广州市2020届高三年级阶段性训练题文科数学参考答案及评分标准.pdf

广州市教育研究院 广州市教育研究院 广州市教育研究院 1 广州市广州市 2020 届高三年级阶段训练届高三年级阶段训练题题 文科数学试题参考答案及评分标准文科数学试题参考答案及评分标准 评分说明: 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题 的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分， 但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题不给中间分 一、选择题一、选择题 二、填空题二、填空题 13. 2 14. 1 15. 2 9 16. 1 8 ， 11 1 22n 三、解答题三、解答题 17. (12 分) （1）解解：由于0 .63, 0 .62内的频率为0.0750.2250.50.15，1 分 5 .63, 0 .63内的频率为375. 05 . 075. 0， 2 分 得0.15 0.3750.5250.5， 3 分 令这80个零件尺寸的中位数为x，则x5 .63, 0 .63， 4 分 即有5 . 075. 0)63(15. 0 x， 5 分 解得47.63x 故这80个零件尺寸的中位数为63.47. 6 分 （2）解解：从频率分布直方图中可得80个零件中尺寸在5 .64, 0 .63之外的零件共有 0.0750.2250.1000.5 8016个， 8 分 故从80个零件中随机抽取1个零件， 则所抽取的零件为二等品的概率为 16 0.2 80 P . 10 分 所以从生产线上随机抽取1个零件，估计所抽取的零件是二等品的概率为0.2. 12 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B C D B A A C A C B C 广州市教育研究院 广州市教育研究院 广州市教育研究院 2 OC B A P 18. (12 分) （1）解解：因为 222 2 sinsinsinsinsin 3 ACACB， 依据正弦定理得 222 2 3 acacb， 2 分 则 222 cos 2 acb B ac 2 3 2 ac ac 1 3 . 4 分 因为0B, 所以 2 2 2 sin1 cos 3 BB. 6 分 （2）解解：因为ABC的面积为2， 所以 1 2sin 2 acB 12 2 23 ac. 7 分 得3ac . 8 分 由于2b， 则 22 2 4 3 acac，即 22 6ac. 9 分 得 22 26212acacac , 即 2 12ac, 10 分 由于0ac , 则2 3ac. 11 分 所以ABC的周长为22 3abc. 12 分 19. (12 分) （1）证明证明: 取AC的中点O，连接PO，BO， 因为PAPC，所以POAC. 1 分 因为ABBC，所以BOAC. 2 分 因为POBOO，PO平面POB，BO平面POB， 所以AC 平面POB. 3 分 因为PB 平面POB， 所以ACPB. 4 分 （2）解法解法 1：因为3ACPB2， 则2AC ， 2 3 3 PB . 广州市教育研究院 广州市教育研究院 广州市教育研究院 3 因为ABBC，90ABC ，则 1 1 2 BOAOAC.5 分 因为PAPC，120APC ，则60APO . 在 RtPOA中， 3 tan603 AO PO ， 6 分 因为 222 4 3 BOPOPB， 所以POBO. 7 分 因为POAC，ACBOO，AC 平面ABC，BO平面ABC， 所以PO 平面ABC. 8 分 由于ABC的面积为 1 1 2 SAC BO， 则 13 39 P ABC VPO S . 所以三棱锥PABC的体积为 3 9 . 9 分 在 RtPOA中， 2 3 cos303 AO PA ， 故 2 3 3 PAPB. 则ABP的面积为 2 2 11 22 SABPAAB 15 6 . 10 分 设点C到平面PAB的距离为d， 由 P ABCC PAB VV ， 得 13 39 d S ， 11 分 得 2 5 5 d . 所以点C到平面PAB的距离为 2 5 5 . 12 分 解法解法 2：因为3ACPB2， 则2AC ， 2 3 3 PB . 