 1r 个外卖店中的任何一个店取单叫做第 2 次取单，依此类推假设从第 2 次 取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的 1r 个外卖店取单设事件 k A 第k次取单恰好是 从 1 号店取单， )( k AP 是事件 k A 发生的概率，显然 1)( 1 AP ， 2 ()=0P A ，则 3 ()P A = ， 1 () k P A 与 () k P A 的关系式为 （k N ） 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17172121 题为必考题，每个题为必考题，每个 试题考生都必须作答。第试题考生都必须作答。第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17 （12 分） ABC 的内角 A B C, 的对边分别是a bc， ， 1b ， CABccossin2cos . （1）求B； （2）若B AC， 成等差数列，求 ABC 的面积. 18 （12 分） 如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，=1/,AB ADABCD ABAD，点 E为PC的中点.平面ABE交侧棱PD于点F，四边形ABEF为平行四边形. （1）求证：平面 PBD 平面PBC； （2）若二面角APBC的余弦值为 10 5 ，求PD与平面PAB所成角的正弦值. 5 19 （12 分） 中华猕猴桃果树喜湿怕旱，喜水怕涝，在我国种植范围较广.某地一生态农业公司建立了一个 大型猕猴桃种植基地，该地区雨量充沛，阳光与温度条件也对果树的成长十分有利，但干旱或雨量 过大也会造成损失.公司管理人员依据往年猕猴桃生长期 30 个周降雨量t（单位：mm）的数据， 得到如下茎叶图（表中的周降雨量为一周内降雨量的总和）. 另外，猕猴桃果树发生灾害与周降雨量的关系如下表所示. 周降雨量t （单位：mm） 10(10,50(50,100100 猕猴桃 灾害等级 轻灾正常轻灾重灾 根据上述信息，解答如下问题. （1）根据茎叶图中所给的数据，写出周降雨量的中位数和众数； （2）以收集数据的频率作为概率. 6 估计该地区在今年发生重灾、轻灾以及无灾害的概率； 若无灾害影响，每亩果树获利 6000 元；若受轻灾害影响，则每亩损失 5400 元；若受重灾 害影响则每亩损失 10800 元为保护猕猴桃产业的发展，该地区农业部门有如下三种防控方 案； 方案 1：防控到轻灾害，每亩防控费用 400 元. 方案 2：防控到重灾害，每亩防控费用 1080 元. 方案 3：不采取防控措施. 问：如从获利角度考虑，哪种方案比较好？说明理由. 20 （12 分） 已知椭圆 )0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x C 过点 )3, 32(M 且离心率为2 1 . （1）求椭圆C的标准方程； （2）若椭圆C上存在三个不同的点 PBA， ，满足 OPOBOA ，求弦长 AB 的取值范 围 21 （12 分） 已知函数 ln ( ) x xa f x e （1）当 1a 时，判断 ( )f x 的单调性； （2）求证： 1 1 1 ( ) ln(1) a x a e efxx e 7 （二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分。请考生从第分。请考生从第 2222、2323 题中任选一题做答。并用题中任选一题做答。并用 2B2B 铅笔将答题卡上所选题铅笔将答题卡上所选题 目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂， 按本选考题的首题进行评分。按本选考题的首题进行评分。 22 选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在平面直角坐标系中，点P是曲线 1 C： 2cos 22sin xt yt （t为参数）上的动点，以坐标原点 O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将线段OP顺时针旋转90得到 OQ，设点Q的轨迹为曲线 2 C. （1）求曲线 1 C ， 2 C 的极坐标方程； （2）在极坐标系中，点M的坐标为 (4,) 2 ，射线 :(0) 6 l 与曲线 12 CC、 分别交于 ,A B 两点，求 MAB 的面积. 23 选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知函数 )(1) 1()(axxxaxxf . （1）当 0a 时，求 0)(xf 的解集； （2）若 0f x在,0上恒成立，求a的取值范围. 