绪论之微分方程模型PPT课件

.,1,教材(TextBook)常微分方程王高雄周之铭等高等教育出版社,参考书目(Reference)常微分方程教程丁同仁、李承治编著，高等教育出版常微分方程,东北师大数学系编，高教出版社常微分方程及maple应用王鸿业编著，科学出版社常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社常微分方程及其应用，周义仓等编，科学出版社,.,2,课程评分方法(GradingPolicies)期末总成绩(100)=平时成绩(20)+课程实践(10)+期末卷面成绩(70),其中平时成绩包括考勤和作业，各占一半；,课程实践部分要求完成一篇课程实践论文.,.,3,常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法.物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究.因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域.,常微分方程简介,.,4,.,5,后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量.,牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律,.,6,学习常微分方程的目的是用微积分的思想，结合线性代数，解析几何等的知识，来解决数学理论本身和其它学科中出现的若干最重要也是最基本的微分方程问题，使学生学会和掌握常微分方程的基础理论和方法，为学习其它数学理论，如数理方程、微分几何、泛函分析等后续课程打下基础；同时，通过这门课本身的学习和训练，使学生学习数学建模的一些基本方法，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题，为他们将来从事相关领域的科学研究工作培养兴趣，做好准备。,常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的.同时，数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具.,.,7,微分方程的研究是从17世纪Newton和Leibniz发明微积分的那一刻开始的.,一、微分方程的发展简史,早期，主要是讨论用初等函数或超越函数表示微分方程的,1、十七世纪的微分方程,（牛顿、莱布尼兹、贝努利等人的工作）,在牛顿、莱布尼兹创立微积分的过程中,他们就已经接触,有两个方面的原因促使微分方程迅速发展：,其一是1686年,莱布尼兹向当时数学界公开承认他长期冲击,而不得其解.,1841年,法国数学家刘维尔(Liouville)才严格证明了上述方程,确实不可能用初等函数的积分表达解;,其二是当时所涌现出来的实际问题,如弹性问题,摆的问题,解，即“求通解”.,到微分方程了.,黎卡提(Riccarti)方程,天体运动的二体、三体问题等等,需要用到微分方程来求解.,.,8,牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用无穷级数来求解.,贝努利(JamesBernoulli)是用微积分求解微分方程的先驱.,Leibniz曾专门研究用变量代换解决一阶微分方程的求解问题.,贝努利提出一个问题:一根柔软而不能伸长的弦自由悬挂于,贝努利的弟弟约翰贝努利在教师学报中应用微积分方法,其中S是弧长,C,给出一个解答,他建立了微分方程,是依赖于单位弦长的重量.,并解出,称为悬链线.,从总体上看,十七世纪的微分方程仍然是微积分的一部分,并未单独形成一个分支学科。,两固定点,求该弦所形成的曲线.,.,9,2、十八世纪的微分方程,在十八世纪,欧拉(L.Euler)给出了有关微分方程的一系列理论,促进了微分方程的极大发展.,欧拉提出了全微分方程,并给出所给方程是全微分方程的条件，,当某一阶方程不是全微分方程时,可利用积分因子化成全微分方程.,二阶常微分方程早在1691年就在物理问题中出现了.,贝努利研究了船帆在风力下的形状问题,即膜盖问题,而且引出,黎卡提1712年研究曲线的曲率半径时得到不依赖自变量,利用所谓降阶法求解.,黎卡提的工作在常微分方程发展史中有重要意义,不仅由于他处理了二阶微分方程,更重要的是由于他有了把二阶方程降为一阶方程的想法,使降阶法成为处理高阶微分方程的主要方法之一.,一个二阶方程,的二阶方程,.,10,然而，Liouville证明了Riccati方程不能用初等积分法求解.