曲线、曲面及立体相交

,第6章曲线、曲面及立体相交,6.1曲线的形成与投影6.2常见曲面6.3立体的三面投影6.4平面与曲面立体相交6.5两曲面立体相交,1,一、曲线概述曲线可以看成是点的运动轨迹，也可以看作曲面与曲面或曲面与平面的交线。1、平面曲线：曲线上的所有点在同一平面内，如圆、双曲线、抛物线、摆线等；2、空间曲线：曲线上四个连续的点不在同一平面内，如螺旋线。3、曲线投影性质：曲线的投影一般仍为曲线，其切线和割线的同面投影一般情况下仍为曲线投影的切线和割线。,6.1曲线的形成与投影,2,二、圆的投影圆的投影一般为椭圆。1、椭圆的常用概念和术语椭圆的直径：过椭圆中心且两端点在椭圆周线上的直线段，如AB、CD；共轭直径：图中点O为椭圆中心，AB是椭圆直径，过AB的平行弦MN的中点作直径CD，则AB和CD是该椭圆的一对共轭直径，椭圆共轭直径有无穷多对；椭圆的长、短轴：椭圆共轭直径中互相垂直的一对共轭直径称为椭圆的长轴和短轴。2、圆的投影特性1）圆上任何一对互相垂直的直径的投影必为投影椭圆的一对共轭直径；2）圆上平行于切线的弦必被过切点的直径所平分，该性质在投影中保持不变；3）圆的外切正方形的投影成为投影圆的外切平行四边形。,3,3、圆的投影作图1)特殊位置圆的投影作图圆与投影面平行，在该投影面上的投影为圆，在其余两个投影面上的投影集聚为直线；圆与投影面垂直时，在该投影面上积聚为直线，在另两个投影面上的投影为椭圆，长轴为圆直径的实长，短轴为圆直径实长下圆所在平面和投影面夹角的余弦的积。,2)一般位置圆的投影作图已知平面S及面上一点O，求平面S上以点O为圆心、直径为20mm的圆的投影。,4,三、圆柱螺旋线1、螺旋线形成动点M沿直线AB等速移动，同时直线AB又绕与它平行的轴线OO等速旋转，点M的轨迹称为圆柱螺旋线。2、螺旋线投影作图,5,6.2常见曲面,曲面形成和分类1、形成曲面是直线或曲线绕空间运动所形成的轨迹2、分类：运动方式：回转面、非回转面；母线形状：直线曲面、曲线曲面。,6,6.3立体的三面投影,6.3.1立体的投影6.3.2三面投影与三视图6.3.3三视图之间的对应关系6.3.4平面立体6.3.5回转体,7,常见的基本立体,平面立体,曲面立体,圆锥,圆环,8,6.3.1立体的投影,立体的投影，实质上是构成该立体的所有表面的投影总和。,9,用正投影法绘制的物体的投影图称为视图。,6.3.2三面投影与三视图,(1)视图的概念,主视图立体的正面投影,俯视图立体的水平投影,左视图立体的侧面投影,(2）三视图的投影规律,三等关系,主左视图高平齐,俯左视图宽相等,-无轴投影图,10,6.3.3三视图之间的方位对应关系,主视图反映：上、下、左、右俯视图反映：前、后、左、右左视图反映：上、下、前、后,上,下,左,右,后,前,上,下,前,后,左,右,上,下,左,右,前,后,11,6.3.4平面立体,1、棱柱2、棱锥,12,平面立体侧表面的交线称为棱线若平面立体所有棱线互相平行，称为棱柱若平面立体所有棱线交于一点，称为棱锥,平面立体：是由若干个平面图形所围成的几何体，如棱柱体、棱锥体等。,棱柱体,是平面立体各表面投影的集合-由直线段组成的封闭图形。,平面立体的投影,13,14,由两个底面和六个侧棱面组成。侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线，侧棱线相互平行。,1）六棱柱,1、棱柱,（1）六棱柱的投影视图,-无轴投影图,15,16,(2)棱柱表面上取点,a,b,b,点的可见性判别：若点所在的平面的投影可见，点的投影也可见；若平面的投影积聚成直线，点的投影也可见。,c,c,（1）三棱柱的视图,由两个底面和三个侧棱面组成。侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线，侧棱线相互平行。,2）三棱柱,17,三棱柱的两底面为水平面，在俯视图中反映实形。其余三个侧棱面都是铅垂面，水平投影积聚，与三角形的边重合。,18,点的可见性判别：若点所在的平面的投影可见，点的投影也可见；若平面的投影积聚成直线，点的投影也可见。,由于三棱柱的表面都是平面，所以在三棱柱的表面上取点与在平面上取点的方法相同。,用相对坐标，量取坐标差的方法在表面取点。,（2）三棱柱表面的点,19,2、棱锥,1）棱锥的组成,由一个底面和若干侧棱面组成。侧棱线交于有限远的一点锥顶。,20,s,B,a,s,a,c,s,b,C,A,S,棱锥处于图示位置时,其底面ABC是水平面，在俯视图上反映实形。侧棱面SBC为侧垂面，另两个侧棱面为一般位置平面。,2）棱锥的投影三视图,21,s,(c),s,a,a,c,b,b,c,s,b,a,3）棱锥表面上取点,3,(3),B,C,A,S,n,n,22,截平面,断面,断面的边界线：截平面与立体表面的交线截交线。