极限思想及其应用.doc

本本科科毕毕业业论论文文（设设计计） 极限思想及其应用极限思想及其应用 学生姓名学生姓名： 孙金龙 学号学号： 071611140 系部系部： 应用数学系 专业专业： 金融数学 指导教师指导教师： 刘炎 讲师 提交日期提交日期： 2011 年 3 月 21 日 2008-JX16- 广东金广东金 融学院融学院 注：教师姓名后留有 一个空格，后面填写 教师职称。下面加下 划线。 阅后删除此文本框。 毕业论文基本要求毕业论文基本要求 1毕业论文的撰写应结合专业学习，选取具有创新价值和实践 意义的论题。 2论文篇幅一般为 8000 字以上，最多不超过 15000 字。 3论文应观点明确，中心突出，论据充分，数据可靠，层次分 明，逻辑清楚，文字流畅，结构严谨。 4论文字体规范按广东金融学院本科生毕业论文写作规范 和“论文样板”执行。 5论文应书写工整，标点正确，用用微机打印后，装订成册。 本科毕业论文（设计）诚信声明本科毕业论文（设计）诚信声明 本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计） ，是本人在指导 老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识 产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声 明的法律结果由本人承担。 学生签名： 时间： 年 月 日 关于论文（设计）使用授权的说明关于论文（设计）使用授权的说明 本人完全了解广东金融学院关于收集、保存、使用学位论文的 规定，即： 1.按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本； 2.学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索 与阅览服务，在校园网上提供服务； 3.学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 本人同意上述规定。 学生签名： 时间： 年 月 日 广东金融学院广东金融学院 本科毕业论文本科毕业论文极限思想及其应用极限思想及其应用 I 摘 要 极限思想作为一种数学思想，由远古的思想萌芽，到现在完整的极限理论， 其漫长曲折的演变历程布满了众多数学家们的勤奋、智慧、严谨认真、孜孜以 求的奋斗足迹。极限思想的演变历程，是数千年来人类认识世界和改造世界的 整个过程的一个侧面反应，是人类追求真理、追求理想，始终不渝地求实、创 新的生动写照。 极限思想的产生与完善是社会实践的需要，它的产生为数学的发展增加了 新的动力，成为了近代数学思想和方法的基础和出发点。极限思想是微积分理 论的基础，而微积分与经济学、物理学、机械自动化等与生活息息相关的学科 是密不可分的。尤其是对于经济学来说，是一个透过现象看本质的必不可少的 工具，经济学的核心词语“边际”便是一个将导数经济化的概念。只有结合微 积分等数学知识，才能使经济学从一个仅仅对表面现象进行肤浅的常识推理、 流于表面化的学科，变为一个用科学的方法进行数理分析、再结合各社会学科 的丰富知识，从而分析出深层次的、更具有广泛应用性的基本结论的学科。 其他学科也是如此，极限思想的应用无处不在，理解掌握并合理应用极限 要思想,可以让我们在解决实际问题的过程中,能较快发现解决问题的方法,提高 实际效果.本文就利用数学的极限思想在解决各个学科中的实际问题的思考过程 做出初步的探索和分析。 关键词 ：极限思想；微积分；经济学 广东金融学院广东金融学院 本科毕业论文本科毕业论文极限思想及其应用极限思想及其应用 II Abstract Limit thought as a mathematical idea of the mankind from the ancient to the present limits of the full theory of the evolution of its long and tortuous journey filled with hard work of many mathematicians, intelligence, conscientiousness and pursued the struggle footprint. Limit the evolution of thought process that is thousands of years of human knowledge and transform the worlds response to one aspect of the process, the human pursuit of truth, the pursuit of ideals, always realistic, vivid portrayal of innovation. Limit the production and improvement of ideological and social needs of practice, it produces for the development of mathematics has added a new impetus, as the ideas and methods of modern mathematics foundation and