考研数学一历年真题.pdf

1 20092009 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学( (一一) )试卷试卷 一、 选择题一、 选择题(1(1- -8 8 小题小题, ,每小题每小题 4 4 分分, ,共共 3232 分分, ,下列每小题给出的四下列每小题给出的四 个选项中个选项中, ,只有一项符合题目要求只有一项符合题目要求, ,把所选项前的字母填在题后的括把所选项前的字母填在题后的括 号内号内.).) (1)(1)当当0 x时时, ,( )sinf xxax=与与( )() 2 ln 1g xxbx=等价无穷小等价无穷小, ,则则 (A)(A) 1 1, 6 ab= (B)(B) 1 1, 6 ab= (C)(C) 1 1, 6 ab= = (D)(D) 1 1, 6 ab= = (2)(2)如图如图, ,正方形正方形() ,1,1x yxy被其对角线划分为四被其对角线划分为四 个区域个区域()1,2,3,4 k Dk =, ,cos k k D Iyxdxdy=, ,则则 14 max k k I = (A)(A) 1 I (B)(B) 2 I (C)(C) 3 I (D)(D) 4 I (3)(3)设函数设函数( )yf x=在区间在区间1,3上的图形为上的图形为 则函数则函数( )( ) 0 x F xf t dt=的图形为的图形为 1 ( )f x -2 0 2 3 x -1 O 2 (A)(A) (B) (B) (C)(C) (D)(D) (4)(4)设有两设有两个数列个数列 , nn ab, ,若若lim0 n n a =, ,则则 ( )f x 0 2 3 x 1 -2 -1 1 ( )f x 0 2 3 x 1 -1 1 ( )f x 0 2 3 x 1 -2 -1 1 ( )f x 0 2 3 x 1 -2 -1 1 3 (A)(A)当当 1 n n b = 收敛时收敛时, , 1 nn n a b = 收敛收敛. . (B)(B)当当 1 n n b = 发散时发散时, , 1 nn n a b = 发散发散. . (C)(C)当当 1 n n b = 收敛时收敛时, , 22 1 nn n a b = 收敛收敛. . (D)(D)当当 1 n n b = 发散时发散时, , 22 1 nn n a b = 发散发散. . (5(5) )设设 123 , 是是 3 3 维向量空间维向量空间 3 R的一组基的一组基, ,则由基则由基 123 11 , 23 到基到基 122331 ,+ 的过渡矩阵为的过渡矩阵为 (A)(A) 101 220 033 (B)(B) 120 023 103 (C)(C) 111 246 111 246 111 246 (D)(D) 111 222 111 444 111 666 (6)(6)设设,AB均为均为 2 2 阶矩阵阶矩阵, , * ,A B分别为分别为,AB的伴随矩阵的伴随矩阵, ,若若 2,3=AB, ,则分块矩阵则分块矩阵 OA BO 的伴随矩阵为的伴随矩阵为 (A)(A) * * 3 2 OB AO (B)(B) * * 2 3 OB AO (C)(C) * * 3 2 OA BO (D)(D) * * 2 3 OA BO (7)(7)设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为( )( ) 1 0.30.7 2 x F xx =+ , ,其中其中 4 ( )x为标准正为标准正态分布函数态分布函数, ,则则EX = (A)0(A)0 (B)0.3 (B)0.3 (C)0.7(C)0.7 (D)1 (D)1 (8)(8)设随机变量设随机变量X与与Y相互独立相互独立, ,且且X服从标服从标准正态准正态分布分布()0,1N, ,Y 的概率分布为的概率分布为 1 01 2 P YP Y=, ,记记( ) Z Fz为随机变量为随机变量ZXY=的分布的分布 函数函数, ,则函数则函数( ) Z Fz的间断点个数为的间断点个数为 (A)0(A)0 (B)1 (B)1 (C)2(C)2 (D)3(D)3 二、填空题二、填空题(9(9- -1414 小题小题, ,每小题每小题 4 4 分分, ,共共 2424 分分, ,请将答案写在答题请将答案写在答题 纸指定位置上纸指定位置上.).) (9)(9) 设 函 数设 函 数(),f u v具 有 二 阶 连 续 偏 导 