苏教高中数学选修11导数的概念

导数的概念,引导学生研究瞬时速度的求法及曲线切线的形成过程并运用类比的思维方法引导学生抽象归纳出导数的概念及几何意义,设计思想,教学目标使学生通过导数概念的形成过程理解导数概念及导数几何意义使学生会用定义求函数在一点的导数使学生会求曲线在某点处的切线方程通过本节课的学习培养学生抽象概括的能力对实际问题中所存在的数学关系抽象提炼产生新的数学概念；培养学生知识迁移的能力运用所学极限定义理解导数的概念重点难点教学重点:使学生了解导数概念的形成过程和导数概念的几何意义.教学难点：引导学生抽象归纳出导数的概念,教学过程,问题引入,知识形成,应用举例,瞬时速度,物体自由落体的运动方程是，其中位移单位是m，时间单位是s，怎样求物体在这一时刻的速度呢？,学生会很容易地回答由物理学中的匀变速直线运动的速度公式可知,一、实例分析,二、建立联系在数学上我们试着探求计算瞬时速度的方法大家想一下，瞬时速度并不是孤立的概念，它必然与某些已知的概念联系着，那么未知的瞬时速度概念与哪些已知的概念联系着?,学生可回答和物体运动的平均速度有关,结论：,三、尝试发现我们拿物体自由落体的运动方程为例，如右图的曲线为的函数曲线，M点是时所对应的点，设N点所对应t的值为1s，请同学们求一下物体在1s到3s这段时间时内的平均速度？,这个平均速度显然代替不了M点的瞬时速度，请同学们再计算一下2s到3s这段时间内的平均速度，2.9s到3s这段时间内的平均速度，及2.99s到3s这段时间内的平均速度.,设N点所对应的时刻为，取不同值时的平均速度为则：,在这里体现了极限的思想，也就是说在这一时刻的瞬时速度等于在到这段时间内的平均速度当的极限，即,设物体的运动方程是,物体在时刻的瞬时速度为,就是物体在到这段时间内,当时平均速度的极限，即,曲线的切线,GSP,教师讲述上面我们研究了切线的斜率问题可以将以上的过程概括如下：如图设曲线C是函数的图象，在曲线C上取一点P及P点邻近的任一点,过两点作割线，当点沿着曲线逐渐向点P接近时，割线将绕着点逐渐转动当点P沿着曲线无限接近于点，即时，如果割线有一个极限位置，那么直线叫做曲线在点P处的切线设切线的倾斜角为，那么当时，割线的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率，即于是，过函数的图象上一点的切线方程是,导数的概念,结构分析,物体的瞬时速度及切线的斜率都是函数的改变量与自变量的改变量之比的极限,二者共同的数学结构为：,从以上两个实际背景中我们抽象归纳出导数的概念：设函数在处及其附近有定义,如果自变量在处有增量,那么函数相应地有增量，比值就叫做函数在到之间的平均变化率,即如果当时,有极限,我们就说函数在点处可导,并把这个极限叫做在点处的导数(或变化率)记作或,即,形成定义,导数的几何意义,函数在点处的导数的几何意义,就是曲线在点处的切线的斜率也就是说,曲线在点处的切线的斜率是，相应的,切线方程为：,这时学生会充分地认识到前边的两例都属于导数问题，如果曲线的方程是,则曲线在点的切线斜率是在处的导数,即；如果物体的运动规律是,则物体在时刻的瞬时速度是在处的导数,即,联系回顾,由导数的定义可知,求函数在点处的导数的方法是：求函数的增量求平均变化率取极限,得导数,求函数在一点处的导数的方法,例求在点处的导数,例已知曲线上一点求：点P处的切线的斜率；点P处的的切线方程,判断下列函数在点处是否可导？,变式训练训练题一求曲线在点处的切线的斜率及倾斜角训练题二在抛物线上求一点P，使过点P的切线和直线3x-y+1=0的夹角为,课堂小结,这节课同学们所学习的导数的概念是研究函数的很有效的工具，也是我们学习高等数学的基础，希望同学们结合导数的实际背景及以上例题和训练题的分析解决过程，加深对导数概念及导数的几何意义