微积分习题答案下.pdf

1 第七章第七章 空间解析几何空间解析几何 习题习题 7.17.1 1.起点坐标为( 2,3, 0)A . 2. 12 ( 1,2,2)M M ； 12 2( 2,4,4)M M . 3. 0 143 55 aaik a . 4. 12 (1,2,2)M M ， 12 3M M， 方向余弦为 122 cos, cos, cos 333 . 5.A点坐标为( 2,3, 0). 6. 13715rijk. 习题习题 7.27.2 1.（1）3a b， ( 2 )6ab . （2）57a bijk，210214abijk. (3) 设a 与b 夹角为，则 21 cos 14 . 2. 所求单位向量为 0 1 (322 ) 17 aijk . 3. (1）()()824a b ca c bjk ； （2）() ()abbcjk ； （3）()2a bc 4. 7 . 5. 1 2 ABC Sr 14 6. 600WF ABg（其中g为重力加速度）. 7. 向量a，b，c共面. 2 习题习题 7.37.3 1. 290 xyz 2. 320 xyz. 3. 50y. 4. 30 xy. 592yz. 6. 72170 xy. 7. (1, 1,3). 8. 1d 习题习题 7.47.4 1. （1） 253 215 xyz ； （2） 12 213 xyz ； （3） 35 21 20 yz x . 2. 32 132 xyz . 3. 2 arccos 15 . 4. 340 xyz. 5. 8922590 xyz. 6. 2n . 7. (3,0,5). 8. 13 12 30 yz x . 习题习题 7.57.5 1. 4410630 xyz. 3 2. 22 5yzx. 3. 绕x轴旋转所得旋转曲面方程为 222 49()36xyz； 绕y轴旋转所得旋转曲面方程为 222 4()936xzy. 4.（1）xOy坐标面； （2）平行z轴的平面； （3）中心轴为z轴的圆柱面； （4）母线平行z轴的抛物柱面； （5）椭圆抛物面； （6）圆锥面. 5. 略 习题习题 7.67.6 1.（1）直线； （2）椭圆线. 2. 略 3. 22 316yz. 4. 22 3 4 0 xy z . 5. 22 0 xyax z . 6.在xOy面上的投影为 22 4 0 xy z ； 在yOz面上的投影为 2 zy与4z 所围成的区域； 在xOz面上的投影为 2 zx与4z 所围成的区域. 7. 略. 总习题总习题 7 7 1.（1）3； （2） 3 2 ； (3) 36； (4)2； (5) 2230 xyz. 4 2. 2633xyz. 3. 3210 xy . 4. 14 161928 xyz . 5. 1 (0,0,) 5 C. 6.在yOz面上的投影为 2 2 0 zy x ， 22y ； 在xOz面上的投影为 2 4 0 zx y ，22x； 在xOy面上的投影为 22 2 0 xy z . 7.在xOy面上的投影为 22 2 0 xyx z ； 在xOz面上的投影为 2 0 xzx y ； 在yOz面上的投影为 422 1 0,0 4 0 zzyz x . 8. 222 4174210 xyzy . 9.（1） 1 S的方程为 222 1 43 xyz ， 2 S的方程 222 1 (2) 2 yzx ； （2）. 第八章第八章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用 习题习题 8.18.1 1.（1）|),( 22 yxRyxD； （2） 2 ( , )|,Dx yRxyxy ； （3） 22 ( , )|0Dx yRyx； 5 (4) 222 ( , )|0,1Dx yRyxxy； （5）|),( 222223 RzyxrRzyxD； （6）0,|),( 222223 yxyxzRzyxD. (1)-(4)中定义域的图形如下： (1) (2) (3) (4) 2.（1）1； （2）ln2； (3) 1 4 ； (4) 0. 3. 略 4. 函数在 2 2yx处间断. 5.（C）. 习题习题 8.28.2 1.