第3讲中考数学压轴题训练圆的综合教案.pdf

1 第第 0 03 3 讲讲 中考压轴题中考压轴题- -圆的综合圆的综合 考点考点梳理梳理 一近一近 5 5 年中考年中考双压轴之双压轴之圆的综合考点归纳圆的综合考点归纳 二题型概述二题型概述 几何综合题是中考必考固定题型，考察知识点多，条件隐秘，要求学生有较强的理解能力，分析问题和解 决问题的能力，对数学知识，数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力。它常用相似 图形与圆的知识为考察重点，并贯彻其他几何，代数，三角函数等知识，多以证明，计算等题型出现。 三解题策略三解题策略 1.要点：解几何综合题应注意观察，分析图形，把复杂的图形分解为几个基本图形，通过添加辅助线补全 或构造基本图形，掌握常规的证题方法和思路，运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程思想解决几 何计算问题（还要灵活运用数学思想方法，数行结合，分类讨论） 2.一般策略：认真分析题意，从已知条件出发逐步推理分析到结论的演绎推理法；也可由结论逆向 分析获得问题突破的逆向分析法；还可以是双向的综合分析策略。 年份年份知识点知识点 2015 考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质、 等腰直角三角形的性质等知识 2016 考察翻折变换的性质，垂径定理，勾股定理及逆定理，圆的切线的定义，相似三 角形的判定与性质 2017 查圆综合题、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、相交弦定理、锐 角三角函数等知识 2018 主要考查涉及的知识有：圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定 与性质，以及相似三角形的判定与性质 2019 主要考查涉及的知识有：圆的切线证明，三角函数，相似三角形，二次函数最值 问题 2 3.中考试题中与圆有关的证明及计算，都与圆的切线有关，属于中档题，只要熟悉切线的性质与判定，特 别是掌握如何判定切线很重要，需要指出的是，与圆有关的证明题，往往是以圆为载体，考查时往往还涉 及特殊三角形的识别或构造，这些识别策略，构造策略靠的是对圆中常用的辅助线的熟悉，比如连半径， 作垂直于弦的垂线段等，根据具体情况来决定。 感悟实践感悟实践 例例 1 1、如图，已知O 的半径为 2，AB 为直径，CD 为弦AB 与 CD 交于点 M，将沿 CD 翻折后，点 A 与圆 心 O 重合，延长 OA 至 P，使 AP=OA，连接 PC （1）求 CD 的长； （2）求证：PC 是O 的切线； （3）点 G 为的中点，在 PC 延长线上有一动点 Q，连接 QG 交 AB 于点 E交于点 F（F 与 B、C 不重 合） 问 GEGF 是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由 【解答】 （1）解：如图，连接 OC， 沿 CD 翻折后，点 A 与圆心 O 重合， OM=OA=2=1，CDOA， OC=2， CD=2CM=2=2=2； （2）证明：PA=OA=2，AM=OM=1，CM=CD=，CMP=OMC=90， PC=2， 3 OC=2，PO=2+2=4， PC 2+OC2=（2 ） 2+22=16=PO2， PCO=90， PC 是O 的切线； （3）解：GEGF 是定值，证明如下， 连接 GO 并延长，交O 于点 H，连接 HF 点 G 为的中点 GOE=90， HFG=90，且OGE=FGH OGEFGH = GEGF=OGGH=24=8 例例 2 2、如图 1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边 AB 和量角器的直径 DE 在一条直线上， AB=BC=6cm，OD=3cm，开始的时候 