数具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 , ,(),zf x xy=, , 则则 2z x y = . . (10)(10)若二阶常系数若二阶常系数线性齐次微分方程线性齐次微分方程0yayby+=的通解为的通解为 () 12 exyCC x=+, ,则非齐次方程则非齐次方程yaybyx+=满足条件满足条件( )( )02,00y y = 的解为的解为y = . . (11)(11)已知曲线已知曲线 () 2 :02L yxx=, ,则则 L xds = . . (12)(12)设设() 222 , ,1x y z xyz=+, ,则则 2 z dxdydz = . . (13)(13)若若 3 3 维列向量维列向量, 满足满足2 T = , ,其中其中 T 为为的转置的转置, ,则矩阵则矩阵 T 的非零特征值为的非零特征值为 . . 5 (14)(14)设设 12 , m XXX为来自二项分布总体为来自二项分布总体(),B n p的简单随机样的简单随机样 本本, ,X和和 2 S分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差. .若若 2 XkS+为为 2 np的无偏估计量的无偏估计量, , 则则k = . . 三、 解答题三、 解答题(15(152323 小题小题, ,共共 9494 分分. .请将解答写在答题纸指定的位请将解答写在答题纸指定的位 置上置上. .解答应写出文字说解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤明、证明过程或演算步骤.).) (15)(15)(本题满分本题满分 9 9 分分) ) 求二元函数求二元函数 () 22 ( , )2lnf x yxyyy=+的极值的极值. . (16)(16)(本题满分本题满分 9 9 分分) ) 设设 n a为曲线为曲线 n yx=与与() 1 1,2,. n yxn + =所围成区域的面积所围成区域的面积, ,记记 1221 11 , nn nn Sa Sa = = , ,求求 1 S与与 2 S的值的值. . (17)(17)(本题满分本题满分 1111 分分) ) 椭球面椭球面 1 S是椭圆是椭圆 22 1 43 xy +=绕绕x轴旋转而成轴旋转而成, ,圆锥面圆锥面 2 S是过点是过点()4,0 且与椭圆且与椭圆 22 1 43 xy +=相切的直线绕相切的直线绕x轴旋转而成轴旋转而成. . (1)(1)求求 1 S及及 2 S的方程的方程. (2). (2)求求 1 S与与 2 S之间的立体体积之间的立体体积. . 6 (18)(18)(本题满分本题满分 1111 分分) ) (1)(1)证明拉格朗日中值定理证明拉格朗日中值定理: :若函数若函数( )f x在在, a b上连续上连续, ,在在( , )a b可可 导导, ,则存在则存在(), a b, ,使得使得( )( )( )()f bf afba=. . (2)(2)证明证明: :若函数若函数( )f x在在0 x=处连续处连续, ,在在()()0,0内可导内可导, ,且且 ( ) 0 lim x fxA + =, ,则则 ( )0f+存在存在, ,且且( )0fA + = (19)(19)(本题满分本题满分 1010 分分) ) 计 算 曲 面 积 分计 算 曲 面 积 分 () 3 222 2 xdydzydzdxzdxdy I xyz + = + , , 其 中其 中 是 曲 面是 曲 面 222 224xyz+=的外侧的外侧. . 7 (20)(20)(本题满分本题满分 1111 分分) ) 设设 111 111 042 = A, , 1 1 1 2 = (1)(1)求满足求满足 21 =A的的 2 . . 2 31 =A 的所有的所有向量向量 2 , , 3 . (2). (2)对对(1)(1)中的中的 任意向量任意向量 2 , , 3 证明证明 123 , 无关无关. . (21)(21)(本题满分本题满分 1111 分分) ) 设二次型设二次型()() 222 1231231 323 ,122f x x xaxaxaxx xx x=+. . (1)(1)求二次型求二次型f的矩阵的所有特征值的矩阵的所有特征值; (2); (2)若二次型若二次型f的规范的规范 形为形为 22 12 yy+, ,求求a的值的值. . (22)(22)(本题满分本题满分 1111 分分) ) 袋中有袋中有1 1 