广州市教育研究院 广州市教育研究院 广州市教育研究院 4 E D OC B A P 因为ABBC，90ABC ，则 1 1 2 BOAOAC. 5 分 因为PAPC，120APC ，则60APO . 在 RtPOA中， 3 tan603 AO PO ， 6 分 因为 222 4 3 BOPOPB， 所以POBO. 7 分 因为POAC，ACBOO，AC 平面ABC，BO平面ABC， 所以PO 平面ABC. 8 分 因为AB 平面ABC， 所以PO AB. 取AB的中点D，连接OD，PD， 则ODBC，且 12 22 ODBC. 由于90ABC ，则90ADO ，即ODAB. 因为ODPOO，OD平面POD，PO平面POD， 所以AB 平面POD. 又AB 平面PAB， 所以平面PAB平面POD. 9 分 由于平面PAB平面PODPD，作OEPD于E， 则OE 平面PAB. 10 分 在 RtPOD中， 22 30 6 PDPOOD， 由OD POPD OE，得 5 5 OE . 11 分 则点O到平面PAB的距离为 5 5 . 由于O是AC的中点， 则点C到平面PAB的距离是点O到平面PAB的距离的2倍. 所以点C到平面PAB的距离为 2 5 5 . 12 分 解法解法 3：作ADPB于D，连接CD， 根据题意，得ABPCBP， 则CDPB，ADCD. 5 分 因为ADCDD，AD 平面ACD，CD平面ACD， 广州市教育研究院 广州市教育研究院 广州市教育研究院 5 E D OC B A P 所以PB 平面ACD. 6 分 因为PB 平面PAB， 所以平面PAB平面ACD. 7 分 又平面PAB平面ACDAD, 过C作CEAD于E, 则CE 平面PAB. 所以CE的长度为点C到平面PAB的距离. 8 分 因为32ACPB，则 2 3 3 PB . 因为ABBC，90ABC ，则2AB ，1AO. 因为PAPC，120APC ，则30PAO . 在 RtPOA中， 2 3 cos303 AO PA ， 9 分 故 2 3 3 PAPB. 则ABP的面积为 2 2 11 22 SABPAAB 15 6 ， 又 1 2 SPB AD，即 1512 3 623 AD，得 5 2 AD . 10 分 在ACD中， 5 2 CDAD，2AC ， 则 2 2 11 22 ACD SACADAC 1 2 . 11 分 又 1 2 ACD SAD CE , 则 115 222 CE, 得 2 5 5 CE . 所以点C到平面PAB的距离为 2 5 5 . 12 分 20.(12 分) (1) 解法解法 1 1:因为点P是抛物线 2 1 :3 4 C yx的顶点,所以点P的坐标为0, 3.1 分 依题意知直线AB的斜率存在，设直线:AB ykxb, 1122 ,A x yB xy, 则 1122 ,3 ,3PAx yPBx y . 因为4PA PB , 所以 1212 334x xyy . 2 分 广州市教育研究院 广州市教育研究院 广州市教育研究院 6 因为A,B是C上的两个动点, 所以 2 11 1 3 4 yx, 2 22 1 3 4 yx. 则 22 1212 1 4 16 x xx x . 整理得 22 121 2 16640 x xx x, 解得 12 8x x . 3 分 由 2 , 1 3, 4 ykxb yx 得 2 41240 xkxb, 则 12 4xxk, 12 124x xb . 故1248b，解得1b . 所以直线:1AB ykx. 4 分 所以直线AB过定点0, 1. 5 分 所以点0, 1D在直线AB上. 6 分 解法解法 2 2: 因为点P是抛物线 2 1 :3 4 C yx的顶点,所以点P的坐标为0, 3. 1 分 设 1122 ,A x yB xy,则 1122 ,3 ,3PAx yPBx y . 因为4PA PB , 所以 1212 334x xyy .2 分 因为A,B是C上的两个动点, 所以 2 11 1 3 4 yx, 2 22 1 3 4 yx. 则 22 1212 1 4 16 x xx x . 整理得 22 121 2 16640 x xx x, 解得 12 8x x . 3 分 直线AB的斜率为 22 12 1212 1212 11 44 4 xx yyxx k xxxx , 则直线AB的方程为 2 12 11 1 3 44 xx yxxx , 即 1122 12 1 1 3 444 xxxxx yxx 1212 3 44 xxx x x 广州市教育研究院 广州市教育研究院 广州市教育研究院 7 12 1 4 xx x . 