随机过程论文几种典型随机过程的介绍与仿真.docx

随机过程课程论文几种典型随机过程的介绍与仿真摘要：随机过程理论作为一门基础数学课程，在通信、自动控制、经济预测、医学工程等领域有着广泛的应用。概括来说，随机过程，即是随机变量概念的推广，是随机变量的集合。文中提到了三种代表性的随机过程离散时间马尔可夫链、泊松过程、维纳过程，详细介绍了三种随机过程的理论原型，以及仿真原理和算法。关键词：随机过程理论；马尔可夫链；泊松过程；MatLab仿真一、 概述随机过程，即是随机变量概念的推广。所谓随机变量，通常是指取值具有不确定性（随机性）的变量。在概率论的概念中，随机过程是随机变量的集合。若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。在随机过程的定义中引入了空间的概念，即在空间中的每个位置上它都呈现为一个随机变量。如果空间取为时间域，那么它在每一个时刻都呈现为一个随机变量。实际应用中，样本函数也一般定义在时间域或者空间域。随机过程理论作为一门基础数学课程，在通信、自动控制、经济预测、医学工程等领域有着广泛的应用。本文针对随机过程中比较有代表性的三种随机过程离散时间马尔可夫链、泊松过程、维纳过程的进行介绍并进行MatLab仿真，探讨这三种随机过程的特性。MatLab语言和软件包于1980年美国学者Cleve Moler等人推出后1，收到控制界研究者的普遍重视，风靡了全世界，尤其在教学和科研方面已经得到了广泛的应用。MatLab提供的大量应用工具箱和交互式的Simulink仿真环境，使得经典的控制理论和方法很容易在微型计算机上实现。文中的研究计算和模拟都在MatLab 7.1中完成的。二、 随机过程与蒙特卡洛仿真1. 随机过程的几个常用定义随机过程是随机变量的集合。对于一维和多位随机变量，它们的分布函数完全刻画了它们的统计特定，要研究随机过程的统计特性，自然要关心它们的分布。但通常随机过程的一维分布函数族不能完全反映出随机过程的统计特性。因为它仅仅反映了随机过程在各个时刻的统计特征，而随机过程除了各个时刻的统计特性外，还存在着随机变量集合中随机变量间的关系。因此引入有限维分布函数族的概念。定义：是一随机过程，对任意正整数及任意，记分布函数全体为称为随机过程的有限维分布函数族。可以证明4，一个随机过程的有限维分布函数族完全反映了一个随机过程的统计特性。定义：是一随机过程，状态空间为，若对任意及，随机变量独立，则称为独立增量过程。随机过程自相关函数定义2：功率谱密度：自相关函数与谱密度满足均方差和谱密度满足如下关系：2. 蒙特卡洛仿真蒙特卡洛放在实际上是一种基于“随机数”计算方法，通过某种“随机数”来控制时间的产生，从而通过对技术某事件出现的概率来估计该事件发生的概率。对对随机过程而言，蒙特卡洛仿真是以反复产生的“随机数”序列按照不同的数学模型来仿真不同随机过程的方法3。这里，每一个“随机数”序列，就可以生成随机过程的一个样本函数，重复多次就可以得到随机过程的多个样本函数，从而可以对该随机过程进行较为精确的描述。在计算机中，我们并不能产生真正的随机数。因此，这里的“随机数”实际上是由计算机按一定算法产生的伪随机数.3. 离散时间马尔可夫链定义：设在任意时刻，随机序列可以处在状态，且它在时刻所处的状态，只与它在时刻的状态有关，而与时刻以前的状态无关。即若其中，则称为离散Markov链。当概率与无关时，这个马尔可夫链称为齐次马尔可夫链，称为转移概率。当时，为一步转移概率，简记为。所有可以构成一步转移概率矩阵，即：根据上述定义。马尔可夫链是一个时间离散且状态离散的随机过程，它的状态是在时间一步步推进的过程中，按照一步转移概率矩阵中的转移概率而发生改变的。换句话说，只要按上述矩阵中的转移概率产生随机数序列，并按该序列进行状态的转移就能得到相应的马尔可夫链。