BD=1cm，现在三角板以 2cm/s 的速度向右移动 （1）当 B 与 O 重合的时候，求三角板运动的时间； （2）如图 2，当 AC 与半圆相切时，求 AD； （3）如图 3，当 AB 和 DE 重合时，求证：CF 2=CGCE 【解答】 （1）解：由题意可得：BO=4cm，t=2（s） ； （2）解：如图 2，连接 O 与切点 H，则 OHAC， 又A=45， AO=OH=3cm， 4 AD=AODO=（33）cm； （3）证明：如图 3，连接 EF， OD=OF， ODF=OFD， DE 为直径， ODF+DEF=90， DEC=DEF+CEF=90， CEF=ODF=OFD=CFG， 又FCG=ECF， CFGCEF， =， CF 2=CGCE 例例 3 3、如图，在平面直角坐标系中，M 过原点 O，与 x 轴交于 A（4，0） ，与 y 轴交于 B（0，3） ，点 C 为 劣弧 AO 的中点，连接 AC 并延长到 D，使 DC=4CA，连接 BD （1）求M 的半径； （2）证明：BD 为M 的切线； （3）在直线 MC 上找一点 P，使|DPAP|最大 【解答】 （1）解：由题意可得出：OA 2+OB2=AB2，AO=4，BO=3， AB=5， 5 圆的半径为； （2）证明：由题意可得出：M（2，） 又C 为劣弧 AO 的中点，由垂径定理且 MC=，故 C（2，1） 过 D 作 DHx 轴于 H，设 MC 与 x 轴交于 K， 则ACKADH， 又DC=4AC， 故 DH=5KC=5，HA=5KA=10， D（6，5） 设直线 AB 表达式为：y=kx+b， ， 解得： 故直线 AB 表达式为：y=x+3， 同理可得：根据 B，D 两点求出 BD 的表达式为 y=x+3， kABkBD=1， BDAB，BD 为M 的切线； （3）解：取点 A 关于直线 MC 的对称点 O，连接 DO 并延长交直线 MC 于 P， 此 P 点为所求，且线段 DO 的长为|DPAP|的最大值； 设直线 DO 表达式为 y=kx， 5=6k， 解得：k=， 直线 DO 表达式为 y=x 又在直线 DO 上的点 P 的横坐标为 2，y=， P（2，） ， 6 此时|DPAP|=DO= 例例 4 4、如图 1，过点 A（0，4）的圆的圆心坐标为 C（2，0） ，B 是第一象限圆弧上的一点，且 BCAC，抛 物线 y=x 2+bx+c 经过 C、B 两点，与 x 轴的另一交点为 D （1）点 B 的坐标为（6，2） ，抛物线的表达式为y=x 2+ x7； （2）如图 2，求证：BDAC； （3）如图 3，点 Q 为线段 BC 上一点，且 AQ=5，直线 AQ 交C 于点 P，求 AP 的长 【解答】 （1）解：如答图 1 所示，过点 B 作 BEx 轴于点 E ACBC， ACO+BCE=90， ACO+OAC=90，BCE+CBE=90， OAC=BCE，ACO=CBE 在AOC 与CEB 中， AOCCEB（ASA） CE=OA=4，BE=OC=2， OE=OC+CE=6 B 点坐标为（6，2） 点 C（2，0） ，B（6，2）在抛物线 y=x 2+bx+c 上， 7 ， 解得 b=，c=7 抛物线的表达式为：y=x 2+ x7 （2）证明：在抛物线表达式 y=x 2+ x7 中，令 y=0，即x 2+ x7=0， 解得 x=2 或 x=7，D（7，0） 如答图 2 所示，过点 B 作 BEx 轴于点 E，则 DE=ODOE=1，CD=ODOC=5 在 RtBDE 中，由勾股定理得：BD=； 在 RtBCE 中，由勾股定理得：BC= 在BCD 中，BD=，BC=，CD=5， BD 2+BC2=CD2 BCD 为直角三角形，CBD=90， CBD=ACB=90， ACBD （3）解：如答图 3 所示： 由（2）知 AC=BC=，又 AQ=5， 则在 RtACQ 中，由勾股定理得：CQ= 过点 C 作 CFPQ 于点 F， SACQ=ACCQ=AQCF， CF=2 在 RtACF 中，由勾股定理得：AF=4 