个红色球个红色球,2,2 个黑色球与个黑色球与3 3 个白球个白球, ,现有回放地从袋中取现有回放地从袋中取 两次两次, ,每次取一球每次取一球, ,以以, ,X Y Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与分别表示两次取球所取得的红球、黑球与 白球的个数白球的个数. . (1)(1) 求求 10p XZ=. (2). (2)求二维随机变量求二维随机变量(),X Y概率分布概率分布 8 (23)(23)(本题满分本题满分 11 11 分分) ) 设总体设总体X的概率密度为的概率密度为 2 ,0 ( ) 0, x xex f x = 其他 , ,其中参数其中参数(0) 未未 知知, , 1 X, , 2 X, n X是来自总体是来自总体X的简单随机样本的简单随机样本. . (1)(1)求参数求参数的矩估计量的矩估计量. . (2)(2)求参数求参数的最大似然估计量的最大似然估计量. . 9 20102010 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学( (一一) )试卷试卷 一、 选择题一、 选择题(1(1- -8 8 小题小题, ,每小题每小题 4 4 分分, ,共共 3232 分分, ,下列每小题给出的四下列每小题给出的四 个选项中个选项中, ,只有一项符合题目要求只有一项符合题目要求, ,把所选项前的字母填在题后的括把所选项前的字母填在题后的括 号内号内.).) (1)(1)极限极限 2 lim ()() x x x xa xb + = = (A)1(A)1 (B)(B)e (C(C) )ea b (D)(D)eb a (2)(2)设函数设函数( , )zz x y=由方程由方程(, )0 y z F x x =确定确定, ,其中其中F为可微函数为可微函数, ,且且 2 0,F 则则 zz xy xy + = = (A)(A)x (B)(B)z (C)(C)x (D)(D)z (3)(3)设设,m n为正整数为正整数, ,则反常积分则反常积分 2 1 0 ln (1) m n x dx x 的收敛性的收敛性 (A)(A)仅与仅与m取值有关取值有关 (B)(B)仅与仅与n取值有关取值有关 (C)(C)与与,m n取值都有关取值都有关 (D)(D)与与,m n取值都无关取值都无关 (4)(4) 22 11 lim ()() nn x ij n ni nj = + = = (A)(A) 1 2 00 1 (1)(1) x dxdy xy+ (B)(B) 1 00 1 (1)(1) x dxdy xy+ 10 (C)(C) 11 00 1 (1)(1) dxdy xy+ (D)(D) 11 2 00 1 (1)(1) dxdy xy+ (5)(5)设设A为为m n型矩阵型矩阵,B为为n m型矩阵型矩阵, ,若若,=ABE则则 (A)(A)秩秩(),m=A秩秩( )m=B (B)(B)秩秩(),m=A秩秩( )n=B (C)(C)秩秩(), n=A秩秩( )m=B (D)(D)秩秩(), n=A秩秩( )n=B (6)(6)设设A为为 4 4 阶对称矩阵阶对称矩阵, ,且且 2 0,+=AA若若A的秩为的秩为 3,3,则则A相似于相似于 (A)(A) 1 1 1 0 (B)(B) 1 1 1 0 (C)(C) 1 1 1 0 (D(D) ) 1 1 1 0 (7)(7)设随机变量设随机变量X的分布函数的分布函数( )F x = 00 1 01, 2 1 e2 x x x x 则则1P X = = (A)0(A)0 (B)1 (B)1 (C)(C) 1 1 e 2 (D)(D) 1 1e (8)(8)设设 1( ) f x为标准正态分布的概率密度为标准正态分布的概率密度 2 ,( )fx为为 1,3上均匀分布上均匀分布 的概率密度的概率密度, , ( )f x = 1 2 ( ) ( ) af x bfx 0 0 x x (0,0)ab 为概率密度为概率密度, ,则则, a b应满足应满足 11 (A)(A)234ab+= (B)(B)324ab+= (C)(C)1ab+= (D)(D)2ab+= 二、填空题二、填空题(9(9- -1414 小题小题, ,每小题每小题 4 4 分分, ,共共 2424 分分, ,请将答案写在答题请将答案写在答题 纸指定位置上纸指定位置上.).) (9)(9)设设 2 0 e ,ln(1), t t xyudu =+ 求求 2 2 0t d y dx = = = . . (10)(10) 2 0 cosxxdy = = . . (11)(11)已知曲线已知曲线L的方程为的方程为1 1,1,yx x= 起点是起点是( 1,0),终点是终点是 (1,0), 则曲线积分则曲线积分 2 L xydxx dy+ = = . . (12)(12) 设设 22 ( , , )|1,x y zxyz =+则则的 形 心 的 竖 坐 标的 形 心 的 竖 坐 标 z= = . . (13)(13)设设 123 (1,2, 1,0) ,(1,1,0,2) ,(2,1,1,) , TTT =若由若由 123 , 形成的形成的 向量空间的维数是向量空间的维数是 2,2,则则= = . . (14)(14) 设 随 机 变 量设 随 机 变 量X概 率 分 布 为概 率 分 布 为(0,1,2,), ! C P Xkk k =则则 2 EX= = . . 三、 解答题三、 解答题(15(152323 小题小题, ,共共 9494 分分. .请将解答写在答题纸指定的位请将解答写在答题纸指定的位 置上置上. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.).) (15)(15)(本题满分本题满分 1010 分分) ) 12 求微分方程求微分方程322 exyyyx+=的通解的通解. . (16)(16)(本题满分本题满分 1010 分分) ) 求函数求函数 2 2 1 ( )()e x t f xxtdt = 的单调区间与极值的单调区间与极值. . (17)(17)(本题满分本题满分 1010 分分) ) (1)(1)比较比较 1 0 ln ln(1)nttdt+ 与与 1 0 ln(1,2,) n tt dt n = 的大小的大小, ,说明理由说明理由 (2)(2) 记记 1 0 ln ln(1)(1,2,), n n uttdt n=+= 求极限求极限lim. n x u (18)(18)(本题满分本题满分 1010 分分) ) 求幂级数求幂级数 1 2 1 ( 1) 21 n n n x n = 的收敛域及和函数的收敛域及和函数. . (19)(19)(本题满分本题满分 1010 分分) ) 设设P为椭球面为椭球面 222 :1S xyzyz+=上的动点上的动点, ,若若S在点在点P的切平面与的切平面与 xoy面垂直面垂直, ,求求P点的轨迹点的轨迹,C并计算曲面积分并计算曲面积分 22 (3)2 , 44 xyz IdS yzyz + = + 13 其中其中是椭球面是椭球面S位于位于曲线曲线C上方的部分上方的部分. . (20)(20)(本题满分本题满分 1111 分分) ) 设设 11 010 ,1 , 111 a = Ab已知线性方程组已知线性方程组=Axb存在两个不同存在两个不同 的解的解. . (1)(1)求求, . a (2)(2)求方程组求方程组=Axb的通解的通解. . (21)(21)(本题满分本题满分 1111 分分) ) 设二次型设二次型 123 ( ,) T f x x x=Axx在正交变换在正交变换xy= Q下的标准形为下的标准形为 22 12, yy+且且Q的第三列为的第三列为 22 (,0,) . 22 T (1)(1)求求.A (2)(2)证明证明+AE为正定矩阵为正定矩阵, ,其中其中E为为 3 3 阶单位矩阵阶单位矩阵. . (22)(22)(本题满分本题满分 1111 分分) ) 设二维随机变量设二维随机变量()XY+的概率密度为的概率密度为 22 22 ( , )e, xxy y f x yAxy + = 求 常 数 及求 常 数 及A条 件 概 率 密 度条 件 概 率 密 度 | ( | ). Y X fy x 14 (23)(23)(本题满分本题满分 11 11 分分) ) 设总体设总体X的概率分布为的概率分布为 X 1 1 2 2 3 3 P 1 2 2 其中其中(0,1)未知未知, ,以以 i N来表示来自总体来表示来自总体X的简单随机样本的简单随机样本( (样本容样本容量量 为为n) )中等于中等于i的个数的个数(1,2,3),i =试求常数试求常数 123 ,a a a使使 3 1 ii i Ta N = =为为的无的无 偏估计量偏估计量, ,并求并求T的方差的方差. . 