这就是马尔可夫链蒙特卡洛仿真的关键。4. 泊松过程定义：一个计数过程，具有参数，若它满足下列条件：1) ；2) 是独立增量过程；3) 在任一长度为的区间中，时间发生的次数副词参数的泊松分布，即对任意，有则称为泊松过程。根据上述定义，令随机变量表示从次事件发生到第次事件发生的时间间隔，则可以证明3，服从相互独立但参数为的相同指数分布。这是支持泊松过程进行蒙特卡洛仿真的一个重要的结论。因为只要按照参数为产生指数分布的随机时间间隔序列，并在计数系统随时间运行的过程中，按这个时间间隔序列对系统状态进行加1计数，则这个计数系统就对应了参数为的泊松过程。5. 维纳过程定义：设为随机过程，如果其满足一下条件1) ；2) 它是独立、平稳增量过程；3) 对任意，增量4) 则称为维纳过程，也成为布朗运动。由定义可知维纳过程是一个时间连续、状态连续的随机过程。其最重要的特点是过程在任意时间间隔内的增量是零均值且方差随该时间间隔长度线性变化的正态分布随机变量。这意味着假设初始时刻，则该过程在任何时刻的取值实际上是一个零均值方差为正太随机变量。只要给定方差参数和时间间隔序列，则按照维纳过程的独立增量性，我们按照方差分别产生相互独立的零均值正态随机数作为增量，就可以仿真出内的布朗运动。三、 随机过程的仿真1. 离散时间马尔可夫链仿真对于一个离散时间马尔科夫链，给定其一步转移概率矩阵：，其中是马尔可夫链所有状态的集合（也叫做状态空间）。则我们主要的任务是根据当前状态，按中第行的条件概率分布产生服从该分布的随机数。在MatLab中实现方法是通过函数rand产生间均匀分布的随机数与上述条件概率分布的累积分布比较来获得的取值。例如，当，则；当，则等等。一般有时，。这样，在给定及仿真步长时，产生离散时间马尔可夫链的算法如下：1) 选择初始状态，令时刻，当前状态。2) 生成，利用条件分布，计算，并令。3) 如果，令，生成并利用条件分布，计算，令并令；如果，则停止。4) 回到上一步继续。算法运行得到与之间的关系，即为马尔可夫链的一个样本函数（如图1）。图1. 时，Markov过程样本函数2. 泊松过程仿真按照上述泊松过程的性质，要仿真一个，服从参数为的泊松过程，关键是要产生一个相互独立相同分布且均值为的指数分布随机数序列。在MatLab中，我们利用函数rand产生间均匀分布的随机数后，采用逆变换法来获得指数分布随机数，即令，则即为所求。因此，给定泊松过程参数和仿真时长后，泊松过程的仿真算法如下：1) 令当前时刻，泊松事件计数值；2) 生产，令；3) 令，如果，则停止；4) 令并且设；5) 回到第2步继续。算法运行得到的与之间的关系即为泊松过程的一个样本函数（如图2）。图2. 时，泊松过程样本函数3. 维纳过程仿真维纳过程仿真的关键是产生给定均值和方差的正太分布随机数。在MatLab中可以通过normrnd来产生。由于在时间间隔上，过程的增量为零均值，方差的正态随机变量，我们只需要重复生成均值为0而方差为的正态随机数，再乘时间间隔的算术平均根，即可得到对应时间间隔上过程的增量。于是，在给定个时间点及方差数时，维纳过程的仿真算法如下：1) 设初始状态；2) 如果，生成，如果，停止；3) 回到第2步继续。算法运行得到的状态与时刻之间的关系即为维纳过程（如图3）。图3. ，时间点数为100时，维纳过程的样本函数四、 结语随机过程的分析理论有着重要的作用，在现实中，通信、自动控制、经济预测、医学工程等领域都有着广泛的应用。通过上述的仿真，我们可以看出，随机过程横向与纵向的双重不确定性。同时，虽文中仅对了离散时间马尔科夫链、泊松过程和布朗运动的原理及仿真算法，但对与上述过程关系密切的复合泊松过程、非奇次泊松过程、更新过程和连续时间马尔科夫链等随机过程