8 邯郸市 2020 年空中课堂高三备考检测 理科数学 参考答案 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的. . 1设复数 34 i z i，则在复平面内z对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 1答案：答案：B 2已知集合 22 6501Mx xxNy yx，则MN A 5 +， B 15 +， C 1 5， DR 2答案：答案：B 3 6 1 2x的展开式第三项为 A60 B 120 C 2 60 x D 3 120x 3答案：答案：C 4函数 1 ( )cos 1 x x e f xx e 的部分图象大致为 9 A. B. C. D. 4答案答案: : A 5设变量x， y 满足约束条件 1, 22, 10, xy xy xy 则 2 2 3zxy 的最小值为 A2 B 4 5 5 C4 D 16 5 5答案：答案：D 6公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形（或格点）来表 示数，称为形数.形数是联系算数和几何的纽带.图为五角形数的前 4 个，则第 10 个五角形数为 A120 B145 C270 D285 6答案：答案：B 7若双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的一条渐近线与函数 ln1fxx 的图象相切，则该双 曲线离心率为 A 2 B 3 C2 D 5 7答案：答案：A 8已知 f x 是定义在R上的奇函数，其图象关于点 3,0 对称，当 0,3x 时 x f xe ，则当 2018,2019x 时， f x 的最小值为 A0 Be C 2 e D 3 e 10 8答案：答案：A 9设m，n为正数，且 2mn ，则 2 3 1 1 n n m 的最小值为 A2 3 B3 5 C4 7 D5 9 9答案：答案：D 10已知F为抛物线 2 :2(0)C ypx p 的焦点.过点F的直线l交抛物线C于A B， 两点，交准 线于点M.若 0 BABM ， 9AB ，则 p 为 A2 B3 C4 D5 10答案答案: : C 11已知点 12 0,1,2, 2AB xC x （），（），（） 在函数 ) 2 00)(sin(2)( ，xxf 的图象上，且 5 min BC 给出关于 ( )f x 的如下命题 :p( )f x 的最小正周期为 10 :q( )f x 的对称轴为 31()xkkZ :r)2019()2020(ff :s方程( )2lgf xx有 3 个实数根 其中真命题的个数是 A4 B3 C2 D1 11答案：答案：C 12已知三棱柱 111 ABCABC 各棱长均为 2， 1 AA 平面ABC，有一个过点B且平行于平面 1 ABC 的平面，则该三棱柱在平面内的正投影面积是 A 11 7 7 B 10 7 7 C 9 7 7 D 8 7 7 12答案：答案：A 11 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 13已知 n a 是首项为1的等比数列，若 12 4,2, nnn aaa 成等差数列，则 n a _. 13答案：答案： 1 2n n a 14执行如图所示的程序框图，若输出的 y 值为1，则可输入的所有x值 组成的集合为_. 14答案：答案： 1 2,10 10 15若 , ,A B C 三点满足 6 AB ，且对任意R都有 2 ACAB ， 则 CA CB的最小值为_. 15答案：答案：5 16近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道道亮丽的风景线他 们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单某外卖小哥每天来往于r个外卖店（外卖店的编号分别 为 1，2，r，其中 3r ） ，约定：每天他首先从 1 号外卖店取单，叫做第 1 次取单，之后， 他等可能的前往其余 1r 个外卖店中的任何一个店取单叫做第 2 次取单，依此类推假设从第 2 次 取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的 1r 个外卖店取单设事件 k A 第k次取单恰好是 从 1 号店取单， )( k AP 是事件 k A 发生的概率，显然 1)( 1 AP ， 2 ()=0P A ，则 3 ()P A = ， 1 () k P A 与 () k P A 的关系式为 （k N ） 16答案：答案： 1 1 r ； 1 1 1 1 kk P AP A r 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17172121 题为必考题，每个题为必考题，每个 试题考生都必须作答。