6.1平方根（第三课时）.docx

第课时1.掌握平方根的概念,明确平方根和算术平方根之间的联系和区别.2.能用符号正确地表示一个数的平方根,理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系.通过探索平方根与算术平方根的区别与联系,学会利用算术平方根解决平方根的问题.培养学生从多方面、多角度分析问题、解决问题的思想意识,养成综合分析问题的习惯.【重点】平方根的概念和求数的平方根.【难点】平方根和算术平方根的联系与区别.【教师准备】教材图6.1-2;教材例题投影图片.【学生准备】复习算术平方根的知识.导入一:我们学过了算术平方根的概念、性质.知道若一个正数x的平方等于a,即x2=a,则x叫做a的算术平方根,记作x=a,而且a不能是非正数,比如正数32=9,则3叫做9的算术平方根,9叫做3的平方数,但是(-3)2=9,那么-3叫做9的什么根呢?下面我们就来讨论这个问题.设计意图通过复习旧知识引入新知识,有利于学生建立起知识之间的对比和联系.导入二:【思考】如果一个数的平方等于9,这个数是多少?从前面的学习我们知道,这个数可以是3.除了3以外,还有没有别的数的平方也等于9呢?由于(-3)2=9,这个数也可以是-3.因此,如果一个数的平方等于9,那么这个数是3或-3.那么,3和-3叫做9的什么呢?设计意图通过简单的事例,有助于学生进行旧知识的复习,通过思考问题,引入平方根的概念.1.平方根与开平方.过渡语通过本节课的课题“6.1平方根”我们知道了“平方根”这个词,那么什么是平方根呢?思路一:填表:x21163649425x146725问题:什么是算术平方根?表格中的这些数的算术平方根是什么?什么叫做平方根?什么叫做开平方?问题处理方式:第一问和第二问由学生自己回答;第三问和第四问学生自学教材第45页例4前的内容后回答.核心问题归纳:一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根,这就是说,如果x2=a,那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算,叫做开平方.思路二:问题思考:(1)9的算术平方根是3,还有平方也是9的数吗?(2)平方等于425的数有几个?平方等于0.36的数呢?生1:-3的平方也是9.生2:平方等于425的数有两个,分别是25和-25.生3:平方等于0.36的数有两个,是0.6和-0.6.师:根据上一节课的内容,我们知道了3是9的算术平方根,那么-3也是9的算术平方根吗?生:(阅读教材第45页第1段)师:-3是9的平方根,这种说法对吗?生:正确.师:能总结一下平方根的定义吗?生:一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根,这就是说,如果x2=a,那么x叫做a的平方根.问题2:平方与开平方的关系学生观察教材图6.1-2,思考左面的平方和右面的开平方是什么关系.我们看到,1的平方等于1,1的平方根是1,2的平方等于4,4的平方根是2,3的平方等于9,9的平方根是3,所以平方与开平方互为逆运算.根据这种互逆关系,可以求一个数的平方根.(教材例4)求下列各数的平方根.(1)100;(2)916;(3)0.25.解:(1)因为(10)2=100,所以100的平方根是10.(2)因为342=916,所以916的平方根是34.(3)因为(0.5)2=0.25,所以0.25的平方根是0.5.2.平方根的特点.问题思考:(1)正数的平方根有几个?(2个)(2)正数的两个平方根之间有什么关系?(互为相反数)(3)0的平方根是多少?(0)(4)负数有没有平方根?(没有)(5)平方根怎么用数学式表达?(正数a的算术平方根可以用a表示;正数a的负的平方根可以用符号“-a”表示,故正数a的平方根可以用符号“a”表示,读作“正、负根号a”.)问题处理:第(1)问和第(2)问由学生做出肯定性的答案.第(3)问强调学生注意0的平方根和算术平方根的一致性.第(4)问重点讨论负数没有平方根的原因.第(4)问指导学生善于用数学符号语言总结本课时所学.(教材例5)求下列各式的值.(1)36;(2)-0.81;(3)499.解:(1)因为62=36,所以36=6.(2)因为0.92=0.81,所以-0.81=-0.9.(3)因为732=499,所以499=73.知识拓展(1)若一个数的平方根是它本身,则这个数是0.若一个数的算术平方根是它本身,则这个数是0或1.(2)根据开平方与平方互为逆运算可得到有关算术平方根的两个重要公式:(a)2=a(a0);a2=|a|.要特别注意a的取值范围.名称关系算术平方根平方根区别定义不同如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根个数不同正数的算术平方根只有1个正数的平方根有2个表示方法不同正数a的算术平方根表示为a正数a的平方根表示为a取值范围不同正数的算术平方根一定是正数正数的平方根为一正一负,互为相反数联系具有包含关系平方根包含算术平方根,算术平方根是平方根中的非负根存在的条件相同只有非负数才有平方根和算术平方根0的平方根与算术平方根均为01.16的平方根是()A.4B.4C.8D.8解析:求一个数的平方根,可根据平方根的定义:如果x2=a,那么x就叫做a的平方根,利用平方与开平方互为逆运算的关系进行求解.因为(4)2=16,所以16的平方根是4.故选B.2.下列说法中不正确的是()A.-2是2的平方根B.2是2的平方根C.2的平方根是2D.2的算术平方根是2解析:因为(2)2=2,所以2的平方根是2,2的算术平方根是2.故选C.3.平方根等于它本身的数是.解析:根据平方根的定义即可求出平方根等于它本身的数.因为02=0,所以0的平方根是0,所以平方根等于它本身的数是0.