高三数学三垂线定理 新课标 人教

三垂线定理(06高考复习),复习回顾,基础应用,三垂线定理及其逆定理（一）,能力拓展,课堂练习,一基本概念：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。,三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。,1、三垂线定理包括5个要素：一面(垂面)；四线（斜线、垂线、射影和平面内的直线)。顺口溜：一定平面，二定垂线，三找斜线，射影可见，直线随便。,2、“三垂线”的含义：（1）垂线与平面垂直（2）射影与平面内的直线垂直（3）斜线与平面内的直线垂直,定理内容分析：,二、基础性练习：1、若一条直线与平面的一条斜线在此平面上的射影垂直，则这条直线与斜线的位置关系是（）（A）垂直（B）异面（C）相交（D）不能确定,2、如图四面体中，如果AB是直径，为圆周上任意点且垂直于平面那么该四面体最多有多少个直角三角形（）（A）有一个直角三角形（B）有两个直角三角形（C）都是直角三角形（D）一定都不是直角三角形,D,C,三、例题分析：例、空间四边形ABCD中，AB垂直于CD，BC垂直于AD，求证：ACBD。,证明：如图，若AB是平面BCD的斜线，过A作AO平面BCD于O，连结BO，ABCD，CDBO（三垂线逆定理）.同理可得BCOD，则O为BCD的垂心，BDOC，OC是AC的射影，BDAC（三垂线定理）。,例2.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1平面AB1C,ABCD是正方形，ACBD又DD1平面ABCDBD是斜线D1B在平面ABCD上的射影AC在平面AC内，BD1AC,而AB1，AC相交于点A且都在平面AB1C内BD1平面AB1C,证明：连结BD，,请同学思考：如何证明BD1AB1,连结A1B,例3.如图所示,已知PA平ABC,ACB=90，AQPC，ARPB，试证PBC、PQR为直角三角形。,证明：PA平面ABC，ACB=90，ACBC，AC是斜线PC在平面ABC的射影，BCPC（三垂线定理），PBC是直角三角形；,BC平面PAC，AQ在平面PAC内，BCAQ，又PCAQ，AQ平面PBC，,QR是AR在平面PBC的射影，又ARPB，QRPB（三垂线逆定理），PQR是直角三角形。,面ABCD面直线A1C斜线a直线B1B垂线b,面ABCD面面B1BCC1面直线A1C斜线a直线AB垂线b,面ABCD面直线A1C斜线a直线B1B垂线b,2.在正方体AC1中，求证：A1CBC1，A1CB1D1,证明：在正方体AC1中A1B1面BCC1B1且BC1B1CB1C是A1C在面BCC1B1上的射影由三垂线定理知A1CBC1.同理可证，A1CB1D1,小结：运用三垂线定理及逆定理证明两条异面直线垂直,必然要涉及平面的斜线,平面的垂线，这是三垂线定理解题的关键.我们可以从以下三点加以理解:1知识内容：三垂线定理及其逆定理；2思想方法:转化的思想,转化的关键是:找平面的垂线3应用步骤:分三个步骤-“一垂二射三证”,（1）求证：两条平行线和同一个平面所成的角相等。（2）从平面外一点D向平面引垂线段DA及斜线段DB、DC，DA=a，BDA=CDA=60，BDC=90，求BC的长。（3）如图，一块正方体木料的上底面上有一点E，要经过点E在上底面上画一条直线和C、E的连线垂直，应怎样画？,五.布置作业：,A,C,B,A1,B1,C1,D,D1,E,已知P在平面ABC内的射影是O，若p到ABC的三边的距离相等，则点O是ABC的。若PA=PB=PC，则点O是ABC的。若PABC，PBAC，则点O是ABC的。探索1、已知P在平面ABC内的射影是O，O是ABC的垂心，求证PABC，PBAC。探索2、已知P在平面ABC内的射影是O，O是ABC的垂心，求证B在平面PAC内的射影是O是PAC的垂心。探索3、已知O是锐角ABC的垂心，PO平面ABC，BPC=求证：BPA=，APC=