15 20112011 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选一、选择题：择题：1 18 8 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 3232 分，下列每题给出的四个选项中，只有一分，下列每题给出的四个选项中，只有一 个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上 (1) 曲线 234 (1)(2) (3) (4)yxxxx=的拐点是( ) (A) (1,0) (B) (2,0) (C) (3,0) (D) (4,0) (2) 设数列 n a单调减少，lim0 n n a =， 1 (1,2,) n nk k San = = 无界，则幂级数 1 (1)n n n ax = 的收敛域为( ) (A) ( 1,1 (B) 1,1) (C) 0,2) (D) (0,2 (3) 设 函 数( )f x具 有 二 阶 连 续 导 数 ， 且( )0f x ，(0)0 f =， 则 函 数 ( )ln( )zf xf y=在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( ) (A) (0)1f，(0)0 f (B) (0)1f，(0)0 f (C) (0)1f，(0)0 f (D) (0)1f，(0)0 f (4) 设 4 0 lnsinIxdx =， 4 0 lncotJxdx =， 4 0 lncosKxdx =，则,I J K的大 小关系是( ) (A) IJK (B) IKJ (C) JIK (D) KJI (5) 设A为 3 阶矩阵，将A的第 2 列加到第 1 列得矩阵B，再交换B的第 2 行与第 3 行得单位矩阵，记 1 100 110 001 P = ， 2 100 001 010 P = ，则A=( ) (A) 12 PP (B) 1 12 P P (C) 21 P P (D) 1 21 PP 16 (6) 设 1234 (,)A =是 4 阶矩阵， * A为A的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T是方程组 0Ax=的一个基础解系，则 * 0A x =的基础解系可为( ) (A) 13 , (B) 12 , (C) 123 , (D) 234 , (7) 设 1( ) F x， 2( ) F x为两个分布函数，其相应的概率密度 1( ) f x， 2( ) fx是连续函数， 则必为概率密度的是( ) (A) 12 ( )( )f x fx (B) 21 2( )( )fx F x (C) 12 ( )( )f x F x (D) 1221 ( )( )( )( )f x F xfx F x+ (8) 设随机变量X与Y相互独立，且()E X与( )E Y存在，记max,UX Y=， min,VX Y=则()E UV =( ) (A)( )( )E UE V (B)()( )E XE Y (C)()( )E UE Y (D)()( )E XE V 二、填空题：二、填空题：9 91414 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 2424 分，请将答案写在分，请将答案写在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上 (9) 曲线 0 tan(0) 4 = x ytdtx的弧长s = (10) 微分方程cos x yyex + =满足条件(0)0y=的解为y = (11) 设函数 2 0 sin ( , ) 1 xy t F x ydt t = + ，则 2 2 0 2 x y F x = = = (12) 设L是柱面方程 22 1xy+=与平面=+zxy的交线， 从z轴正向往z轴负向看去 为逆时针方向，则曲线积分 2 2 L y xzdxxdydz+= (13) 若二次曲面的方程 222 32224xyzaxyxzyz+=，经过正交变换化为 22 11 44yz+=，则a = (14) 设 二 维 随 机 变 量(),X Y服 从 正 态 分 布 () 22 , ;,;0N ， 则 () 2 E XY= 三、解答题：三、解答题：15152323 小题，共小题，共 9494 分请将解答写在分请将解答写在答题纸答题纸 指定的位置上解答应写出指定的位置上解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤文字说明、证明过程或演算步骤 17 (15)(本题满分 10 分) 求极限 