,6.3.4平面截切平面立体,23,一、平面立体的截交线,平面立体的截交线是截平面与平面立体表面的交线。,24,二、平面立体截交线的性质,25,三、平面立体截交线的求法,26,1.棱柱上截交线的求法,27,作图方法:,1求棱线与截平面的共有点,2连线,3根据可见性处理轮廓线,3,4,5,6,7,求截交线的实质是求两平面的交线,例题1求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影,28,2棱锥上截交线的求法,29,例题2求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平投影和侧面投影。,30,例题2求如图所示三棱锥被正垂面所截切，求作截交线的水平投影和侧面投影。,(1)求Pv与sa、sb、sc的交点1、2、3为截平面与各棱线的交点、的正面投影。,1,2,3,(2)根据线上取点的方法，求出1、2、3和1”、2”、3”。,1,1”,2”,2,3,(3)连接各点的同面投影即等截交线的三个投影。,(4)补全棱线的投影。,3”,具体步骤如下：,31,1,2,3(4),1”,3”,4”,1,2,4,3,例题3求三棱锥被截切后的水平投影和侧面投影,32,例题4求立体切割后的投影,1,6,33,1、圆柱2、圆锥3、圆球4、圆环,6.3.6回转体,34,工程中常见的曲面立体,是回转体。,直母线生成的回转曲面称为直线回转面如:圆柱面、圆锥面等。,回转曲面是由母线(直线或曲线)绕定轴线作回转运动生成的。,曲母线生成的回转曲面称为曲线回转面如:圆球面、圆环面等。,回转体的表面主要由回转曲面构成。,表面由曲面或曲面和平面构成的立体称为曲面立体。,35,回转面的术语,O,O,顶圆,素线,赤道圆,喉圆,纬圆,底圆,母线,轴线,回转体（面）的形成,36,圆柱面上与轴线平行的任一直线称为圆柱面的素线。,1）圆柱体的组成,由圆柱面和上下两底圆组成。,圆柱面是由直母线AA1绕与之平行的轴线旋转而成。,1、圆柱,37,2）圆柱的投影,圆柱面的俯视图积聚成一个圆，在另两个视图上分别以两个方向的外形轮廓线的投影表示。其上下底圆为水平面,在俯视图上反映实形，在另两个视图上分别积聚成为一直线。,38,（1）分析圆柱轮廓线的投影一,39,（1）分析圆柱轮廓线的投影二,40,（2）圆柱投影对V面可见性的判别,前半面可见,后半面不可见,曲面的可见性的判断,轮廓线的投影是判断曲面可见性的依据,41,（3）圆柱投影对W面可见性的判别,左半面可见,右半面不可见,曲面的可见性的判断,42,3）圆柱表面上取点,(),利用积聚性先求出水平投影,43,a,c,4）圆柱面上的曲线,曲线投影的求法是先求出线段上一系列点的投影；然后，再将这些点的投影依次光滑地连接起来。,利用积聚性先求出侧面投影,注意求出特殊位置的点（A、C）-特殊点,44,圆锥面是由直母线SA绕与它相交的轴线OO1旋转而成。,1）圆锥体的组成,由圆锥面和底圆组成。,S称为锥顶，圆锥面上过锥顶的任一直线称为圆锥面的素线。,2、圆锥,45,2）圆锥的投影,如图示位置，俯视图为一圆。另两个视图为等腰三角形，三角形的底边为圆锥底圆的投影，两腰分别为圆锥面不同方向的两条轮廓素线的投影。,46,(1)圆锥的投影特点,轮廓线的投影,底圆的投影,47,(2)圆锥可见性的判别V面,前半面可见,后半面不可见,曲面的可见性的判断。,注意：轮廓线的投影与曲面的可见性的判断,48,(3)圆锥可见性的判别W面,左半面可见,右半面不可见,曲面的可见性的判断。,49,3）圆锥表面上取点,A,a,a,如何取圆的半径？,50,圆锥表面上特殊位置的取点,例：,51,4）圆锥面上的曲线,求曲线上一系列点的投影；注意：特殊点然后，再将这些点的投影依次光滑地连接起来。,52,1）圆球的形成,球是由球面围成的。球面可看作圆绕其直径为轴线旋转而成。,3、圆球,53,2）圆球的投影,54,（1）圆球的投影特点,圆球的轮廓线的投影,55,（2）圆球可见性的判别,56,3）圆球表面上取点,采用辅助圆法求圆球面上的点,圆的半径？,57,a,圆球面上特殊点的求法,A为一般点；,例：,B、C为特殊点。,58,4）圆球面上的曲线,采用辅助圆法求圆球面上的线,注意：特殊点,59,注意：特殊点,采用辅助圆法求圆球面上的线,4）圆球面上的曲线,60,一圆母线绕其所在平面内的一条轴线作回转而成。,4、圆环,点击图片播放动画,61,1）圆环的画法,62,2）圆环的投影特点,主视图是素线极限位置和内、外环分圆的投影；俯视图是上、下环面的投影；左视图与主视图相同。,63,3）圆环投影可见性的判别,64,圆环面上的辅助圆,65,4）圆环表面上取点,采用辅助圆法求圆环面上的点或线,66,6.4平面与曲面立体相交,67,一、截交线的性质：,截交线的形状取决于曲面立体表面的形状及截平面与曲面立体轴线的相对位置。,截交线都是封闭的平面图形。,截交线是截平面与曲面立体表面的共有线。