（1） 23 3 z x yy x ， 32 3 z xxy y ； （2） 2 1sv uvu ， 2 11s vuv ； （3） 1 2ln() z xxxy ， 1 2ln() z yyxy ； o x y 2 yx o x y xy xy o x y 2 xy 1 1o x y xy 1 22 yx 6 （4） 22 csc zx xyy ， 2 22 csc zxx yyy ； （5） 1 2 () 1 () z z uz xy xxy ， 1 2 () 1 () z z uz xy yxy ， 2 () ln() 1 () z z uxyxy zxy ； （6） 2 ln y x uy zz xx ， 1 ln y x u zz yx ， 1 y x uy z zx . 2. (1,1)2 x f. 3. 略. 4. (0,0) x f 不存在， (0,0)0 y f. 5.（1） 2 1 ()() x dzydxxdy yy ，gradgrad 2 1 (,) x zyx yy ； （2） 2 1 () y x dzeydxxdy x ，gardgard 2 1 (, ) y x zey x x ； （3） 3 22 2 () () x dzydxxdy xy ，gardgard 3 22 2 (, ) () x zy x xy ； （4）(lnln) yz yz duxdxzxdyyxdz x ，gardgard(,ln,ln ) yz yz uxzxyx x . 6.不存在. 7. (1,1,0) 2dudxdy. 8. 0.1190z ，0.125dz 9.（1） 2 22 2 128 z xy x ， 2 22 2 128 z yx y ， 2 16 z xy x y ； （2） 2 2222 2 () zxy xxy ， 2 2222 2 () zxy yxy ， 222 222 () zyx x yxy ； （3） 2 2 2 ln x z yy x ， 2 2 2 (1) x z x xy y ， 2 1( ln 1) x z yxy x y . 10. 3 2 2 2(2) xyxyxy z yexy eyexy xy ， 3 3 33 2 xy zx x e yy . 11.（A） 7 习题习题 8.38.3 1. 略 2. cos2sin (sin2cos ) tt dzz dxz dy ett dtx dty dt . 3.（1） (1)( ) u yyz f v x ， (1)( ) u xz f v y ，( ) u xyf v z ； （2） 12 y z e ff x ， 13 y z xe ff y . 4.略 5.（1） 2 111222 22 21z fff xyy ， 2 21222 223 1zxx fff x yyyy ； 22 222 234 2zxx ff yyy ； （2） 2 4322 2111222 2 244 z yfy fxy fx y f x ， 2 3223 12111222 22252 z yfxfxy fx y fx y f x y ， 2 2234 1111222 2 244 z xfx y fx yfx f y ； （3） 2 2 111222 2 44 z y fyff x ， 2 1111222 (23 )6 z fxyfxy ff x y 2 2 111222 2 69 z x fxff y . 6. 1212 2 111 ()duf dxf dyxfyf dz zzz ； 2 21222 233 1uxy fff y zzzz . 7. 2 2 2 2( )4( ) z f ux fu x ， 2 2 2 2( )4( ) z f uy fu y ， 2 4( ) z xyfu x y . 8 习题习题 8.48.4 1. x y Fdyxy dxFxy . 2. zz xxz ， 2 () zz yy xz . 3. 2 2 3 2 x z z Fzx xFye ， 2 2 y z z F zz yFey . 4. 提示： 1 3 z x ， 2 3 z y ， 5. 23 2 (23) zxy dzexe dxy e dy 6. 33 2 ()uy xz xxyz 7. 22322 23 22 () zz z zy zexy zy z e xexy ， 22222 3 () zz z zzexyz ex y z x yexy . 8. uxyv xuv ， vxyu xuv ， 1 2 2() uxv yuv ， 1 2 2() vxu yuv . 习习 题题 8.58.5 1. 