4 分 所以直线AB过定点0, 1. 5 分 所以点0, 1D在直线AB上. 6 分 解法解法 3 3: 因为点P是抛物线 2 1 :3 4 C yx的顶点,所以点P的坐标为0, 3. 1 分 设 1122 ,A x yB xy,则 1122 ,3 ,3PAx yPBx y . 因为4PA PB , 所以 1212 334x xyy . 2 分 因为A,B是C上的两个动点, 所以 2 11 1 3 4 yx, 2 22 1 3 4 yx. 则 22 1212 1 4 16 x xx x . 整理得 22 121 2 16640 x xx x, 解得 12 8x x . 3 分 直线AD的斜率为 2 11 1 11 18 4 yx k xx , 直线BD的斜率为 2 22 2 22 18 4 yx k xx , 则 22 12 12 12 88 44 xx kk xx 22 2112 12 88 4 xxxx x x 0. 4 分 则 12 0kk,得 12 kk. 故A,B,D三点共线. 5 分 所以点0, 1D在直线AB上. 6 分 (2) 解法解法 1 1:线段PA的中点坐标为 2 11 ,3 28 xx , 2 1 1 1 1 4 4 PA x x k x , 则线段PA的中垂线方程为 2 11 1 4 3 82 xx yx x . 7 分 广州市教育研究院 广州市教育研究院 广州市教育研究院 8 同理得线段PB的中垂线方程为 2 22 2 4 3 82 xx yx x . 8 分 由解得 12 4 xx xk , 2 2yk. 10 分 所以点M的坐标为 2 ,2kk. 设点,M x y,则 2 , 2. xk yk 11 分 消去k, 得 2 1 2 xy. 所以点M的轨迹方程为 2 1 2 xy. 12 分 解法解法 2 2:线段PA的中点坐标为 2 11 ,3 28 xx , 2 1 1 1 1 4 4 PA x x k x , 则线段PA的中垂线方程为 2 11 1 4 3 82 xx yx x . 7 分 同理得线段PB的中垂线方程为 2 22 2 4 3 82 xx yx x . 8 分 由解得 12 4 xx x , 2 12 8 xx y . 10 分 设点,M x y,则 12 2 12 , 4 . 8 xx x xx y 11 分 消去 12 xx, 得 2 1 2 xy. 所以点M的轨迹方程为 2 1 2 xy. 12 分 21. (12 分) （1）解解：函数 fx的定义域为0,， 由 ln x be f xax x ，得 2 xx b xee a fx xx ， 1 分 则 1fa， 1fbe . 广州市教育研究院 广州市教育研究院 广州市教育研究院 9 故曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为1ybea x， 即0axyabe . 2 分 因为曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为22xy e0. 所以2a ，1b. 4 分 （2）证法证法 1: 由(1)知 2ln x e f xx x , 则 22 22 xx xx xee xxee fx xxx . 令 2 xx g xxxee0 x , 得 22 xxxx gxexeexe, 则 gx在0,上单调递减. 由于 020 g , 120ge, 则存在 1 0,1x , 使得 1 0gx. 5 分 当 1 0,xx时, 0gx; 当 1, xx时, 0gx. 故 g x在 1 0,x上单调递增, 在 1, x 上单调递减. 由于 010g , 120g, 2 240ge, 故存在 0 1,2x , 使得 0 0g x, 6 分 当 0 0,xx时, 0g x , 则 0fx; 当 0, xx时, 0g x , 则 0fx. 故函数 fx在 0 0,x上单调递增, 在 0, x 上单调递减. 7 分 故函数 fx存在唯一的极大值点 0 x. 8 分 由于 0 0g x，即 00 00 20 xx xx ee，得 0 0 0 2 1 x x e x ， 0 1,2x ， 则 0 00 0 2ln x e f xx x 0 0 2 2ln 1 x x . 