简单多面体与球第5课时

欧拉,欧拉公式,著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法国度过他16岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史上最高产的作家在世发表论文700多篇，去世后还留下100多篇待发表其论著几乎涉及所有数学分支他首先使用f(x)表示函数，首先用表示连加，首先用i表示虚数单位在立体几何中多面体研究中，首先发现并证明欧拉公式,多面体,多面体的定义,若干个平面多边形围成的几何体,多面体的有关概念,多面体的面,棱,顶点,凸多面体,把多面体的任何一个面延伸为平面,如果所有其他各面都在这个平面的同侧,这样的多面体叫做凸多面体,多面体的分类,四多面体,五多面体,六多面体等,多面体,正多面体,每个面都是有相同边数的正多边形,且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体,叫正多面体.,正四面体,正六面体,正八面体,正十二面体,正二十面体,每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体，叫做正多面体。,正四面体及其展开图,正八面体及其展开图,正二十面体及其展开图,正十二面体及其展开图,正六面体及其展开图,正多面体：,多面体,简单多面体,表面经过连续变形能变成一个球面的多面体,讨论,问题1：（1）数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E并填表,规律：,V+F-E=2,4,6,4,8,6,12,6,8,12,9,8,15,（欧拉公式）,5,8,5,12,12,24,7,8,12,问题1：（2）数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E并填表,V+F-E=2,（欧拉公式）,简单多面体,讨论,以上发现让我们体会了数学家欧拉的发现过程,问题1.,但这并没有证明,不过让我们先记住这个结论吧,并用它来解决一些问题.,先用三棱柱、四棱锥来验证欧拉公式是否正确？,都满足欧拉公式.,问题2.,一个简单多面体的各个面都是三角形,证明它的顶点数V和面数F有F=2V-4的关系.,分析:每个面都是三角形,有三条边,则F个面共有3F条边,又每条边是两相邻面的公共边,即每两条边合为一条棱,所以E=,代入即得.,例1、简单多面体的每个面都是五边形，且每个顶点的一端都有三条棱，求这个多面体的面数和棱数及顶点数.,分析:关健是寻找V,F.E关系.事实上:设面数为F,顶点数为V,棱数为E,因为每个面都是五边形,所以共有5F条边,而每两条边合成一条棱,共有,条棱,所以有E=,另一方面:每一顶点处有三条边,共有3V条边,每两条边合成一条棱,所以E=,代入可求V=20,F=12,E=30.,定义:正多面体的每个面是全等的多边形,每个顶点出发有相同数目的棱.,设正多面体有F个面,每个面都是n边形,每一个顶点出发有m条棱.其中m3,n3。那么:,得到:,代入欧拉公式得到:,因此:m和n不可能都大于3,必定有一个等于3!为什么?,推导正多面体的种类.,小结:,简单多面体V,F,E之间关系为:,E=V+F-2,(2)E=各面多边形边数之和的一半,(3)E=顶点数V与共顶点的棱数之积的一半,问题2：如何证明欧拉公式,讨论,图1,图2,计算多边形的内角和,(1)设图1中多面体的F个面分别是n1，n2，.，nF边形，各面的内角总和是多少？,(3)设图2中最大的多边形（即多边形ABCDE）是m边形，则它的内角和是多少？,(2)n1+n2+.+nF和多面体的棱数E有什么关系？说出理由.上述内角和是否等于（E-F)?,它的内部包含的其他多边形的顶点数（不同多边形的公共顶点只计一次）是多少？,所有其他多边形的内角和是多少？,n1+n2+.+nF=2E,V-m,图1,图2,(4)图2中全体多边形的内角和是多少？,V+F-E=2,(3)设图2中最大的多边形（即多边形ABCDE）是m边形，则所有其他多边形的内角和是多少？,总结多面体欧拉公式的发现过程,（1）从具体的实物提出问题，多面体的顶点数V、面数F、棱数E之间有什么关系？,（2）从简单的几个多面体去猜测他们的关系。,（3）尝试证明猜测的结论。,这体现了发现数学定理的一种重要的思路，问题来源于我们的现实生活，结论可以先猜再证。,链接,问题3:欧拉公式的应用,例21996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家C60是有60个C原子组成的分子，它结构为简单多面体形状这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分别为五边形或六边形两种计算C60分子中形状为五边形和六边形的面各有多少？,解：设C60分子中形状为五边形和六边形的面各有x个和y个,由题意有顶点数V=60，面数=x+y，棱数E=（360）,根据欧拉公式，可得60+（x+y)（360）=2,另一方面，棱数也可由多边形的边数来表示，即（5x+6y)=（360）,由以上两个方程可解出x=12,y=20,答：C60分子中形状为五边形和六边形的面各有12个和20个,例3、有没有棱数是7的简单多面体？,解：假设有一个简单多面体的棱数E=7,根据欧拉公式得V+F=E+2=9,因为多面体的顶点数V4，面数F4，所以只有两种情形：,V=4，F=5或V=5，F=4,但是，有4个顶点的多面体只有4个面，而四面体也只有四个顶点所以假设不成立，没有棱数是7的简单多面体,问题3:欧拉公式的应用,1、（1）一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V和面数F有F=2V4的关系,练习,（2）若简单多面体的各面都是四边形，则它的顶点数V和面数F又有怎样的关系？,2、简单多面体的每个面都是五边形，且每个顶点的一端都有三条棱，求这个多面体的面数和棱数,例4、足球可以看成由12个五边形和20个六边形相间围成的多面体，问这个多面体有多少条棱？多少个顶点？,1.求证:(1)如果一个简单多面体的面都是三角形,那么:F=2V-4.(2)如果一个简单多面体的面都是四边形,那么:F=V-2.2.C20分子有与C60分子类似的球状结构,它有70个顶点,每个顶点处有3条棱,各面都是五边形或者六边形,试求C20分子中五边形和六边形的个数.3.如果一个简单多面体的所有面都是奇数边多边形,那么它