切线方程为 121 248 yz x ，法平面方程为 011682zyx. 2. 切线方程为 2 22 1 1 1 1 2 zy x , 法平面方程为04 2 2 zyx. 3. 切线方程 3 2 2 1 1 zyx ； 法平面方程 0832zyx. 4. 切平面方程为0 2 2 zyx；法线方程 2 4 1 1 1 1 z yx . 5. 切平面方程为240 xy； 法线方程为 1 2 2 0 y x z . 9 6. (1, 1,1)与 111 ( ,) 39 27 . 7. 20 xy或 20 xy . 8.提示：曲面上任一点 000 (,)xyz 处的切平面方程为 000 000 111 ()()()0 xxyyzz xyz 习习 题题 8.68.6 1. (1,2) 1 2 3 2 5 f l . 2. (1,1,2) 53 2 2 f l 3. (1,1,2) 12 14 u l 4. grad(0,0,0)(3,2,6)f，grad(1,1,1)(6, 3,0)f 5. grad (1, 1,2)21u. 习习 题题 8.78.7 1. 极小值 2 ) 1, 2 1 ( e f. 2. 极大值(2,2)1f. 3. 略 4.极大值 1 11 ( , ) 2 24 z. 5. 当长方体的长 3 2xk，宽 3 2yk，高 3 1 2 2 zk时用料最省. 6. 最冷点(0,0)26T最热点(1,0)30T. 7. 最短距离为3；最长距离为32. 总习题总习题 8 8 1.（C） 2.（1）13； （2）2； （3）8； （4） 0542zyx； 10 （5） 1 3 ； （6） 11 (,1, ) 22 . 3. 略 4.（1） 22 12 , zzy xxyyxy ， 22 22222 12 , ()() zzy xxyx yxy ， 22 222 2() () zxy yxy ； （2） 1 ,ln yy zz yxxx xy ， 22 211 2 (1),ln yyy zz y yxxyxx xx y ， 2 2 2 ln y z xx y . 5. (0, 0)0 xy f, (0, 0)1 yx f. 6. 3333 2 1 ()()duy xz dxx yz dy xyz . 7. ( ) ( ) ( )( )( )ln ( ) ( ) t dut tttt dtt . 8. 2 2 111131223 yyyy z e fxefe fxe ff x y . 9. 22 22 22 gg xy xy . 10. 切线方程： ax b z a y ； 法平面方程：0bzay. 11.点 ( 3,1, 3)， 法线方程为 1 3 3 1 1 3 zyx . 12.沿梯度方向的方向导数最大，且 max grad (1,1,1)5 u u l . 13. 0 222 000 444 2 M u l xyz abc . 11 14.当长方形边长分别为 3 2p 和 3 p ，并绕短边旋转时所得的圆柱体体积最大. 15.（1）5,2ab ； （2）极小值为(1, 1)z. 16.（1） 22 000000 (,)558g x yxyx y； （2）攀岩起点 12 (5, 5),( 5,5)PP. 17. max( , ) ( 1,0)3fx yf， min( , ) (0, 2)2fx yf . 第九章第九章 重积分重积分 习题习题 9.19.1 1.（1） 23 ()() DD xy dxy d ； （2） 2 ln()ln() DD xy dxyd . 2.（1）0()16 D xy xy d ； (2) 22 36(49)100 D xyd . 3.（1） 22 2 1 3 D xy d ； (2) 0 D yd . 4. 12 4II . 习题习题 9.2 1.（1） a a xaaya ya dxyxfdydyyxfdxI 2222 22 00 ),(),(； （2） 1 0 1 0 1 0 1 0 ),(),( xy dxyxfdydyyxfdxI； （3） 4 0 24 0 4 1 2 ),(),( x x y y dxyxfdydyyxfdxI. 2.（1）1； （2） 8 3 ； （3） 20 3 ； （4） 6 55 ； （5） 64 15 ； （6）1 sin1； （7） 13 6 . 3.