（试题 试卷 真题）第12讲 圆锥曲线的概念与性质

第12讲 圆锥曲线的概念与性质一、考点要求1圆锥曲线部分常常考查的是：三种圆锥曲线的定义及简单几何性质的灵活运用；求曲线方程（含指定圆锥轴线方程及轨迹方程）；直线与圆锥曲线的位置关系问题（交点、弦长、中点弦与斜率、对称问题），确定参数的范围；在向量、函数、不等式、三角以及导数知识网络交汇点上的问题2掌握数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想以及定义法、等定系数法、参数法、类比等思想方法二、基础过关1已知平面内一条定线段AB的长度为4，动点P满足|PA|PB|=3，O为AB的中点，则|OP|的最小值为 分析：点P的轨迹为双曲线右支，|OP|=a=2是椭圆上任一点，是两焦点，则的取值范围为 3设点P是双曲线上除顶点外的任意一点，分别是左、右焦点，c为半焦距，PF1F2的内切圆与边F1F2切于点M，则|F1 M|F2 M|= 分析：M点即为顶点，|F1 M|F2 M|=（ca）（ca）= b24椭圆C与椭圆D：关于直线l：x+y=0对称，则椭圆C的方程是（ A ）A BC D5 对于每个自然数，抛物线与轴交于、两点，以表示该两点间的距离，则的值是（ D ）（A） （B） （C） （D）6已知F1，F2为椭圆的左、右焦点，抛物线以1为顶点，2为焦点，设为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆的离心率e满足PF1e|PF2|，则e的值为 三、典型例题 例1是否存在圆锥曲线C，同时满足下列条件：（1）以原点O及直线x=1为焦点和相应的准线；（2）曲线的长为2的弦被直线x+y=0垂直平分，若存在，求出曲线C的方程；若不存在，说明理由 解：设存在满足条件的曲线C，C上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且弦AB被直线x+y=0垂直平分，于是点B的坐标为（-y1，-x1），又|AB|=2，则，化简整理得：，又由条件（1）得：， 整理得：， 由、有，解得A（2，0）、B（0，-2）则=2，可见e存在，因此满足条件的圆锥曲线存在，设P（x，y）是曲线C上任意一点，由圆锥曲线的统一定义，得，化简整理得：例2 已知椭圆的左焦点F1到右准线的距离为，且离心率，（1）求椭圆的方程；（2）如图，过原点的两条直线分别交椭圆于A，B，C，D四点，求证：四边形ABCD是平行四边形；（3）在（2）中，若直线AD经过左焦点F1，求平行四边形ABCD面积的最大值 解：（1）由已知，左焦点F1（-c，0），右准线x=，根据题意得，有，椭圆的方程为（2）AC，BD都过原点，由椭圆的对称性，得AC与BD互相平分，四边形ABCD是平行四边形（3）设直线AD的倾斜角为，则0，过原点O作BC、AD间的垂线段，记垂线段的长为h，即，若90，设直线AD的方程为，代入椭圆方程，得，整理得：，其中=，设，将代入并整理得，|AD|，S=，（当且仅当时取等号），又当=90时，当时，例3 已知椭圆C的方程是，双曲线的两条渐近线为l1、l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使ll1，又l与l2交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B，如图所示（1） 当l1与l2夹角为60，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程及离心率；（2） 求的最大值 解：（1）双曲线的渐近线为，两渐近线的夹角为60，又，Pox=30a=b又c=2，椭圆C的方程是离心率（2） 由已知l：，与联立，解方程组得P在椭圆的右准线上，A在线段FP上，设A分的比为（0），则，将A点坐标代入椭圆方程，得，等式两边同除以，得 ，当，即时，有最大值，即的最大值为四、热身演练1已知A（2，0），B（3，1），P为双曲线上任一点（P在右支上），则|PA|+|PB|的最小值为 2已知一抛物线C的对称轴为xy=0，准线为x+y-4=0，焦点为F（1，1），则抛物线的顶点为 ( , )3设椭圆的右焦点为F，C为椭圆短轴上端点，向量绕F点顺时针旋转90后得到向量 ，其中点恰好落在椭圆右准线上，则该椭圆离心率为 分析：由条件得，b=c，e=4设抛物线与直线有两个交点，其横坐标分别为x1，x2，而直线与x轴交点的横坐标为，则一定有（ B ）A B C D5P为曲线上一动点，F为右焦点，设点A（，2），则3|PA|+5|PF|的最小值是（ D ）A7 B C28 D216椭圆上一点到左、右焦点距离之比为13，则此点到左、右准线的距离分别为 、7“抛物线上离点最近的点恰好为顶点”成立的充要条件是（ C ） A B C D8无论实数取何值，直线与双曲线总有公共点，则实数的取值范围是 AONBPMF9如图，已知椭圆中心O是坐标原点，F是它的左焦点，A是它的左顶点，、分别为左、右准线，交轴于点B，、两点在椭圆上，且于M，于N，下列5个比值中：，其中等于该椭圆离心率的编号有 10椭圆与直线相交于P、Q两点，且（O为原点），（1）求的值；（2）若椭圆的离心率在上变化时，求椭圆长轴的取值范围解：（1）联立方程组消去y，整理得 直线与椭圆有两个交点，式判别式0，即，设P、Q两点的坐标分别是， ，代入得，即， 由方程得：，代入整理得：，故（2），即，则，又，将代入其中得：，又a0，椭圆长轴长的取值范围为11已知双曲线的离心率，过A（a，0），B（0，-b）的直线到原点的距离是（1）求双曲线的方程；（2）已知直线交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值解：（1）由，在RTAOB中， ，即，解之得，双曲线的方程为（2）由方程组消去y得，在条件下由韦达定理得：，设C（x1，y1），D（x2，y2），则CD的中点，即，B（0，-1），依题意得BECD，解之得：，以检验得，均符合题意，12已知曲线C的方程为（kR）（1）若曲线C是椭圆，求k的取值范围；（2）若曲线C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60，求此双曲线的方程；（3）满足（2）的双曲线上是否存在两点P、Q关于直线l：y=x-1对称，若存在，求出直线PQ的方程；若不存在，说明理由 解：（1）曲线C的方程可化为：，由曲线C为椭圆可得 ，（2）由已知条件