9 分 广州市教育研究院 广州市教育研究院 广州市教育研究院 10 令 2 2ln 1 h xx x ，12x， 则 2 22 0 1 h x x x . 故函数 h x在1,2上单调递增. 10分 由于 0 12x，则 0 22ln22h xh.11 分 即 0 0 2 2ln 1 x x 2ln22. 所以 0 2ln22f x. 12 分 证法证法 2: 由(1)知 2ln x e f xx x , 则 222 2122 0 xx x xx xee xexxxee fxx xxxx . 当01x时， 0fx； 当1x 时，令 21 x g xxex, 得 21220 xxx gxexexee , 则 g x在1,上单调递减. 5 分 又 120g, 2 240ge, 故存在 0 1,2x , 使得 0 0g x, 6分 当 0 0,xx时, 0g x , 则 0fx; 当 0, xx时, 0g x , 则 0fx. 故函数 fx在 0 0,x上单调递增, 在 0, x 上单调递减. 7 分 故函数 fx存在唯一的极大值点 0 x. 8 分 由于 0 0g x，即 0 00 210 x xex，得 0 0 0 2 1 x x e x ， 0 1,2x ， 广州市教育研究院 广州市教育研究院 广州市教育研究院 11 则 0 00 0 2ln x e f xx x 0 0 2 2ln 1 x x . 9 分 令 2 2ln 1 h xx x ，12x， 则 2 22 0 1 h x x x . 故函数 h x在1,2上单调递增. 10分 由于 0 12x，则 0 22ln22h xh.11 分 即 0 0 2 2ln 1 x x 2ln22. 所以 0 2ln22f x. 12 分 22. (10 分) (1)解解:由 cos , ( 1sin, xt t yt 为参数), 得sincoscos0 xy, 所以曲线 1 C的普通方程为sincoscos0 xy. 2 分 由 sin , ( 1 cos2 , x y 为参数),得 22 220 xyy. 所以曲线 2 C的普通方程为 22 220 xyy. 5 分 （2）解解法法 1 1:把 cos , 1sin xt yt 代入 22 22xy， 得 222 2cossin2 sin10tt ，6 分 由于 2 22 2sin4 2cossin80, 则 12 22 2sin 2cossin tt ， 1 2 22 1 2cossin t t . 8 分 则 2 12121 2 4ABttttt t 22 2 2 2cossin . 9 分 由于2AB ，则 22 2 2 2 2cossin . 解得sin0. 广州市教育研究院 广州市教育研究院 广州市教育研究院 12 1 -11 O y x 经检验，sin0符合题意， 所以sin0. 10 分 解法解法 2:由（1）可知 1 C是直线，且过点0,1， 2 C是椭圆 22 22xy在x轴上方（包括与x轴的两个交点） ， 如图可知，若 1 C与 2 C有两个交点，则 1 C的斜率1,1k . 设 1: 1Cykx, 1122 ,A x yB xy, 由 22 1, 22, ykx xy 得 22 2210kxkx , 6 分 由于 2 22 242880kkk, 则 12 2 2 2 k xx k , 12 2 1 2 x x k . 7 分 2 2 1212 14ABkxxx x 2 2 22 24 1 22 k k kk 2 2 2 21 2 k k . 8 分 由于2AB ,得 2 2 2 21 0 2 k k ，解得0k . 9 分 则tan0，得sin0. 10 分 23.(10 分) （1）解解法法 1 1:因为0a ，0b ，且1ab, 所以 12 ab 2 abab ab 1 分 2 3 ba ab 2 32 ba ab 2 分 32 2 . 3 分 当且仅当 2ba ab ,即 22 2ba时,等号成立. 广州市教育研究院 广州市教育研究院 广州市教育研究院 13 由 22 0,0, 1, 2, ab ab ba 解得 21, 22. a b 4 分 所以 12 ab 的最小值为32 2. 5 分 解法解法 2 2:因为0a ，0b ，且1ab, 所以 12 ab 12 ab ab 1 分 2 3 ba ab 2 32 ba ab 2 分 32 2 . 3 分 当且仅当 2ba ab ,即 22 2ba时,等号成立. 由 22 0,