绿色通道数学总复习95数学归纳法课件新人教A

1由一系列有限的得出的推理方法，通常叫做归纳法2对某些与正整数有关的数学命题常采用下面的方法来证明它们的正确性：先证明当n取第1个值n0时，命题成立；然后假设当nk(kN，kn0)时，命题成立；证明当nk1时，命题也成立，这种证明方法叫做,特殊事例,一般结论,数学归纳法,3用数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题时，其步骤为：(1)：证明当n取第一个值n0(n0N)时命题成立；(2)：假设nk(kN，kn0)时命题成立，证明当nk1时命题成立(3)归纳结论：由(1)(2)得出结论,归纳奠基,归纳递推,1在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验n等于()A1B2C3D0,解析：边数最小的凸多边形是三角形答案：C,解析：nk1时，左端为(k2)(k3)(k1)(k1)(k1)k(2k2)(k1)(k2)(kk)(2k1)2，应增乘2(2k1)答案：B,3用数学归纳法证明“n35n能被6整除”的过程中，当nk1时，对式子(k1)35(k1)应变形为_解析：由nk成立推证nk1成立时必须用上归纳假设，(k1)35(k1)(k35k)3k(k1)6.答案：(k35k)3k(k1)6,4记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k)_.解析：由凸k边形变为凸k1边形时，增加了一个三角形，故f(k1)f(k).答案：,5对于nN，用数学归纳法证明：1n2(n1)3(n2)(n1)2n1n(n1)(n2),思路分析：按数学归纳法的证明步骤,【例2】已知函数f(x)xsinx，数列an满足：0a11，an1f(an)，n1,2,3，证明：0an1an1.思路分析：要证的不等式与自然数n有关，故可用数学归纳法证明,解：先证00(0x1)，函数f(x)在(0,1)上递增，由0ak1知，f(0)f(ak)f(1)又ak1f(ak)，0sin0ak11sin11，,0ak11.nk1时，不等式成立又0an1时，an1anf(an)anansinanansinan0，an1an，综上所述0an1an1.,用数学归纳法证明不等式的关键是由nk成立得nk1成立，主要方法有：放缩法；利用基本不等式法；作差比较法等.,【例3】是否存在正整数m，使得f(n)(2n7)3n9对任意自然数n都能被m整除，若存在，求出最大的m的值，并证明你的结论，若不存在说明理由,解：由f(n)(2n7)3n9得，f(1)36.f(2)336，f(3)1036，f(4)3436，由此猜想：m36.下面用数学归纳证明：(1)当n1时，显然成立，(2)假设nk时，f(k)能被36整除，即f(k)(2k7)3k9能被36整除；当nk1时2(k1)73k193(2k7)3k918(3k11)，,由于3k11是2的倍数，故18(3k11)能被36整除，这就说，当nk1时，f(n)也能被36整除由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)(2n7)3n9能被36整除，m的最大值为36.,本题解决的关键是通过n的取特殊值猜想这样的正整数m存在，然后利用数学归纳法加以证明用数学归纳推证nk1成立时，关键是掌握加一个数与减一个数的恒等式变形，将nk1的形式用nk时的形式表示.,变式迁移3试证：当nN时，f(n)32n28n9能被64整除证法一：(1)当n1时，f(1)64，命题显然成立(2)假设当nk(kN，k1)时，f(k)32k28k9能被64整除当nk1时，由于32(k1)28(k1)99(32k28k9)98k998(k1)9，,9(32k28k9)64(k1)，即f(k1)9f(k)64(k1)nk1时命题也成立根据(1)、(2)可知，对于任意nN，命题都成立,证法二：(1)当n1时，f(1)64命题显然成立(2)假设当nk(kN，k1)时，f(k)32k28k9能被64整除由归纳假设，设32k28k964m(m为大于1的自然数)，将32k264m8k9代入到f(k1)中得f(k1)9(64m8k9)8(k1)964(9mk1)nk1时命题也成立根据(1)、(2)知，对于任意nN，命题都成立,变式迁移4设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一个根是Sn1，n1,2,3，(1)求a1，a2；(2)求an的通项公式,下面用数学归纳法证明这个结论n1时已知结论成立,数学归纳法是用来证明与正整数n有关的数学命题的一种常用方法，应用时应注意以下三点：1验证是基础数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0就是要证明的命题对象的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是正确运用数学归纳法第一个要注意的问题,2递推乃关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k1”的过程，必须把归纳假设“nk”作为条件来导出“nk1”时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次,3寻找递推关系(1)在第一步验证时，不妨多计算几次，并争取正确写出来，这样对发现递推关系是有帮助的(2)探求数列通项公式是善于观察式子的变化规律，观察n处在哪个位置(3)在书写f