1 1 0 ln(1) lim() x e x x x + (16)(本题满分 9 分) 设函数(,( )zf xy yg x=，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数( )g x可导且在1x= 处取得极值(1)1g=，求 2 1 1 x y z x y = = (17)(本题满分 10 分) 求方程arctan0kxx=不同实根的个数，其中k为参数 (18)(本题满分 10 分) ()证明：对任意的正整数n，都有 111 ln(1) 1nnn + + 成立 ()设 11 1ln (1,2,) 2 n an n n = +=，证明数列 n a收敛 (19)(本题满分 11 分) 已 知 函 数( , )f x y具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ， 且(1, )0fy =，( ,1)0f x=， ( , ) D f x y dxdya= ，其中( , )|01,01Dx yxy=， 计算二重积分 ( , ) xy D Ixyfx y dxdy= 18 (20)(本题满分 11 分) 设向量组 123 (1,0,1)(0,1,1)(1,3,5) TTT =，不能由向量组 1 (1,1,1)T=， 2 (1,2,3)T=， 3 (3,4, )Ta=线性表示 (I) 求a的值； (II) 将 123 , 由 123 , 线性表示 (21)(本题满分 11 分) A为三阶实对称矩阵，A的秩为 2，即( )2r A =，且 1111 0000 1111 A = (I) 求A的特征值与特征向量； (II) 求矩阵A (22)(本题满分 11 分) 设随机变量X与Y的概率分布分别为 X 0 1 P 1/3 2/3 Y 1 0 1 P 1/3 1/3 1/3 且 22 1P XY= (I) 求二维随机变量(, )X Y的概率分布； (II) 求ZXY=的概率分布； (III) 求X与Y的相关系数 XY （23） （本题满分 11 分） 设 12 , n XXX为来自正态总体 2 0 (,) N的简单随机样本， 其中 0 已知， 2 0未 19 知X和 2 S分别表示样本均值和样本方差 (I) 求参数 2 的最大似然估计量 2 ； (II) 计算 2 ()E 和 2 ()D 20122012 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学数学( (一一) )试卷试卷 一、选择题：一、选择题：1 18 8 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 3232 分，下列每小题给分，下列每小题给 出的四个选项中， 只有一项符合题目出的四个选项中， 只有一项符合题目要求的， 请将所选项前的字母填要求的， 请将所选项前的字母填 在答题纸指定位置上在答题纸指定位置上. . （1 1）曲线）曲线 2 2 1 xx y x + = 渐近线的条数为（）渐近线的条数为（） （A A）0 0 （B B）1 1 （C C）2 2 （D D）3 3 （2 2）设函数）设函数 2 ( )(1)(2)() xxnx f xeeen=，其中，其中n为正整数，则为正整数，则 (0) f= （A A） 1 ( 1)(1)! n n （ （B B）( 1) (1)! n n （ （C C） 1 ( 1)! n n （ （D D）( 1)! nn （3 3）如果）如果( , )f x y在在()0,0处连续，那么下列命题正确的是（处连续，那么下列命题正确的是（ ） （A A）若极限）若极限 0 0 ( , ) lim x y f x y xy + 存在，则存在，则( , )f x y在在(0,0)处可微处可微 （B B）若极限）若极限 22 0 0 ( , ) lim x y f x y xy + 存在，则存在，则( , )f x y在在(0,0)处可微处可微 （C C）若）若( , )f x y在在(0,0)处可微，则极限处可微，则极限 0 0 ( , ) lim x y f x y xy + 存在存在 （D D）若）若( , )f x y在在(0,0)处可微，则极限处可微，则极限 22 0 0 ( , ) lim x y f x y xy + 存在存在 20 （4 4）设）设 2k x k e Ie= sin sinx xd dx x( (k=k=1,2,3),1,2,3),则有则有 D D （A A）I I1 1 I I2 2 II3. 