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第八节函数的连续性与间断点,一、函数的连续性二、函数的间断点三、小结思考题,一、函数的连续性,1.函数的增量,2.连续的定义,.,可见,函数,在点,(1),在点,即,(2)极限,(3),连续必须具备下列条件:,存在;,有定义,存在;,例1,证,由定义2知,3.单侧连续,定理,例2,解,右连续但不左连续,.,对自变量的增量,有函数的增量,左连续,右连续,当,时,有,函数,在点,连续有下列等价命题:,4.连续函数与连续区间,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,.,continue,例如,在,上连续.,(有理整函数),又如,有理分式函数,在其定义域内连续.,在闭区间,上的连续函数的集合记作,只要,都有,例3,证,.,补充.设,在x=0处连续，求常数a与b应满足的关系。,二、函数的间断点,1.跳跃间断点,例4,解,2.可去间断点,例5,解,注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.,如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,特点,3.第二类间断点,例6,解,例7,解,注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.,思考：,解,.,讨论,若有间断点判别其类型，并作出图形（P65，EX4）,解,.,三、小结,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,3.间断点的分类与判别;,2.区间上的连续函数;,第一类间断点:可去型,跳跃型.,第二类间断点:无穷型,振荡型.,间断点,(见下图),第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点
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