（1） 1 0 1 ),( x dyyxfdx； （2） 1 0 2 ),( x x dyyxfdx； （3） 0 1 11 11 2 2 ),( y y dxyxfdy； （4） 1 0 ),( e ey dxyxfdy； （5） 1 1 1 0 2 ),( x dyyxfdx； （6） 1 0 1 1 2 ),( y y dxyxfdy. 4. 4 3 m . . 12 5. 7 2 V . 6.（1） 4 (1)e； （2） 2 6； （3） 2 64 ； （4） 33 2 () 3 ba . 7.（1） 9 4 ； （2） 1 (ln2) 22 ； （3） 1 8 . 8. 17 6 V . 9. 4 3 32 a V . 习题习题 9.39.3 1.（1） 2 222 111 11 ( , , ) x xxy dxdyf x y z dz ； （2） 22 222 112 112 ( , , ) xx xxy dxdyf x y z dz ； （3） 22 11 000 ( , , ). xxy dxdyf x y z dz 2. 2. 3. 1 48 . 4. 0 . 5. 15 (ln2) 28 . 6. 22 4 R h . 7. (1) 7 12 ； （2） 16 3 ； （3） 3 16 . 8.（1） 4 5 ； （2）3. 9.（1） 1 8 ； （2） 1 12 ； （3） 10 ； （4）8. 10.（1） 32 3 ； （2） 2 (5 54) 3 ； (3) 60. 11. 4 k a 习题习题 9.49.4 1. 2 ah 13 2. 2. 3. 2 16a. 4.（1） 00 33 (,) 58 xy； (2) 7 ( , 0) 6 . 5. 3535 (,) 4854 . 6.（1）) 4 3 ,0,0(； （2） 2 27 ( ,) 5 5 30 . 7. 5 (0,0,) 4 . 8.（1） 72 5 x I , 96 7 y I ； (2) 2 3 x ab I , 2 3 y a b I . 9. 4 1 2 z Iha. 10. 2222 2() z FG hRhaRa . 总习题总习题 9 9 1. （1） （A） ； （2） （B） ； （3） （C） ； （4） （B） ； （5） （D） ； （6） （C） ； （7） （D） ； （8） （A） ； （9） （C） ； （10） （C）. 2. 162 () 33 . 3. ln2 2 . 4. 1 43 . 5. 14 15 . 6. 1 316 7. 提示：交换积分顺序. 8. 8 9. 5 59 480 R . 10. 250 3 . 11. 1 364 . 14 12. 4 5 abc. 13. 368 105 . 14. 引力(0,) yz FFF.其中 0 x F ， 22 2 22 4 (ln) y GmMRRaR F Ra Ra ， 2 22 2 (1) z GmMa F R Ra . 15.(0) f . 第十章第十章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 习题习题 10.110.1 1. 322 2(1 2)a. 2. 1 (5 51) 12 . 3. 1. 4. 21 (5 51) 212 . 5. 16 2 143 6. 2 2 a 7. (2 21) 3 a m . 习题习题 10.210.2 1.（1）1；（2）1. 23. 3. 2. 4 2()a ab . 513. 15 6 22 () 2 k ab. 习题习题 10.310.3 1. 2 3 a. 29. 34(1 ln3) . 4. 1 ee. 5. 2 4 . 6 （1）0； （2）236； （3） 17. 7. 2 4 . 8. 1 2 ； 12. 习题习题 10.410.4 1. 12 14. 2.4 61. 3. 3 a. 4. (12) 2 . 5. 2h R . 习题习题 10.510.5 1. 1. 2. 3 4 . 3. 32 3 . 4. 2. 5. 1 24 . 16 习题习题 10.610.6 1. 4 a. 2. 1 8 . 3. 3 2 a . 4. 5 2 5 a. 5. 11 24 . 6. 0. 7 （1） 22 divcos xyxy Ay ex eyz； （2）div666Axyz ； （3）divcoscos0 xx Azeyzey 习题习题 10.710.7 1. 0. 2. 9. 