starting point. Theoretical limit of thought is the basis of calculus, and calculus and economics, physics, mechanical and automation disciplines and daily life are inseparable. Especially in economics, is a look at the nature of the phenomenon through the essential tools, the core of economics, the word marginal is one of the guide number of economic concepts. Only the combination of calculus and other mathematical knowledge, to make economics the surface from a mere superficial knowledge of the phenomenon of reasoning, superficial subject, into a scientific approach to mathematical analysis, combined with extensive knowledge of the social sciences, to analyze the deep-seated, more widespread application of the basic conclusions of the subjects. The same is same in other disciplines, limit the application of nowhere, without thinking, understanding and rational application of control limits to thought, allows us to solve practical problems in the process, can quickly find solutions to the problem and improve the practical results. In this paper the limits on the use of mathematical ideas in various disciplines to solve practical problems in the thinking process to make a preliminary exploration and analysis. Key Words：Limit thought；Calculus；Economics 广东金融学院广东金融学院 本科毕业论文本科毕业论文极限思想及其应用极限思想及其应用 III 目目 录录 摘摘 要要I ABSTRACTABSTRACTII 1.极限的产生及发展1 1.1 极限思想的萌芽时期 1 1.2 极限思想的发展时期 3 1.3 极限思想的完善时期 3 2.极限思想在经济中的应用4 2.1 边际概念及其数学极限思想 4 2.2 弹性概念及其数学极限思想 6 2.3 消费者剩余概念及其数学极限思想7 3.极限思想在保险学中的应用9 3.1 保险学的概率论数学原理 9 3.2 大数法则和中心极限定理在保险中的应用10 4.极限思想在其他方面的应用 12 4.1 极限思想在建筑学中的应用 12 4.2 极限思想在化学中的应用 13 5.结束语13 参考文献参考文献15 广东金融学院广东金融学院 本科毕业论文本科毕业论文极限思想及其应用极限思想及其应用 IV 极限思想及其应用极限思想及其应用 1.1.极限的产生及发展极限的产生及发展 所谓极限的思想,是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想.用 极限思想解决问题的一般步骤可概括为:对于被考察的未知量,先设法构思一个 与它有关的变量,确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;最后用极 限计算来得到结果. 极限思想作为一种数学思想，其发展经历了思想萌芽、理论发展和理论完 善时期。在其漫长曲折的演变历程中布满了众多哲学家、数学家们的奋斗足迹， 闪烁着人类智慧的光芒。极限理论的形成为微积分提供了理论基础，为人类认 识无限提供了强有力的工具，它从方法论上凸显出了高等数学不同于初等数学 的特点，是近现代数学的一种重要思想和方法。理清极限思想的发展脉络，揭 示极限思想的核心内容及其与哲学思想的内在联系，对于理解数学史上的一些 问题将具有一定的理论意义。 1.1极限思想的萌芽时期 远在两千多年以前，人们在对无穷的萌芽认识中，极限的思想和方法就不 可回避地孕育在其中了。 在我国，著名的庄子天下篇一书中有言：“一尺之棰，日取其半， 万世不竭。墨家著作墨子经下中的也有“非半弗，则不动，说在端。根 据论述， 经说下解释道：“非，半。进前取也，前则中无为半，犹端也。前 后取，则端中也。必半，毋与非半，不可也。 ”从中可体现出我国早期对物质的 无限可分性与连续性已有相当深刻的认识，虽然这些认识更多地属于哲学，但 已反映出极限思想的萌芽。 