,68,二、求平面与曲面立体截交线的一般步骤,空间及投影分析,分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线的相对位置，以便确定截交线的形状。,分析截平面与投影面的相对位置，明确截交线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出截交线的已知投影，预见未知投影。,画出截交线的投影,当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：,将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性。,先找特殊点，补充中间点。,69,三、具体的作图步骤,70,四、截交线上的特殊点,71,矩形,椭圆,圆,6.4.1平面与圆柱相交,72,截平面垂直于圆柱轴线，截交线为垂直于轴线的圆,截平面平行于圆柱轴线，截交线为平行于轴线的两条直线,截平面倾斜于圆柱轴线，截交线为椭圆,6.4.1平面与圆柱相交,73,例1求圆柱被截切后的侧面投影,分析：截平面与圆柱轴线斜交，截交线为椭圆。,作图方法:1.求特殊点,1,1”,1,2.适当求一般点,34,3.连线,4.处理轮廓线,作图方法:表面取点法,74,注意:当截平面与圆柱轴线交线交角为45时，截交线投影为圆。,75,例2求圆柱截交线,解题步骤1分析截平面为正垂面，截交线的侧面投影为圆，水平投影为椭圆；,2求出截交线上的特殊点、；,3求出若干个一般点、；,4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。,76,例3求圆柱截交线,解题步骤1分析侧面投影为圆的一部分，截交线的水平投影为椭圆的一部分；2求出截交线上的特殊点、；3求出若干个一般点、；4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。,77,例4求切口圆柱的水平投影和侧面投影,解题步骤1分析截交线的水平投影为椭圆，侧面投影为圆；2求出截交线上的特殊点、；3求出若干个一般点、；4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。,78,例5求截切圆柱的水平投影和侧面投影,解题步骤1分析截交线的水平投影为圆的一部分，侧面投影为矩形；2求出截交线上的特殊点、；3顺次地连接各点，作出截交线并判别可见性；4整理轮廓线。,79,6.4.2平面与圆锥相交,圆,椭圆,三角形,双曲线加直线段,抛物线加直线段,80,截平面垂直于圆锥轴线，截交线为垂直于轴线的圆。,截平面平行于圆锥轴线，或截平面倾斜于圆锥轴线且过锥顶，截交线为两相交直线。,平面截圆锥（一）,81,截平面平行于圆锥轴线，或截平面倾斜于圆锥轴线，且bf，截交线为椭圆。,截平面倾斜于圆锥轴线，且b=f，截交线为抛物线。,平面截圆锥（二）,82,求圆锥截交线上点的方法,素线法,纬圆法,83,分析：截平面过锥顶,截交线为三角形。,例题1求圆锥被截切后的水平投影和侧面投影,作图：,84,例题2求圆锥截交线,解题步骤1分析截平面为正垂面，截交线为椭圆；截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆；2求出截交线上的特殊点、；3求出一般点；4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。,85,截平面截圆球，截交线为圆。,平面截圆球,纬圆法在圆球表面上取若干个纬圆，并求出这些纬圆与截平面的交点。,求圆球截交线上点的方法,6.4.3平面与圆球相交,圆,86,例1求圆球截交线,解题步骤1分析截平面为正垂面，截交线为圆；截交线的水平投影和侧面投影均为椭圆；2求出截交线上的特殊点、；3求出若干个一般点A、B、C、D；4光滑且顺次地连接各点，作出截交线，并且判别可见性；5整理轮廓线。,87,水平面截圆球的截交线的投影，在俯视图上为部分圆弧，在侧视图上积聚为直线。,两个侧平面截圆球的截交线的投影，在侧视图上为部分圆弧，在俯视图上积聚为直线。,例2求圆球截交线,88,例2求圆球截交线,89,6.5曲面立体与曲面立体相贯,两曲面立体的相贯线，在一般情况下是封闭的空间曲线，相贯线上每个点都是两曲面立体表面的共有点。,相贯线是两曲面立体表面的共有线，相贯线上的点是两曲面立体表面的共有点。不同的立体以及不同的相贯位置，相贯线的形状也不同。一般情况下两回转体相贯，相贯线为封闭的空间曲线，特殊情况为平面曲线或直线。,90,1.两回转体相交,交线为相贯线,2.相贯线为二立体表面的公共线,3.相贯线一般为封闭的空间曲线,圆柱与圆锥,相贯线为二立体表面公共线,相贯线,相贯线,圆柱与圆柱,封闭的空间曲线,6.5.1两回转体相交,91,一、曲面立体相贯线的性