由垂径定理可知，AP=2AF， AP=8 8 例例 5 5、如图，在平面直角坐标系中，直线 l：y=2x+b（b0）的位置随 b 的不同取值而变化 （1）已知M 的圆心坐标为（4，2） ，半径为 2 当 b=10时，直线 l：y=2x+b（b0）经过圆心 M； 当 b=102时，直线 l：y=2x+b（b0）与M 相切； （2）若把M 换成矩形 ABCD，其三个顶点坐标分别为：A（2，0） 、B（6，0） 、C（6，2） 设直线 l 扫过 矩形 ABCD 的面积为 S，当 b 由小到大变化时，请求出 S 与 b 的函数关系式 【解答】解： （1）直线 l：y=2x+b（b0）经过圆心 M（4，2）时，则有：2=24+b，b=10； 若直线 l：y=2x+b（b0）与M 相切，如答图 1 所示，应有两条符合条件的切线 设直线与 x 轴、y 轴交于 A、B 点，则 A（，0） 、B（0，b） ，OB=2OA 由题意，可知M 与 x 轴相切，设切点为 D，连接 MD； 设直线与M 的一个切点为 P，连接 MP 并延长交 x 轴于点 G； 过 P 点作 PNMD 于点 N，PHx 轴于点 H 易证PMNBAO， PN：MN=OB：OA=2：1， PN=2MN 在 RtPMN 中，由勾股定理得：PM 2=PN2+MN2，解得：MN= ，PN=， PH=ND=MDMN=2，OH=ODHD=ODPN=4， P（4，2） ，代入直线解析式求得：b=102； 同理，当切线位于另外一侧时，可求得：b=10+2 （2）由题意，可知矩形 ABCD 顶点 D 的坐标为（2，2） 9 由一次函数的性质可知，当 b 由小到大变化时，直线 l：y=2x+b（b0）向右平移，依次扫过矩形 ABCD 的不同部分 可得当直线经过 A（2，0）时，b=4；当直线经过 D（2，2）时，b=6；当直线经过 B（6，0）时，b=12；当 直线经过 C（6，2）时，b=14 当 0b4 时，S=0； 当 4b6 时，如答图 2 所示 设直线 l：y=2x+b 与 x 轴交于点 P，与 AD 交于点 Q 令 y=0，可得 x=，AP=2； 令 x=2，可得 y=b4，AQ=b4 S=SAPQ=APAQ=（2） （b4）=b 22b+4； 当 6b12 时，如答图 3 所示 设直线 l：y=2x+b 与 x 轴交于点 P，与 CD 交于点 Q 令 y=0，可得 x=，AP=2； 令 y=2，可得 x=1，DQ=3 S=S梯形 APQD=（DQ+AP）AD=b5； 当 12b14 时，如答图 4 所示 设直线 l：y=2x+b 与 BC 交于点 P，与 CD 交于点 Q 令 x=6，可得 y=b12，BP=b12，CP=14b； 令 y=2，可得 x=1，DQ=3，CQ=7 S=S矩形 ABCDSPQC=8CPCQ=b 2+7b41； 当 b14 时，S=S矩形 ABCD=8 综上所述，当 b 由小到大变化时，S 与 b 的函数关系式为： 10 闯关练习闯关练习 1 1如图，已知抛物线 y=ax 2+bx+c（a0，c0）交 x 轴于点 A，B，交 y 轴于点 C，设过点 A，B，C 三点 的圆与 y 轴的另一个交点为 D （1）如图 1，已知点 A，B，C 的坐标分别为（2，0） ， （8，0） ， （0，4） ； 求此抛物线的表达式与点 D 的坐标； 若点 M 为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求BDM 面积的最大值； （2）如图 2，若 a=1，求证：无论 b，c 取何值，点 D 均为定点，求出该定点坐标 【解答】解： （1）抛物线 y=ax 2+bx+c 过点 A（2，0） ，B（8，0） ，C（0，4） ， ，解得， 抛物线的解析式为：y=x 2 x4； OA=2，OB=8，OC=4，AB=10 如答图 1，连接 AC、BC 由勾股定理得：AC=，BC= AC 2+BC2=AB2=100， ACB=90， AB 为圆的直径 由垂径定理可知，点 