3. (B)(B) I I2 2 I I2 2 I I3. 3. (C)(C) I I1 1 I I3 3 II1,1, (D)(D) I I1 1 I I2 2 I I3.3. （5 5）设）设 1234 1234 0011 0 ,1 ,1 ,1 cccc = = 其中其中 1234 ,c c c c为任意常数，为任意常数， 则下列向量组线性相则下列向量组线性相关的是（关的是（ ） （A A） 123 , （B B） 124 , （ （C C） 134 , （D D） 234 , （6 6）设）设A为为 3 3 阶矩阵，阶矩阵，P为为 3 3 阶可逆矩阵，且阶可逆矩阵，且 1 1 1 2 P AP = ， () 123 ,P =，() 1223 ,Q =+则则 1 Q AQ =（ ） （A A） 1 2 1 （B B） 1 1 2 （C C） 2 1 2 （D D） 2 2 1 （7 7）设随机变量）设随机变量 x x 与与 y y 相互独立，且分别服从参数为相互独立，且分别服从参数为 1 1 与参数为与参数为 4 4 的指数分布，则的指数分布，则= yxp（）（） 1124 ( ) ( ) ( ) () 5355 ABCD （8 8） 将长度为） 将长度为 1m1m 的木棒随机地截成两段， 则两段长度的相的木棒随机地截成两段， 则两段长度的相关系数为关系数为 （）（）1)( 2 1 )( 2 1 )(1)(DCBA 21 二、填空题：二、填空题：9 9 1414 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 2424 分，请将答案写在分，请将答案写在答题答题 纸纸 指定位置上指定位置上. . （9 9）若函数）若函数)(xf满足方程满足方程0)(2)()( =+xfxfxf及及 x exfxf2)()( =+，则，则 )(xf= =_。 （1010） 2 2 0 2xxx dx _。 （1111） (2,1,1) grad z xy y + _。 （1212）设）设(),0, 0, 0, 1, =+=zyxzyxzyx则则 =dsy2_。 （1313）设）设 X X 为三维单位向量，为三维单位向量，E E 为三阶单位矩阵，则为三阶单位矩阵，则矩阵矩阵 T xxE 的秩的秩 为为_。 （1414）设）设, ,A B C是随机事件，是随机事件，,A C互不相容，互不相容， 1 () 2 P AB =, , 1 ( ) 3 P C =, ,则则 ()P ABC =_。 三、解答题：三、解答题：15152323 小题，共小题，共 9494 分分. .请将解答写在请将解答写在答题纸答题纸 指定位置指定位置 上上. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . （1515） （） （本题满分本题满分 1010 分）分） 证明：证明： 2 1 lncos1, 11 12 xx xxx x + + + （1616） （） （本题满分本题满分 1010 分）分） 求求() 22 , 2 xy f x yxe + =的极值。的极值。 （1717） （） （本题满分本题满分 1010 分）分） 22 求幂级数求幂级数 0n = 2 443 21 nn n + + x x 2n 2n 的收敛域及和函数 的收敛域及和函数 （1818） （） （本题满分本题满分 1010 分）分） 已知曲线已知曲线 ，其中函数，其中函数)(tf具有连续导数，且具有连续导数，且0)0(=f， 2 00)( ttf。若曲线。若曲线 L L 的切线与的切线与 x x 轴的交点到切点的距离恒为轴的交点到切点的距离恒为 1 1，求函数，求函数)(tf的表达式，的表达式， 并求此曲线并求此曲线 L L 与与 x x 轴与轴与 y y 轴无边界的区域的面积。轴无边界的区域的面积。 （1919） （） （本题满分本题满分 1010 分）分） 已知已知L是第一象限中从点是第一象限中从点()0,0沿圆周沿圆周 22 2xyx+=到点到点()2,0，再沿圆周，再沿圆周 22 4xy+=到点到点()0,2的曲线段，计算曲线积分的曲线段，计算曲线积分() 22 = 32 L Jx ydxxxy dy+ 。 （2020） （） （本题满分本题满分 1010 分）分） 设设 100 010 001 001 a a A a a = ， 1 1 0 0 b = （）求）求A （）已知线性方程组）已知线性方程组Axb=有无穷多解，求有无穷多解，求a，并求，并求Axb=的通解。