2018合肥二模理数试卷和答案

高三数学试题（理科）答案 第 1 页（共 4 页） 合肥市 2018 年高三第二次教学质量检测 数学试题（理科）参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分. 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 答案 B D C A B A D C C B C B 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. (13) 1 2 (14)10 (15)4 (16)2 或 7 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 12 分)(本小题满分 12 分) ()设数列? ? n a的公比为q. 由 546 43SSS?，得 6554 33SSSS?，即 65 3aa?，3q ?， 3 分 31 9 33 nn n a ? ?. 5 分 ()? 1 2121 3n nn bnan ? ?， 6 分 0121 1 33 35 3(21) 3n n Tn ? ? ? ? ?， 8 分 ? 121 31 33 323321 3 nn n Tnn ? ? ? ?， ? 121 212 32 32 321 32223 nnn n Tnn ? ? ? ? ?， ?1 31 n n Tn?. 12 分 (18)(本小题满分 12 分)(本小题满分 12 分) ()该市此次检测理科数学平均成绩约为: 0 65 0.0575 0.08 85 0.1295 0.15 105 0.24 115 0.18 125 0.1 135 0.05 145 0.03? 103.2103?. 5 分 ()记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为 1 x， 根据题意得，? 101 1 103 110.46 19.3 xx P xx ? ? ? ? ? ? ? ? ，即 1 103 0.54 19.3 x ? ? ? ? . 由(0.7054)0.54?得， 1 1 103 0.7054116.6117 19.3 x x ? ?， 故本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为 117 分. 8 分 ? 107 103 107110.20721 0.58320.4168 19.3 P x ? ? ? ? ? ? ? ， 故理科数学成绩为 107 分，大约排在10000 0.41684168?名. 12 分 (19)(本小题满分 12 分)(本小题满分 12 分) ()由条件可知，Rt ADC?Rt BAO?，DACABO? ?， 90DACAOBABOAOB? ? ? ，ACBO?. 高三数学试题（理科）答案 第 2 页（共 4 页） . PAPD?，且O为AD中点，POAD?. PADABCD PADABCDAD POAD POPAD ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 平面平面 平面平面 平面 ，POABCD? 平面. 又ACABCD? 平面，ACPO?. 又BOPOO?，ACPOB? 平面. ACPAC? 平面， 平面POB ?平面PAC. 5 分 ()以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 则P(0，0，2)，A(1，0，0)，D(-1，0，0)，C(-1，1，0)， ?1 0 2PA ? ? ? ， ，?2 1 0AC ? ? ? ，?1 0 2PD ? ? ? ? ， ， ?0 1 0CD ? ? ， ，. 设? 1 xyz?， ，n为平面PAC的一个法向量，由 1 1 0 0 PA AC ? ? ? ? ? ? ? ? ? n n 得 20 20 xz xy ? ? ? ? ，解得 1 2 2 zx yx ? ? ? ? ? ? ? . 令2x ?，则? 1 2 4 1?， ，n. 同理可得，平面PDC的一个法向量? 2 2 0 1? ?， ，n， 二面角APCD?的平面角?的余弦值 12 12 3105 cos 35105 ? ? ? n n n n . 12 分 (20)(本小题满分 12 分)(本小题满分 12 分) ()如图，设以线段AB为直径的圆的圆心为C，取 A? (-1，0). 依题意，圆C内切于圆O.设切点为D，则OCD， ，三点共线. O为 AA? 的中点，C为AB中点，2A BOC?. 2222242BABAOCACOCCDODAA?. 依椭圆的定义可知，动点 B 的轨迹为椭圆，其中： 24 22BABAaAAc?， 21ac?， 222 3bac?， 动点 B 的轨迹方程为 22 1 43 xy ?. 5 分 ()当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为2x ?，此时直线l与椭圆 22 1 43 xy ?相切，与题 意不符. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为?12yk x? ?. 由 ? 22 12 1 43 yk x xy ? ? ? ? ? ? ? ? 得? ? 2222 43168161680kxkk xkk?. 高三数学试题（理科）答案 第 3 页（共 4 页） 设? 1122 M xyN xy，则 2 12 2 2 12 2 168 43 16168 43 1 0 2 kk xx k kk x x k k ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， ? 12 12 121212 212111 2 222222 PMPN k xk xyy kkk xxxxxx ? ? ? ? ? ? 1212 121212 44 22 2224 xxxx kk xxx xxx ? ? ? 2 2 22 22 168 4 43 22323 16168168 24 4343 kk k kkk kkkk kk ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 12 分 (21) (本小题满分 12 分) (本小题满分 12 分) ()? ? ? 22 xx fxxeaxx ea?. 当0a ?时，? ?f x在? 0?，上单调递减， 在?0 ?，上单调递增， ? ?f x有 1 个极值点； 当 1 0 2 a?时，? ?f x在? ln2a?，上单调递增，在?ln2 0a，上单调递减，在?0 ?，上 单调递增，? ?f x有 2 个极值点； 当 1 2 a ?时，? ?f x在R上单调递增，此时? ?f x没有极值点； 当 1 2 a ?时，? ?f x在? 0?，上单调递增，在?0 ln2a，上单调递减，在?ln2 a ?，上单 调递增，? ?f x有 2 个极值点； 综上所述，当0a ?时，? ?f x有 1 个极值点；当 1 0 2 aa?且时，? ?f x有 2 个极值点； 当 1 2 a ?时，? ?f x没有极值点. 6 分 ()由? ? 3x f xexx?得 32 0 x xexaxx?. 当0 x ?时， 2 10 x exax? ?，即 2 1 x ex a x ? ?对0 x? ?恒成立. 设? ? 2 1 x ex g x x ? ?，则? ? ? 2 11 x xex gx x ? ?. ( )1, ( )e1. 0, ( )0, ( )(0,) ( )(0)0, xx h xexh x xh xh x h xh ? ? ? ? ? 设则 在上单调递增， 1 x ex?即，? ?g x在?0 1，单调递减，在?1 ?，上单调递增， ? ? ?12g xge?，2ae?. 当0 x ?时，不等式恒成立，aR?； 高三数学试题（理科）答案 第 4 页（共 4 页） 当0 x ?时， 2 10 x exax? ?. 设? ? 2 1 x h xexax?，则? ?2 x h xexa?. 设? ?2 x xexa?，则? ?20 x xe?， ? ?h x?在?0?，上单调递减，? ? ?01h xha? ? ?. 若1a ?，则? ?0h x?，? ?h x在?0?，上单调递增，? ? ?00h xh?. 若1a ?，? ?010ha? ?， 0 0 x?,使得? 0 0 xx?，时，? ?0h x?， 即? ?h x在? 0 0 x ，上单调递减，? ? ?00h xh?，舍去. 1a ?. 综上可得，a 的取值范围是?（，e-2. 12 分 (22)(本小题满分 10 分)(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程选修 4-4：坐标系与参数方程 () 2 2 sincos0a?， 22 2sincos0a?，即 2 2xay?(0a ?). 5 分 ()将 1 2 3 1 2 xt yt ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 代入 2 2xay?，得 2 4 380tata?，得 2 12 1 2 ( 4 3 )4 80 4 3 8 aa tta t ta ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 2 0, . 3 aa?解得 PMMNPN，成等比数列， 2 MNPMPN?，即 2 121 2 ttt t?， ? 2 121 21 2 4ttt tt t?，即 2 (4 3 )400aa?，解得 5 6 a ?,满足 2 3 a ?. 5 6 a?. 10 分 (23)(本小题满分 10 分)(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲选修 4-5：不等式选讲 ()由题意得 90 39 m xmm ? ? ? ? ，解得 m-9. 可化为939mxmm? ?， 92 3 3 m x ? ? ?. 不等式? ?9f x ?的解集为?1 3?， 92 1 3 m? ? ? ?， 解得3m ? ?，满足 m-9. m=-3. 5 分 (II)依题意得，? ?321g xxmx?.