总习题总习题 1010 1. . 2. 2 2a. 3. 12l. 4. 22222 2 (34) 3 akak . 5. 0. 6. 2 2 . 7. 2 ( )xx； (1,1) 2 (0,0) 1 ( ) 2 xy dxyx dy . 17 8. 2 a. 9. 2. 10. . 11. 24. 12. 5 19 20 a. 13. 3 12 . 14. 12. 15. 2 1 2 R 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 习题习题 11.1 1.（1） 11 1 () 11100 n n s ， 1 91 10011 n n ； （2） 11 (1) 221 n s n ， 1 11 (21)(21)2 n nn ； （3） 111111 (1) 323123 n s nnn ， 1 111 (3)18 n n n ； （4） 2 121 3 22 n nn n s ， 1 21 3 2n n n ； （5） 5253 1 ( ) 1 () 3585 nn n s ， 0 2( 1) 355 524 nnn n n . 2. （1）结论为真； （2）结论为真. 3.证明略，反之不成立. 4.略. 5.略. 18 6.略. 习题习题 11.2 11.2 1.（1）收敛； （2）收敛； （3）收敛； （4）收敛. (5) 1a 时收敛， 1a 时发散. 2. （1）收敛； （2）发散； （3）收敛； （4）收敛； （5）收敛； （6）收敛； （7）发散； （8）收敛. 3. （1）收敛； （2）发散； （3）收敛； （4）发散； （5）发散； （6）收敛； （7）收敛； （8）收敛 . 4. 证略，反之不成立. 5. 略. 6.（1）条件收敛； （2）绝对收敛； （3）条件收敛； （4）绝对收敛. 习题习题 11.311.3 1.（1）( 1,1)； （2） 11 (,) 22 ； （3）( 2, 2)； （4）(,) ； （5）(0, 2)； （6）(3,3). 2 （1） 2 1 ( ) (1) s x x ，11x ； （2） 22 22 (3) ( ) (1) xx s x x ，11x ； （3） 11 ( )ln 21 x s x x ， . 3.（1） 0 ( 1) 214 n n n ； （2） 2 0 (1) 5 ! n n e n . 4略. 习题习题 11.411.4 1.（1） 2 2 0 1 ! xn n ex n ， x； （2） 1 1 0 ( 1) ln(2)ln2 (1) 2 n n n n xx n ( 2 2)x ； 11x 19 （3） 121 22 1 ( 1)2 sin (2 )! nn n n xx n ( )x . (4) 21 0 11 ln 121 k k x x xk ( 11)x ； （5） 2 0 1 1 ( 1)2 123 nnn n x x xx ， 11 () 22 x ； （6） 1 2 ( 1)(1) (1)1 ! n xn n n x ex n ， ()x . 2. 221 0 111 cos( 1) ()() 2(2 )!3(21)!3 nnn n xxx nn ，()x . 3. 1 1 0 ( 1) lnln3(3) (1) 3 n n n n xx n ， 06x . 4. 211 0 111 ( 1) ()(1) 3223 nn nn n x xx ；13x . 5. 略. 6. 略. 习题习题 11.511.5 1. 3 92.0801 2. ln3 1.0986， 3. 1 0 arctan xdx x 0.72887 4证明略. 习题习题 11.611.6 1.（1） 22 2 1 ( 1) 311 12cos n n xnx n ,(,)x ； （2） 22 2 2 1 1( 1) (2cossin) 44 n x n ee enxnnx n (21) ,xkkZ； (3) 1 2 1 ( 1)13( 1) ( )cossin 4 nn n f xnxnx nn (21) ,xkkZ； 20 2. 2 2 2 1 ( 1) 114cos 3 n n xnx n ，0 x； 12 2 1 ( 1) 12 n n n . 3. 1 2 1 18 3( 1) 2sinsin 391 n n xn nx n ， ()x . 4. 1 132142