第试题考生都必须作答。第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17 （12 分） 12 ABC 的内角 A B C, 的对边分别是a bc， ， 1b ， CABccossin2cos . （1）求B； （2）若B AC， 成等差数列，求 ABC 的面积. 17解： CABccossin2cos) 1 ( 分2 2 sin2 2 222222 ab cba A ac bca c 分或 ），（又 分 又 6 4 3 4 0 4 2 2sin sin sin2 2 1 sin2 2 1 1 2222 BB B a A bB Aa a ca A a ca b 分 分 分）知由（ 等差数列 12 8 33 )sin( 2 1 sin 2 1 10 2 6 sin2 8 4 1, 3 ,)2( ABabCabS Aa BA CAB ABC 18 （12 分） 如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，=1/,AB ADABCD ABAD，点 E为PC的中点.平面ABE交侧棱PD于点F，四边形EFAB为平行四边形. （1）求证：平面 PBD 平面PBC； （2）若二面角APBC的余弦值为 10 5 ，求PD与平面PAB所成角的正弦值. 13 18解： （1）证明：四边形ABEF为平行四边形. /AB EF ，又 /ABCD /EFCD ，又 点 E 为 PC 的中点 222CDEFAB1 分 在直角梯形 ABCD 中，AB=AD=1，CD =2 可得 连接 BD，易得 2BDBC 222 BDBCDC BDBC 3 分 又PC底面 ABCD，BD平面 ABCD BD平面 PBC4 分 BD平面 PBD， 平面 PBD平面 PBC5 分 （2） 由（1）知 CD=2， 在直角梯形中可得DCB= 0 45 又 PC底面 ABCD 14 以 C 为原点，CD 为 x 轴，CP 为 z 轴建立空间直角坐标系，如图所示6 分 则(2,1,0), (1,1,0),(2,0,0)ABD 设 (0,0, )Ph(0)h (1,0,0),( 1, 1, ),( 2,0, ),(1, 1,0)BABPh DPh BD BD平面 PBC 平面PBC 的法向量可取(1, 1,0)BD 7 分 设平面 ABP 法向量为( , , )ax y z 由 0, 0, a BA a BP 得 x=0 -x- y+hz=0 可取(0, ,1)ah 8 分 2 10 cos, 5 2 1 h a BD h h=29 分 ( 2,0,2)DP ， (0,2,1)a 10 分 210 cos DP,= 1085 a PD 与平面 PAB 所成角的正弦值为 10 10 . 12 分 19 （12 分） 中华猕猴桃果树喜湿怕旱，喜水怕涝，在我国种植范围较广.某地一生态农业公司建立了一个 大型猕猴桃种植基地，该地区雨量充沛，阳光与温度条件也对果树的成长十分有利，但干旱或雨量 过大也会造成损失.公司管理人员依据往年猕猴桃生长期 30 个周降雨量t（单位：mm）的数据， 得到如下茎叶图（表中的周降雨量为一周内降雨量的总和）. 15 另外，猕猴桃果树发生灾害与周降雨量的关系如下表所示. 周降雨量t （单位：mm） 10(10,50(50,100100 猕猴桃 灾害等级 轻灾正常轻灾重灾 根据上述信息，解答如下问题. （1）根据茎叶图中所给的数据，写出周降雨量的中位数和众数； （2）以收集数据的频率作为概率. 估计该地区在今年发生重灾、轻灾以及无灾害的概率； 若无灾害影响，每亩果树获利 6000 元；若受轻灾害影响，则每亩损失 5400 元；若受重灾 害影响则每亩损失 10800 元为保护猕猴桃产业的发展，该地区农业部门有如下三种防控方 案； 方案 1：防控到轻灾害，每亩防控费用 400 元. 方案 2：防控到重灾害，每亩防控费用 1080 元. 方案 3：不采取防控措施. 问：如从获利角度考虑，哪种方案比较好？说明理由. 19解： （1）根据茎叶图，可得中位数为 12.5，众数为 10 .4 分 （2）根据图中的数据，可得该地区周降雨量t（单位：mm）的概率： 151 (10) 302 P t ， 11 (1050) 30 Pt ， 31 (50100) 3010 Pt ， 1 (100) 30 P t ， 3 ()= (10)(50100) 5 PP tPt 轻灾 ， 1 ()= (100) 30 PP t 重灾 16 因此估计该地在今年发生重、轻害的概率分别为 1 30 和 3 5 ，无灾害概率为 11 30 6 分 方案 1：设每亩的获利为 1 X（元），则 1 X的可能取值为 6000，-10800，则 1 X的分布列如 下： 1 X6000-10800 1 ()P X 29 30 1 30 则 1 291 ()6000108005440 3030 E X(元)，则每亩净利润为5440400=5040（元）； 方案 2：设每亩的获利为 2 X（元），则 2 X的可能取值为 6000 元，于是 2 (=6000)1P X， 2 ()6000E X，净利润为6000 10804920（元）； 方案 3：设每亩的获利为 3 X（元），则 3 X的可能取值为 6000，-5400，-10800， 则 3 X的分布列如下： 则 3 1131 ()60005400108001400 30530 E X (元)，于是每亩亏损为1400（元）； 由此得出，方案一的获利最多，所以选择方案一比较好.12 分 20 （12 分） 已知椭圆 )0( 1: 2 2 2 2 ba b y a x C 过点 )3, 32(M 且离心率为2 1 . （1）求椭圆C的标准方程； （2）若椭圆C上存在三个不同的点 PBA， ,满足 OPOBOA ,求弦长 AB 的取值范围. 20解： 1 X6000-5400-10800 1 ()P X 11 30 3 5 1 30 17 （1）由题意知 1 332 2 1 2 2 2 2 baa c ， ，又因为 222 abc ，解得 12,16 22 ba . 则椭圆标准方程为 1 1216 22 yx . 4 分 （2）因为 OPOBOA ，则由向量加法的意义知四边形OAPB为平行四边形. 设直线l过 BA、 两点， 若直线l垂直于x轴，易得： 3, 2,3 , 2,0 , 4BAP 或者 3, 2,3 , 2,0 , 4BAP ， 此时 6AB . 5 分 若直线l不垂直于x轴，设 0:mmkxyl ， 002211 , ),(yxPyxByxA ， 将直线 mkxy 代入C的方程得 0484843 222 mkmxxk 故 2 2 21 2 21 43 484 43 8 k m xx k km xx ， ， 7 分 因为 OBOAOP ，所以 210210 ,yyyxxx ， 则 2 0 43 8 k km x ， 2 21210 43 6 2 k m mxxkyyy ，即 22 43 6 , 43 8 k m k km P . 因为P在椭圆上，有 1 12 43 6 16 43 8 2 2 2 2 k m k km ，化简得 22 43km . 9 分 验证， 0144)12)(43(1664 22222 mmkmk . 所以 2 2 2 2 21 2 21 484 43 4848 43 8 m m k m xx m k k km xx ， 所以 22 22 21 2 434 1 4 1 12 43 1 12 112 1 kk k m k xxkAB . 18 10 分 因为 2 343k ，则 3 1 43 1 0 2 k ，即 3 1 434 1 4 1 4 1 2 k ，得 346 AB . 综上可得，弦长 AB 的取值范围为 34 , 6 12 分 21 （12 分） 已知函数 ln ( ) x xa f x e （1）当 1a 时，判断 ( )f x 的单调性； （2）求证： 1 1 1 ( ) ln(1) a x a e efxx e 21解： （1）当1a 时， ln1 ( ) x x f x e ， 1 ln1 ( ) x x x fx e 令 1 ( )ln1g xx x ，则 ( )g x 在 0, 上为减函数，且 (1)0g 所以，当(0,1)x时， ( )0,( )0g xfx，( )f x单调递增； 当(1,+ )x时， ( )0,( )0g xfx，( )f x单调递减. 故( )f x递增区间为0,1；( )f x递减区间为1, 4 分 （2） 1 ln ( ) x xa x fx e ， 1 ( )ln x e fxxa x 只需证 1 1 11 (ln)ln(1) a a e xax xe 即 1 1 ln(1)1 (1ln) a a xe xxax xe 6 分 19 易证ln(1 )(0)xx x 成立. 8 分 记( )1lnh xxxax ，则( )ln10h xxa 令( )0h x，得 (1)a xe 并且，当 (1) 0, a xe 时，( )0h x，( )h x单调递增；当 (1),a xe 时，( )0h x， ( )h x单调递减 所以， 1 (1) 11 11 ( )()1 a a aa e h xh e ee 即 1 1 1 ( ) ln(1) a x a e efxx e ，命题得证. 12 分 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生从第分。请考生从第 22、23 题中任选一题做答。并用题中任选一题做答。并用 2B2B 铅笔将答题卡上所选题铅笔将答题卡上所选题 目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分