高三数学复习课件六函数及其基本性质

第6讲函数及其基本性质1.高中阶段研究的基本初等函数主要有一次函数（正比例函数）、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数以及三角函数共七类.各类函数的五大性质：定义域；值域（最值、极值、边界）；周期性；奇偶性（对称性）；单调性，是高考的重点与热点，是试卷命题的中心，也是体现考试说明中抽象概括能力、推理论证能力及运算求解能力的良好载体，试题多不会趋向简单.,2.备考过程中既要从宏观上掌握研究学习函数的一般方法和规律，按照“定义定义域、值域图象性质”的思路程序研究每一类函数,又要从微观上理解和把握各类函数的不同性质、运算规律.3.函数及其基本性质是函数内容的主体部分，是高考考查的重点，其中定义域、单调性、奇偶性、周期性等几乎是每年必考，常常是将这些知识点与集合、不等式、方程、函数图象等知识交汇融合，以填空题的形式进行考查.对于函数定义域，还常常隐性地进行考查，因为研究函数的性质以及其他问题时，必须首先研究函数的定义域.函数的单调性、奇偶性、周期性经常融合为一体，在研究参数的范围问题、求值问题中进行考查.,4.以函数知识为依托，渗透基本数学思想方法.函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.纵观近几年江苏省高考试卷，从老版本教材到新课标教材，选择填空题，解答题均有涉及，以基本函数为背景的应用题和综合题是每一年高考“能力立意”的首选素材.备考过程中还要仔细体会数形结合这一数学思想方法的应用.函数是考查数形结合思想的良好载体，除应熟悉常见函数图象外，还应加强函数与方程、图象与曲线的区别与统一性认识，加强对图象与图象变换的理解与应用.,5.新课标考试说明明确要求“注重数学的应用意识和创新意识的考查”.“函数”一节为这一要求提供了良好的载体.函数知识与社会现实，经济建设，科技发展密切相关，以社会热点为背景，考查函数应用题，有利于培养学生应用数学的意识，有助于提高学生应用数学的能力和创新实践能力.纵观08、09年高考试卷中，山东、广东、江苏等新课标实施地区均在这方面有不同程度的体现.,【例1】（2008山东）已知f(3x)=4xlog23+233,则f(2)+f(4)+f(8)+f(28)的值等于.分析首先由题设求出f(x）表达式，进而研究待求和式的规律.解析f(3x)=4xlog23+233=4log23x+233,f(x)=4log2x+233,f(2)+f(4)+f(28)=4(1+2+8)+2338=2008.,2008,探究拓展当题设中，f(x)解析式未明确，而由条件可求时，应首先依相关知识确定f(x)的解析式，这是各个加数的“通项公式”，而规律往往蕴含于其中，备考中要注意体会与掌握.变式训练1已知函数f(x)0,对任意x,y有f(x+y)2f(x)f(y)和f(x+y)=f2(x)+f2(y),则.解析2f(x)f(y)f(x+y)=f2(x)+f2(y)f(x)-f(y)20f(x)=f(y)要求的值为1004.,1004,【例2】若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a、bR)是偶函数，且它的值域为（-，4，则该函数的解析式f（x）=.分析f(x)定义域为R,又是偶函数,则f(-x)=f(x)，结合另一条件，可求出待定系数a、b.解析f（-x）=f（x）且f（x）=bx2+（2a+ab）x+2a2，f(-x)=b(-x)2+(2a+ab)(-x)+2a2=bx2-（2a+ab）x+2a2，-（2a+ab）=2a+ab，即2a+ab=0，a=0或b=-2.当a=0时，f(x)=bx2,f(x)值域为（-，4，,而y=bx2值域不可能为（-，4，a0.当b=-2时,f(x)=-2x2+2a2,值域为（-，2a2.2a2=4,a2=2.f(x)=-2x2+4.答案探究拓展本题实质以偶函数定义为条件构造了一个“恒成立问题”,即f(x)为偶函数f(x)=f(-x)恒成立,即xR,（2a+ab)x=0恒成立，这又迫使x的系数2a+ab为零，以满足x取值的“任意”性.类似问题还可用“单调性”、“奇函数”来构造.,xR,-2x2+4,变式训练2（2008北京）已知函数+ax2+3bx+c(b0),且g(x)=f(x)-2是奇函数，求a,c的值.解因为函数g(x)=f(x)-2为奇函数,所以,对任意的xR,g(-x)=-g(x),即f(-x)-2=-f(x)+2.又f(x)=x3+ax2+3bx+c,所以-x3+ax2-3bx+c-2=-x3-ax2-3bx-c+2.解得a=0,c=2.,f(x)=x3,【例3】设函数f(x)在(-,+)上满足f(2-f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间0，7上，只有f(1)=f(3)=0.（1）试判断函数y=f(x)的奇偶性；（2）试求方程f(x)=0在闭区间-2010,2010上的根的个数，并说明你的结论.分析由条件可得f(x)是周期函数，依规律探寻-2010，2010上方程根的个数，注意考查清楚目标区间包含多少周期.解（1）由f(2-x)=f(2+x),得f(-1)=f(5).而f(5)0f(1)f(-1),即f(x)不是偶函数.,x)=,又f(x)在0，7上只有f(1)=f(3)=0,f(0)0.从而知函数y=f(x)不是奇函数.故函数y=f(x）是非奇非偶函数.从而知函数y=f(x)的周期为T=10.