同时Cauchy提出了初值问题这一新思维.常微分方程研究从“求通解”转向“求定解”.,1730年,欧拉在给约翰.贝努利的信中首次提到常系数齐次方程.,1743年,欧拉第一次引入特解、通解的概念,并通过变量变换,完整地解决了常系数线性齐次方程的求解.,此外,欧拉还是微分方程近似解法的创始人.他提出的欧拉折线法不仅解决了常微分方程解的存在性的证明,而且也是常微分方程数值计算的最主要的方法之一.1750年欧拉又给出了我们现在通常所用的微分方程的级数解法.1768年至1769年间,欧拉还将积分因子法推广到高阶方程.,数学家探讨微分方程积分法大约到1775年暂告一段落,此后的100年没有出现新的重要的解法,直到19世纪末才引入拉普拉斯(P.Laplace)的变换法和算子法.,.,11,3、微分方程一般理论的研究,十九世纪初期和中期是数学发展史上的一个转变时期,数学分析的基础、群的概念、复变函数的开创都在这一时期,常微分方程受这些新概念、新方法的影响,进入了它发展的第二个阶段。另外,十八世纪以后不断出现的特殊的微分方程的求解问题,也迫使数学家转向对解的存在性问题的思考.,第一个考虑微分方程解的存在性问题的是柯西.他成功地给出了两个方法.,1876年德国数学家李普希兹(R.Lipschitz)把柯西的条件作了适当的减弱。,柯西的第二个方法是控制函数或优势函数的方法,他的第一个方法是：柯西存在唯一性定理.,确立常微分方程解的存在性的第三个方法,首先是刘维尔,比他的第一个方法可更广泛地应用.,在1838年对一个二阶方程的情形发表出来的.这就是逐步逼近法.,.,12,4、微分方程定性理论的研究,十九世纪末,法国数学家邦加莱(H.Poincar)为处于十字路口,邦加莱是从两个方面入手的,一个是关于常微分方程解析,另一个是在不引进新函数的情况下,研究微分,高维空间奇点附近积分曲线随时间发展的定性研究在1892,系统这一新分支,使常微分方程与动力系统的研究从此进入了一,的微分方程开创了前所未有的宽广道路.,理论的研究.,年被李雅普诺夫发展成为一个重要的分支运动稳定性.,空间中的解曲线的性质的研究,特别是三体问题的研究促使,别尔克霍夫于1927年提出了动力系统的概念,由此开创了动力,个新的蓬勃发展时期.,随着大型多功能计算机的出现，一些经典的数值解法得以充分发挥.借助计算机，数学家们发现一些方程具有新的性质的特殊解.如Lorenz系统.,方程的定性理论.,.,13,二、微分方程的研究方法,研究微分方程的一般五种方法,1、利用初等函数或初等函数的积分形式来导出微分方程的通解，常微分方程的解包括通解和特解.能用初等积分求通解的是非常少的，因此，人们转而研究特解的存在性问题.,2、利用数学分析或非线性分析理论来研究微分方程解的存在性、延展性、解对初值的连续性和可微性问题.,3、微分方程解析理论,由于绝大多数微分方程不能通过求积分得到，而理论上又证明了解的存在性，因此，人们将未知函数（即解）的表示成级数形式，并引进特殊函数，如，椭圆函数、阿贝尔函数、贝塞尔函数等，并使微分方程和函数论及复变函数联系起来，产生了、微分方程解析理论.,.,14,5、微分方程的定性和稳定性理论,1900年，Hilbert提出的23个问题中关于极限环个数的第16个问题之一，至今未解决.,三、常微分方程的主要讲授内容（总学时48）,1、基本概念2、一阶微分方程初等积分法及一般理论3、高阶微分方程4、微分方程组,4、微分方程的数值解法,.,15,第一章绪论,常微分方程是现代数学的一个重要分支,是人们解决各种实际问题的有效工具,它在几何,力学,物理,电子技术,自动控制,航天,生命科学,经济等领域都有着广泛的应用,本章将通过几个具体例子,粗略地介绍常微分方程的应用,并讲述一些最基本概念.,.,16,1.1微分方程模型,微分方程:,联系着自变量,未知函数及其导数的关系式.,为了定量地研究一些实际问题的变化规律,往往是要对所研究的问题进行适当的简化和假设,建立数学模型,当问题涉及变量的变化率时,该模型就是微分方程.,用微分方程解决实际问题的基本思路：,（1）建立起实际问题的数学模型，即反映问题的微分方程；,（2）求解这个微分方程；（数学问题）,（3）用所得数学结论解释实际问题.,.,17,例1放射性衰变,试验表明，放射性同位素的衰变速度同现有量成正比.,就为该衰变物质原子数的一个模型.,一阶微分方程,初始条件,初值问题,假设初始时刻,时的原子数为,（1.2）,即有,.,18,由此看出，放射性同位素将按指数衰减为零.,不难验证，,就是所求初值问题的解.,（1.3）,.,19,假定时有个放射性原子,则方程(1.1)的解为,半衰期指某种特定的放射性同位素衰变到其原始量的一半时用去的时间.