C、D 关于直径 AB 对称， 11 D（0，4） （2）设直线 BD 的解析式为 y=kx+b，B（8，0） ，D（0，4） ， ，解得， 直线 BD 解析式为：y=x+4 设 M（x，x 2 x4） ， 如答图 21，过点 M 作 MEy 轴，交 BD 于点 E，则 E（x，x+4） ME=（x+4）（x 2 x4）=x 2+x+8 SBDM=SMED+SMEB=ME（xExD）+ME（xBxE）=ME（xBxD）=4ME， SBDM=4（x 2+x+8）=x2+4x+32=（x2）2+36 当 x=2 时，BDM 的面积有最大值为 36； （3）如答图 3，连接 AD、BC 由圆周角定理得：ADO=CBO，DAO=BCO， AODCOB， =， 设 A（x1，0） ，B（x2，0） ， 已知抛物线 y=x 2+bx+c（c0） ， OC=c，x1x2=c， =， OD=1， 无论 b，c 取何值，点 D 均为定点，该定点坐标 D（0，1） 12 2如图，A（5，0） ，B（3，0） ，点 C 在 y 轴的正半轴上，CBO=45，CDABCDA=90点 P 从点 Q（4，0）出发，沿 x 轴向左以每秒 1 个单位长度的速度运动，运动时时间 t 秒 （1）求点 C 的坐标； （2）当BCP=15时，求 t 的值； （3）以点 P 为圆心，PC 为半径的P 随点 P 的运动而变化，当P 与四边形 ABCD 的边（或边所在的直线） 相切时，求 t 的值 【解答】解： （1）BCO=CBO=45， OC=OB=3， 又点 C 在 y 轴的正半轴上， 点 C 的坐标为（0，3） ； （2）分两种情况考虑： 当点 P 在点 B 右侧时，如图 2， 若BCP=15，得PCO=30， 故 PO=COtan30=，此时 t=4+； 当点 P 在点 B 左侧时，如图 3， 由BCP=15，得PCO=60， 故 OP=COtan60=3， 此时，t=4+3， t 的值为 4+或 4+3； （3）由题意知，若P 与四边形 ABCD 的边相切时，有以下三种情况： 当P 与 BC 相切于点 C 时，有BCP=90， 13 从而OCP=45，得到 OP=3，此时 t=1； 当P 与 CD 相切于点 C 时，有 PCCD，即点 P 与点 O 重合，此时 t=4； 当P 与 AD 相切时，由题意，得DAO=90， 点 A 为切点，如图 4，PC 2=PA2=（9t）2，PO2=（t4）2， 于是（9t） 2=（t4）2+32，即 8118t+t2=t28t+16+9， 解得：t=5.6， t 的值为 1 或 4 或 5.6 3如图，AE 切O 于点 E，AT 交O 于点 M，N，线段 OE 交 AT 于点 C，OBAT 于点 B，已知EAT=30， AE=3，MN=2 （1）求COB 的度数； （2）求O 的半径 R； （3）点 F 在O 上（是劣弧） ，且 EF=5，把OBC 经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分 14 别与点 E，F 重合在 EF 的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在O 上的三 角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与OBC 的周长之比 【解答】解： （1）AE 切O 于点 E， AECE，又 OBAT， AEC=CBO=90， 又BCO=ACE， AECOBC，又A=30， COB=A=30； （2）AE=3，A=30， 在 RtAEC 中，tanA=tan30=，即 EC=AEtan30=3， OBMN，B 为 MN 的中点，又 MN=2， MB=MN=， 连接 OM，在MOB 中，OM=R，MB=， OB=， 在COB 中，BOC=30， cosBOC=cos30=， BO=OC， OC=OB=， 又 OC+EC=OM=R， R=+3， 整理得：R 