46.菱形（基础）知识讲解

让更多的孩子得到更好的教育菱形（基础）责编：康红梅 【学习目标】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性质定理及判定定理【要点梳理】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点诠释：菱形的定义的两个要素：是平行四边形.有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.【典型例题】类型一、菱形的性质1、（2016广安）如图，四边形ABCD是菱形，CEAB交AB的延长线于点E，CFAD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE【思路点拨】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明RtCDFRtCBE，即可得出DF=BE【答案与解析】证明：连接AC，四边形ABCD是菱形，AC平分DAE，CD=BC，CEAB，CFAD，CE=FC，CFD=CEB=90在RtCDF与RtCBE中，RtCDFRtCBE（HL），DF=BE【总结升华】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等同时考查了全等三角形的判定与性质举一反三：【变式1】（2015温州模拟）如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且AED=50，则CBO= 度【答案】50；解：在菱形ABCD中，ABCD，CDO=AED=50，CD=CB，BCO=DCO，在BCO和DCO中，BCODCO（SAS），CBO=CDO=50【高清课堂 特殊的平行四边形（菱形） 例1】【变式2】菱形ABCD中，AB15，若周长为8，则此菱形的高等于( ) A.B.4C.1D.2【答案】C；提示：由题意，A30，边长为2，菱形的高等于21.类型二、菱形的判定2、如图所示，在ABC中，CD是ACB的平分线，DEAC，DFBC，四边形DECF是菱形吗?试说明理由【思路点拨】由菱形的定义去判定图形，由DEAC，DFBC知四边形DECF是平行四边形，再由123得到邻边相等即可【答案与解析】解：四边形DECF是菱形，理由如下： DEAC，DFBC 四边形DECF是平行四边形 CD平分ACB， 12 DFBC， 23， 13 CFDF， 四边形DECF是菱形【总结升华】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再由一对邻边相等来判定它是菱形举一反三：【变式】如图所示，AD是ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E，交AC于F，则四边形AEDF是菱形吗?请说明理由【答案】 解：四边形AEDF是菱形，理由如下： EF垂直平分AD， AOF与DOF关于直线EF成轴对称 ODFOAF， 又 AD平分BAC，即OAFOAE， ODFOAE AEDF， 同理可得：DEAF 四边形AEDF是平行四边形， EOOF 又AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分 AEDF是菱形3、如图所示，在ABC中，BAC90，ADBC于点D，CE平分ACD，交AD于点G，交AB于点E，EFBC于点F 求证：四边形AEFG是菱形【思路点拨】由角平分线性质易知AEEF，欲证四边形AEFG是菱形，只要再证四边形AEFG是平行四边形或AGGFAE即可【答案与解析】 证明：方法一： CE平分ACB，BAC90，EFBC， AEEF，1390，4290 12， 34 EFBC，ADBC， EFAD 45 35 AEAG EFAG 四边形AEFG是平行四边形 又 AEAG， 四边形AEFG是菱形 方法二： CE平分ACB，BAC90，EFBC， AEEF，1390，4290 34 EFBC，ADBC， EFAD 45 35 AEAG 在AEG和FEG中，AEEF，34，EGEG， AEGFEG AGFG AEEFFGAG 四边形AEFG是菱形【总结升华】判定一个四边形是菱形，关键是把已知条件转化成判定方法所需要的条件举一反三：【变式】如图所示，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AGDB交CB的延长线于点G (1)求证：DEBF； (2)若G90，求证四边形DEBF是菱形 【答案】证明：(1)ABCD中，ABCD，ABCD E、F分别为AB、CD的中点 DFDC，BEAB DFBEDFBE 四边形DEBF为平行四边形 DEBF (2)证明： AGBD GDBC90 DBC为直角三角形 又 F为边CD的中点 BFDCDF 又 四边形DEBF为平行四边形 四边形DEBF是菱形类型三、菱形的应用4、如图所示，是一种长0.3，宽0.2的矩形瓷砖，E、F、G、H分别为矩形四边BC、CD、DA、AB的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长4.2 ，宽2.8的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖试问： (1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块?(2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形?【答案与解析】解：墙壁长4.2，宽2.8，矩形瓷砖长0.3，宽0.2，4.20.314，2.80.214，则可知矩形瓷砖横排14块，竖排14块可毫无空隙地贴满墙面 (1)则至少需要这种瓷砖1414196(块)(2)每块瓷砖中间有一个白色菱形，则共有196个白色的菱形，它的面积等于瓷砖面积的一半另外在同一个顶点处的瓷砖能够拼成一个淡黄色花纹的菱形，它的面积也等于瓷砖面积的一半，有花纹的菱形横排有13个，竖排也有13个，则一共有淡黄色花纹菱形1313169个，面积相等的菱形一共有196169365(个)【