故填0.第3课时1.平方根与开平方例12.平方根的特点例2一、教材作业【必做题】教材46页练习第1,3题.【选做题】教材47页习题6.1第11题.二、课后作业【基础巩固】1.9的平方根与16的平方根的和的最小值是()A.4B.-7C.4D.22.下列说法正确的是()A.-2是-4的平方根B.2是(-2)2的平方根C.(-2)2的平方根是2D.8的平方根是43.81的平方根是.4.如果某数的一个平方根是-6,那么这个数为.5.求下列各数的平方根.(1)0.49;(2)-232;(3)144169.【能力提升】6.下列说法:2是4的一个平方根;16的平方根是4;-36的平方根是6;-8是64的一个平方根.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.47.12的负的平方根介于()A.-5与-4之间B.-4与-3之间C.-3与-2之间D.-2与-1之间8.a是有理数,在a2+2,3|a|+5,|a|-4,5a4+2a2中一定有平方根的式子的个数是.9.如果正数m的两个平方根为x+1和x-3,则m的值是.10.求满足下列各式的x的值.(1)x2-81=0;(2)94x2=1;(3)(x+1)2=25.【拓展探究】11.“平方根节”是数学爱好者的节日,这一天的月份和日期的数字正好是当年年份最后两位数字的平方根,例如2009年的3月3日,2016年的4月4日.请你写出本世纪内你喜欢的一个“平方根节”.(题中所举例子除外)12.已知2a-1的平方根是3,3a+b-1的算术平方根是4,求a+2b的平方根.【答案与解析】1.B(解析:两个数同时取负平方根.)2.B(解析:负数没有平方根,A选项错误;(-2)2=4,4的平方根是2,B正确,C错误;8的平方根是8,D错误.故本题应选B.)3.3(解析:先求出81=9,然后求出9的平方根.因为81=92=9,又因为(3)2=9,所以9的平方根是3,故答案为3.)4.36(解析:本题考查了平方根的定义.注意一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.因为某数的一个平方根是-6,所以这个数为36.故填36.)5.解:(1)因为(0.7)2=0.49,所以0.49的平方根是0.7.(2)因为-232=49,232=49,所以-232的平方根是23.(3)因为12132=144169,所以144169的平方根是1213.6.B(解析:根据平方根的定义,结合各项进行判断即可.,2是4的一个平方根说法正确;,16的平方根是4,原说法错误;,-36没有平方根,原说法错误;,-8是64的一个平方根,说法正确.综上可得说法正确,共2个.故选B.)7.B(解析:12的负的平方根即-12,它介于-16与-9之间,再看A,B,C,D四个选项中只有选项B符合要求.)8.3(解析:负数没有平方根,题中给出的式子a2+2,3|a|+5一定是正数,而5a4+2a2一定是非负数,它们都有平方根,故个数是3.)9.4(解析:根据平方根的定义知道一个正数的两个平方根互为相反数,由此即可得到关于x的方程,解方程即可解决问题.因为正数m的两个平方根为x+1和x-3,则x+1+x-3=0,所以x=1,所以(x+1)2=m=4.)10.解:(1)由x2-81=0,得x2=81,所以x=9.(2)由94x2=1,得x2=49,所以x=49,所以x=23.(3)由(x+1)2=25得x+1=5或x+1=-5,所以x=4或x=-6.11.答案不唯一,如2001年1月1日,2025年5月5日(解析:抓住年份最后两位数字是个完全平方数即可.)12.解:因为2a-1的平方根是3,3a+b-1的算术平方根是4,所以2a-1=9,3a+b-1=16,解得a=5,b=2,所以a+2b=5+22=9.所以a+2b的平方根是3.在本课时的教学过程中,首先注重了从区别的角度帮助学生掌握概念,这主要体现在对比算术平方根和平方根的处理上.其次从原因上引导学生注重理解.因为相反数的平方结果是一样的,所以一个正数的平方根有两个,0的算术平方根和平方根都是0,没有一个数的平方是负数,所以负数没有平方根.在两个例题的处理上,没有放手让学生通过合作去完成.在用数学符号表示平方根的时候,没有强调学生要注意限定的条件.设置的部分习题差异性较小.课时教学的重点应该突出在平方根和算术平方根的区别上,设置有针对性的练习帮助学生掌握此知识.同时注意强调a有意义的条件.练习(教材第46页)1.解:(1)正确.(2)错误.1的平方根是1.(3)错误.-1没有平方根.(4)错误.0.1是0.01的一个平方根.2.解:如下表.x8-835-354-40.6-0.6x264925160.363.提示:(1)3(2)-0.7(3)894.解:边长为A.习题6.1(教材第47页)1.提示:(1)9(2)58(3)0.2(4)10.2.提示:(1)有意义.(2)没有意义.(3)有意义. (4)有意义.原因略.3.提示:(1)7(2)25(3)1103(4)0.04.4.提示:(1)正确(2)正确(3)错误(4)正确5.提示:(1)29.44(2)0.68(3)-0.57(4)49.016.提示:6和7.7.提示:(1)16.4(2)16.9(3)16.4与16.5之间.理由略.8.提示:(1)x=5(2)x=9(3)x=65.9.解:由题意知120=4.9t2,解得t5.10.解:一个正方形的面积扩大为原来的4倍,边长变为原来的2倍;面积扩大为原来的9倍,边长变为原来的3倍;面积扩大为原来的n倍,边长变为原来的n倍.11.解:(1)22=2,(-3)2=3,52=5,(-6)2=6,72=7,02=0,对于任意数a,a2=|a|.(2)(4)2=4,(9)2=9,(25)2=25,(36)2=36,(49)2=49,(0)2=0,对于任意非