的通解。 （2121）（）（本题满分本题满分 1010 分）分） 三阶矩阵三阶矩阵 101 011 10 A a = ， T A为矩阵为矩阵A的转置，的转置， 23 已知已知()2 T r A A =，且二次型，且二次型 TT fx A Ax=。 1 1）求）求a 2 2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准 ）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准 型，写型，写出正交变换过程。出正交变换过程。 （2222） （） （本题满分本题满分 1010 分）分） 已知随机变量已知随机变量,X Y以及以及XY的分布律如下表所示，的分布律如下表所示， X X 0 0 1 1 2 2 P P 1/21/2 1/31/3 1/61/6 Y Y 0 0 1 1 2 2 P P 1/31/3 1/31/3 1/31/3 求：求：(1)(1)()2P XY=； (2)(2)()cov,XY Y与与 XY . . （2323） （） （本题满分本题满分 1111 分）分） 设随机变量设随机变量X与与Y相互独立且分别服从正态分布相互独立且分别服从正态分布 () 2 ,N 与与 () 2 ,2N，其中，其中是未知参数且是未知参数且0, ,设设ZXY=, , (1)(1) 求求z的概率密度的概率密度 () 2 ,f z； XYXY 0 0 1 1 2 2 4 4 P P 7/127/12 1/31/3 0 0 1/121/12 24 (2)(2) 设设 12 , n z zz为来自总体为来自总体Z的简单随机样本，求的简单随机样本，求 2 的最大似然估的最大似然估 计量计量 2 ； (3)(3) 证明证明 2 为为 2 的无偏估计量。的无偏估计量。 20132013 硕士研究生入学考试硕士研究生入学考试 数学一数学一 1.1.已知极限已知极限 0 arctan lim k x xx c x =，其中，其中 k k，c c 为常数，且为常数，且0c ，则（，则（ ） A. A. 1 2, 2 kc= B. B. 1 2, 2 kc= C. C. 1 3, 3 kc= D. D. 1 3, 3 kc= 2.2.曲面曲面 2 cos()0 xxyyzx+=在点在点(0,1, 1)处的切平面方程为（处的切平面方程为（ ） A. A. 2xyz+= B. B. 0 xyz+= C. C. 23xyz+= D. D. 0 xyz= 3.3.设设 1 ( ) 2 f xx=， 1 0 2( )sin(1,2,) n bf xn xdx n= ，令，令 1 ( )sin n n S xbn x = = ， 则则 9 () 4 =S（ ） A .A . 3 4 B. B. 1 4 C. C. 1 4 D. D. 3 4 4.4.设设 22 1: 1Lxy+=， 22 2: 2Lxy+=， 22 3: 22Lxy+=， 22 4:2 2Lxy+=为四条为四条 逆时针方向的平面曲线，记逆时针方向的平面曲线，记 33 ()(2)(1,2,3,4) 63 i i L yx Iydxxdy i=+= ，则，则 1234 max,I II I= A. A. 1 I B. B. 2 I C. C. 3 I D D 4 I 5.5.设设 A,B,CA,B,C 均为均为 n n 阶矩阵，若阶矩阵，若 AB=CAB=C，且，且 B B 可逆，则（可逆，则（ ） A.A.矩阵矩阵 C C 的行向量组与矩阵的行向量组与矩阵 A A 的行向量组等价的行向量组等价 B B 矩阵矩阵 C C 的列向量组与矩阵的列向量组与矩阵 A A 的列向量组等价的列向量组等价 C C 矩阵矩阵 C C 的行向量组与矩阵的行向量组与矩阵 B B 的行向量组等价的行向量组等价 25 D D 矩阵矩阵 C C 的列向量组与矩阵的列向量组与矩阵 B B 的列向量组等价的列向量组等价 6.6.矩阵矩阵 11 11 a aba a 与与 200 00 000 b 相似的充分必相似的充分必要条件为（要条件为（ ） A. A. 0,2ab= B. B. 0,ab= 为任意常数为任意常数 C. C. 2,0ab= D. D. 2,ab= 为任意常数为任意常数 7.7.设设 123 ,XXX是随机变量，且是随机变量，且 1 (0,1)XN， 2 2 (0,2 )XN， 2 3 (5,3