2+18R115=0，即（R+23） （R5）=0， 解得：R=23（舍去）或 R=5， 则 R=5； 15 （3）以 EF 为斜边，有两种情况，以 EF 为直角边，有四种情况，所以六种， 画直径 FG，连接 EG，延长 EO 与圆交于点 D，连接 DF，如图所示： EF=5，直径 ED=10，可得出FDE=30， FD=5， 则 CEFD=5+10+5=15+5， 由（2）可得 CCOB=3+， CEFD：CCOB=（15+5） ： （3+）=5：1 EF=5，直径 FG=10，可得出FGE=30， EG=5， 则 CEFG=5+10+5=15+5， CEFG：CCOB=（15+5） ： （3+）=5：1 4如图，PB 为O 的切线，B 为切点，直线 PO 交于点 E、F，过点 B 作 PO 的垂线 BA，垂足为点 D，交 O 于点 A，延长 AO 与O 交于点 C，连接 BC，AF （1）求证：直线 PA 为O 的切线； （2）试探究线段 EF、OD、OP 之间的等量关系，并加以证明； （3）若 BC=6，tanF=，求 cosACB 的值和线段 PE 的长 【解答】解： （1）连接 OB， PB 是O 的切线， PBO=90， OA=OB，BAPO 于 D， AD=BD，POA=POB， 又PO=PO， PAOPBO（SAS） ， 16 PAO=PBO=90， OAPA， 直线 PA 为O 的切线 （2）EF 2=4ODOP 证明：PAO=PDA=90 OAD+AOD=90，OPA+AOP=90， OAD=OPA， OADOPA， =，即 OA 2=ODOP， 又EF=2OA， EF 2=4ODOP （3）OA=OC，AD=BD，BC=6， OD=BC=3（三角形中位线定理） ， 设 AD=x， tanF=， FD=2x，OA=OF=2x3， 在 RtAOD 中，由勾股定理，得（2x3） 2=x2+32， 解之得，x1=4，x2=0（不合题意，舍去） ， AD=4，OA=2x3=5， AC 是O 直径， ABC=90， 又AC=2OA=10，BC=6， cosACB= OA 2=ODOP， 3（PE+5）=25， PE= 17 5己知：如图ABC 内接于O，AB 为直径，CBA 的平分线交 AC 于点 F，交O 于点 D，DEAB 于点 E，且交 AC 于点 P，连接 AD （1）求证：DAC=DBA； （2）求证：P 是线段 AF 的中点； （3）若O 的半径为 5，AF=，求 tanABF 的值 【解答】 （1）证明：BD 平分CBA， CBD=DBA， DAC 与CBD 都是弧 CD 所对的圆周角， DAC=CBD， DAC=DBA； （2）证明：AB 为直径， ADB=90， DEAB 于 E， DEB=90， ADE+EDB=ABD+EDB=90， ADE=ABD=DAP， PD=PA， DFA+DAC=ADE+PDF=90，且ADB=90， PDF=PFD， PD=PF， PA=PF， 即：P 是 AF 的中点； （3）解：DAF=DBA，ADB=FDA=90， FDAADB， =， 由题意可知圆的半径为 5， AB=10， 18 =， 在 RtABD 中，tanABD=， 即：tanABF= 考场直播考场直播 1如图，AB、AC 分别是O 的直径和弦，点 D 为劣弧 AC 上一点，弦 DEAB 分别交O 于 E，交 AB 于 H， 交 AC 于 FP 是 ED 延长线上一点且 PC=PF （1）求证：PC 是O 的切线； （2）点 D 在劣弧 AC 什么位置时，才能使 AD 2=DEDF，为什么？ （3）在（2）的条件下，若 OH=1，AH=2，求弦 AC 的长 【解答】 （1）证明：连接 OC PC=PF，OA=OC， PCA=PFC，OCA=OAC， PFC=AFH，DEAB， AHF=90， PCO=PCA+ACO=AFH+FAH=90， PC 是O 的切线 （2）解：点 D 在劣弧 AC 中点位置时，才能使 AD 2=DEDF，理由如下： 连接 AE 点 D 在劣弧 AC 中点位置， DAF=DEA， ADE=ADE， DAFDEA， AD：ED=FD：AD， AD 2=DEDF 19 （3）解：连接 OD 交 AC 于 G OH=1，AH=2， OA=3，即可得 OD=3， DH=2 点 D 在劣弧 AC 中点位置， ACDO， OGA=OHD=90， 在OGA 和OHD 中， ， OGAOHD（AAS） ， AG=DH， AC=4 能力平台能力平台 1如图，等腰三角形 ABC 中，AC=BC=10，AB=12以 BC 为直径作O 交 AB 于点 D，交 AC 于点 G，DFAC， 垂足为 F，交 CB 的延长线于点 E （1）求证：直线 EF 是O 的切线； （2）求 sinE 的值 【解答】 （1）证明：方法 1：连接 OD、CD BC 是直径， CDAB AC=BC D 是 AB 的中点 O 为 CB 的中点， 20 ODAC DFAC， ODEF EF 是 O 的切线 方法 2：AC=BC， A=ABC， OB=OD， DBO=BDO， A+ADF=90 EDB+BDO=A+ADF=90 即EDO=90， ODED EF 是 O 的切线 （2）解：连 BG BC 是直径， BDC=90 CD=8 ABCD=2SABC=ACBG， BG= CG= BGAC，DFAC， BGEF E=CBG， sinE=sinCBG= 21 2如图，直线 AB 经过O 上的点 C，并且 OA=OB，CA=CB，O 交直线 OB 于 E，D，连接 EC，CD （1）求证：直线 AB 是O 的切线； （2）试猜想 BC，BD，BE 三者之间的等量关系，并加以证明； （3）若 tanCED=，O 的半径为 3，求 OA 的长 【解答】 （1）证明：如图，连接 OC， （1 分） OA=OB，CA=CB， OCAB， （2 分） AB 是O 的切线 （3 分） （2）解：BC 2=BDBE （4 分） 证明：ED 是直径， ECD=90， E+EDC=90 又BCD+OCD=90，OCD=ODC（OC=OD） ， BCD=E （5 分） 又CBD=EBC， BCDBEC （6 分） BC 2=BDBE （7 分） （3）解：tanCED=， BCDBEC， （8 分） 设 BD=x，则 BC=2x， BC 2=BDBE， 22 （2x） 2=x（x+6） （9 分） x1=0，x2=2 BD=x0， BD=2 OA=OB=BD+OD=3+2=5 （10 分） 3如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（4，0） ，以点 A 为圆心，4 为半径的圆与 x 轴 交于 O，B 两点，OC 为弦，AOC=60，P 是 x 轴上的一动点，连接 CP （1）求OAC 的度数； （2）如图，当 CP 与A 相切时，求 PO 的长； （3）如图，当点 P 在直径 OB 上时，CP 的延长线与A 相交于点 Q，问 PO 为何值时，OCQ 是等腰三角 形？ 【解答】解： （1）AOC=60，AO=AC， AOC 是等边三角形， OAC=60 （2）CP 与A 相切， ACP=90， APC=90OAC=30； 又A（4，0） ， AC=AO=4， PA=2AC=8， PO=PAOA=84=4 （3）过点 C 作 CP1OB，垂足为 P1，延长 CP1交A 于 Q1； 23 OA 是半径， ， OC=OQ1， OCQ1是等腰三角形； 又AOC 是等边三角形， P1O=OA=2； 过 A 作 AD OC ， 垂 足 为 D ， 延 长 DA 交 A 于 Q2， CQ2与 x 轴 交 于 P2； A 是圆心， DQ2是 OC 的垂直平分线， CQ2=OQ2， OCQ2是等腰三角形； 过点 Q2作 Q2Ex 轴于 E， 在 RtAQ2E 中， Q2AE=OAD=OAC=30， Q2E=AQ2=2，AE=2， 点 Q2的坐标（4+，2） ； 在 RtCOP1中， P1O=2，AOC=60， ， C 点坐标（2，） ； 设直线 C