又f（3）=f（1）=0，f（11）=f（13）=f（-7）=f（-9）=0.故f(x)在0，10和-10，0上均有2个根，从而可知函数y=f(x)在0，2000上有400个根，,在2000，2010上有2个根，在-2000，0上有400个根,在-2010，-2000上有2个根，所以方程f(x)=0在-2010，2010上有804个根.探究拓展本题考查抽象函数的奇偶性、周期性等函数性质，利用周期性求方程根的个数.对抽象函数问题的考查在近几年高考中有逐年增加的趋势.解题的关键是：合理赋值，化抽象为具体，由此探究函数的性质.,变式训练3设f(x）定义如下面数表，xn满足x0=5,且对任意自然数n均有xn+1=f(xn)，则x2010的值为.解析x0=5,x1=f(x0)=f(5)=2,x2=f(x1)=f(2)=1,x3=f(x2)=f(1)=4,x4=f(x3)=f(4)=5,x5=f(x4)=f(5)=2=x1,可见数列xn周期为4，x2010=x2=1.,1,【例4】定义在（0，+）上的函数f(x)，对于任意的m,n(0,+)，都有f(mn)=f(m)+f(n)成立，且当x1时，f(x)x20,f(mn)=f(m)+f(n),f(x1)-f(x2)=f（x）在（0,+）上是减函数.（3）解,探究拓展（1）抽象函数是近几年来高考考查的一个重点，在近几年的高考试题中经常出现，因此也是一个热点.(2)抽象函数的背景函数常见形式如下：,f(x+y)=f(x)f(y)，其背景函数为f(x)=ax(a0,且a1);f(xy)=f(x)+f(y)，其背景函数为f(x)=logax(a0,且a1);f(x+y)=f(x)+f(y)，其背景函数为f(x)=kx;变式训练4定义在R上的函数f(x)满足=f(x)+f(y)+2xy(x,yR),f(1)=2,则f(-3)=.,f(x+y),解析令x=n,y=1,则f(n+1)=f(n)+f(1)+2nf(n+1)-f(n)=2n+2f(n)=f(n)-f(n-1)+f(n-1)-f(n-2)+f(n-2)-f(n-3)+f(2)-f(1)+f(1)=2(n-1)+2+2(n-2)+2+21+2+2=答案6,【例5】已知a0且f(logax)=（1）求f(x)；（2）判断f(x)的奇偶性和单调性；（3）若函数f(x)定义在（-1，1）时，有f(1-m)+f(1-m2)0,f(x1)0且a1时，f(x)是增函数.（3）当x(-1,1)时，有,由f(1-m)+f(1-m2)0.解得m1或m-2.综上所述，可知1m,所以集合M=m|1m.探究的展(1)求函数解析式是一项基本功，多不会单独考察，而是融于大题之中，是处理后面各小题的基础，务必掌握好.,(2)单调性与奇偶性的证明与判断，要求理由充分详实，多依据定义.(3)抽象不等式处理，通常不要具体化，多依据单调性解决，但要注意限制在函数的定义域内.变式训练5已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数且a0)满足条件f(x-3)=f(5-x),且方程f(x)=x有等根.（1）求f(x)的解析式；（2）是否存在实数m,n(m1）或缩短（00,且1)的图象可由函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短（1）或伸长（01）到原来的倍，纵坐标不变而得到.,（3）对称变换函数y=-f(x)的图象可通过作函数y=f(x）的图象关于x轴对称的图形而得到；函数y=f(-x)的图象可通过作函数y=f(x)的图象关于y轴对称的图形而得到；函数y=-f(-x)的图象可通过作函数y=f(x)的图象关于原点对称的图形而得到；函数y=|f(x)|的图象可通过作函数y=f(x)的图象，然后把其在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴的上方，其余部分保持不变而得到.,一、填空题1.若函数f(2x)的定义域是-1，1，则f(x-1）的定义域是.解析因x-1，1，则知f(x）定义域为故f(x-1)中,2.已知函数f(x)的定义域为R，值域为1，2，则函数f(x+2)的值域是.解析函数f(x)图象向左平移2个单位可得函数f(x+2)图象，可知图象只有左右平移则不会改变值域，故函数f(x+2)的值域仍是1，2.本题解答时易由“y1，2”而得“f(x+2)3，4”的错误，主要是对定义域与值域的概念理解不清而造成的.,1，2,3.设定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x+2)=13,若f(1)=2,则f(99)=.解析f(x)f(x+2)=13以4为周期，25-1)=f(-1)=,f(99)=f(4,4.设函数则f(10)的值为.解析学生在解题中不能挖掘出“x”与“”之间结构关系而无法解决.,1,5.（2009江苏押题）二次函数f(x)满足f(3-x),又f(x)是0，3上的增函数,且f(0)，那么实数a的取值范围是.解析f(3+x)=f(3-x),y=f(x)关于x=3对称，又f（x）是0，3上的增函数.f（x）是3，6上的减函数，又f（a）f（0），0a6.6.（2009徐州调研）设函数y=f(x）的定义域为R，则下列命题：,f(3+x)=,f(a),0a6,设y=f(x)是偶函数,则y=f(x+2)的图象关于y轴对称；设y=f(x+2)是偶函数，则y=f(x)的图象关于直线x=2对称；设f(x-2)=-f(2-x)，则y=f(x）的图象关于直线x=2对称；y=f(4-x)与y=f(x