记为，可通过实验得到.,于是，,因此,.,20,碳14同位素断代法,表达式(1.3)提供了用放射性碳来测定文物或化石年代的根据.,假定时生物停止碳呼吸，碳14原子数目为,若,时碳14与原有水平之比为，,即,于是，有,因此，即可确定生物的死亡时间为,此即为碳14同位素断代法.,.,21,例2RLC电路,包含电阻R,电感L，电容C及,由基尔霍夫第二定律，当开关S闭合后，有,电源的电路称为RLC电路.,即,当开关S刚闭合时，即t=0时，有I=0,即,I(0)=0,（一阶微分方程）,（初值条件）,电路的Kirchhoff第二定律:,在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零.,.,22,R-L-C电路,如图所示的R-L-C电路.它包含电感L,电阻R,电容C及电源e(t).设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当开关S合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.,解:,设当开关S合上后,电路中在时刻t的电流强度为I(t),则电,流经过电感L,电阻R和电容C的电压降分别为,其中Q为电量,于是由Kirchhoff第二定律,得到,因为,这就是电流强度I与时间t所满足的数学关系式.,于是得到,.,23,例3人口模型,设净相对增长率为常数r，t时刻人口数量N(t).于是,考虑到环境最大容量，则模型可调整为,解得,显然不合理.,假设：在人口自然增长过程中，净相对增长率（单位时间内人口的净增长数与人口总数之比）是常数，记为r（生命系数）.,.,24,例4传染病模型,设疫病传播期间该地区总人数n不变，开始时染病人数为，时刻时健康人数为，染病人数.,于是,设单位时间内一个病人能传染的人数与当时的健康人数成正比，比例系数k（传染系数），于是,解得,显然不可能.,.,25,对于某些传染病，病人治愈后不会再被传染，称为移出人群，设t时刻的移出人群为r(t),治愈率为l，则,考虑到病人治愈后会再次被传染，设治愈率为,又,于是，有,.,26,例5数学摆,(1.8),数学摆的运动方程是,若只研究摆的微小振动，则,(1.9),若摆是在粘性介质中摆动，则,(1.10),.,27,例6两生物种群生态模型,设t时刻被食者总数x(t)、捕食者总数y(t)，被食者自然增长率a0，单位时间内两者有效接触率b0,捕食者自然减少率c0，自然增长率dx(d0),于是,Volterra被捕食-捕食模型,竞争模型,共生模型,.,28,例7Lorenz方程,其中参数,.,29,其他混沌系统,.,30,从各种类型的例子可以看出，完全无关、本质不同的模型，有时候可以由同类型微分方程来描述.,如电流变化规律(1.1)(1.3)和人口增长模型(1.13)都可以写成,RLC电路方程和数学摆的强迫振动方程都可以写成,实际上，在数学模型中有各种各样的常微分方程模型，如交通模型、经济模型、作战模型、糖尿病检测模型、艺术伪造品模型等.,.,31,.,32,下课,.,33,Hilbert第16问题,1900年在巴黎的第二届国际数学家大会上，D.Hilbert提出著名的23个问题，其中第16问题的后半部分是要求解决：平面多项式系统的极限环的数目和分布。,一个多项式系统可以有多个极限环，两个不同的极限环可以互不包含（当然不能相交），也可以一个极限环的内部区域含有多个极限环。这就是所谓的极限环的分布问题。,问题：平面n次多项式系统的极限环的最大数目？以及它们的分布？,关于Hilbert第16问题已取得的重要进展：,1、二次多项式系统最多只能在两个不同的奇点外围有极限环，且极限环的内部只能含有一个奇点。,2、二次系统的极限环可以有（1，3）分布。即一个奇点外围有1个极限环，另一个奇点外围有3个极限环。,3、所有二次系统的极限环的数目有一个共同的上界（R.Bamon,Publ.IHES,1986）。最大数目仍然没能解决。,4、对于任意一个给定的n次系统，它的极限环数目是有限的（1990年Yu.S.Ilyashenko和E.J.Ecalle分别独立地给出证明，并在1990年东京国际数学家大会上报告）。但所有n次系统的极限环的数目是否有共同的上界的问题仍然