将无穷思想创造性地运用到数学中，当属我国魏晋时期的数学家刘微。刘 徽在注释九章算术时创立了有名的“割圆术，他提出用增加圆内接正多边 形的边数来逼近圆，并阐述道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不 可割，则与圆周合体而无所失矣。可见刘徽对无穷的认识已相当深刻，对极限 广东金融学院广东金融学院 本科毕业论文本科毕业论文极限思想及其应用极限思想及其应用 - 2 - 的观念和方法已经有了直观基础上的应用。正是以“割圆术”为理论基础，刘 徽得出徽率，他一直算到 192 边形时，得到 15750314，之后又算到 3072 边形时得到 3927125031416。到公元 5 世纪，南北朝时期的大 数学家、科学家祖冲之(429500)在其失传的缀术中(据数学史家考证)， 同样运用“割圆术一算到 24576 边形得到：31415926 0,有 lim |1 = 1 | = 1 广东金融学院广东金融学院 本科毕业论文本科毕业论文极限思想及其应用极限思想及其应用 - 10 - 辛钦大数定律说明独立同分布的随机变量的算术平均值依概率收敛于它的 数学期望值,它为在实际应用中用算术平均值估计数学期望提供了理论依据. 独立同分布的中心极限定理 设 1,2,3,n是独立的且具有相 同分布的随机变量序列,并且具有数学期望和方差: (i= 1, = = 2 0 2,n,),则对任意实数 x,有 lim = 1 = 1 2 2 2 = （） 独立同分布的中心极限定理表达了正态分布在概率论中的特殊地位,尽管 的分布是任意的,但只要 n 充分大,随机变量近似服从标准正态分布 = 1 N(0,1).或者说,当 n 很大时,独立同分布的随机变量 的和近似服从正态分 = 1 布 N(n,n) .这就是那些(可以看作由许多微小的、独立的随机因素作用的 2 总结果,而每一个因素的影响却都很小)随机变量,一般都可以近似地服从正态分 布的理论根据,因而正态分布在理论上和应用上都具有极大的重要性. 若，则当 n 很大时，有 （，） （ ） (1 ) (1 ) 3.2大数法则和中心极限定理在保险中的应用 大数法则是概率论中的一个重要法则.它揭示了这样一个规律:大量的、在 一定条件下重复出现的随机现象将出现一定的规律性和稳定性.如果我们对某种 随机事件进行试验,当试验次数较少时,实验结果往往很不稳定,其结果依赖于个 别随机事件;当试验次数较多时,实验的结果就非常稳定,而且试验结果会脱离对 个别随机事件的依赖.例如将一枚均匀的硬币投向空中,正面朝上的概率为 0.5. 如果只扔 10 次硬币,可能看到有 8 次是正面朝上的,但如果硬币被扔成千上万次,得 到正面朝上的频率越接近 0.5.因此,当投掷次数越多,实际结果越接近期望结果.这 广东金融学院广东金融学院 本科毕业论文本科毕业论文极限思想及其应用极限思想及其应用 - 11 - 一点对保险的经营有重要意义. 风险单位是发生一次风险事故可能造成标的物损失的范围,也就是遭受损失 的人、场所或事物.风险单位是保险公司确定其能够承担的最高保险责任的计算 基础.理想状态下的风险单位应独立且同分布.这种现象的意义在于保险人可以 据此向每个潜在的被保险人收取同样的保费. 大数法则表明,独立同分布风险单位的数目越大,对均值的实际偏差就会减 少,实际结果越接近期望结果. 根据中心极限定理,含有 n 个风险单位的随机样本的平均损失符合正态分布.这 个结论对保险费率的厘定极为重要. 保险公司是一个从事对损失理赔的行业,它的经营机制是将分散的不确定性 集中起来,转变为大致的确定性以分摊损失,其最关心的是实际损失与预期损失 概率的偏差.在开展新的业务前,必须通过大量的损失统计资料对风险损失概率 进行精确地估算,根据大数法则,承保的风险单位越多,实际损失与预期损失概率 的偏差就越小;承保的风险单位越少,实际损失与预期损失概率的偏差就越大.而 实际损失与预期损失概率的偏差又影响到保险公司的服务稳定和经营效益.因此,保 险公司在根据大量的损失统计资料精算出预期损失概率并制定出合理的保险费 率的基础上应尽可能地多承保风险单位,也就越可能有足够的资金赔付保险期内 发生的所有索赔,从而使保险公司运营更加平稳,也就越有利于投保人或被保险 人. 例如，某保险公司多年统计资料表明,在索赔户中,被盗索赔户占 20%,以 表示在随机抽查的 100 个索赔户中,因被盗向保险公司索赔的户数. 我们可以利用中心极限定理,求出被盗索赔户不少于 14 户且不多于 30 户的 概率近似值： （14 30） 30 100 0.2 100 0.2 0.8 14 100 0.2 100 0.2 0.8 = （2.5） （ 1.5） = 0.994 (1 0.933) = 0.927 再例如，某矿区为井下工人开展人身保险.规定每人年初向保险公司交保险 金 20 元,一年保险期内若工人死亡,保险公司向家属赔偿 2000 元.由历史资料知 该矿井下工人的死亡率为 0.0036,现此矿区有 10000 名井下工人参加人身保险。 广东金融学院广东金融学院 本科毕业论文本科毕业论文极限思想及其应用极限思想及其应用 - 12 - 我们可以计算出一年内井下工人死亡数不超过 30 人的概率： 设 表示一年内井下工人死亡数.则 B(10000,0.0036) （ 30） 30 10000 0.0036 10000 0.0036 0.9964 0 10000 0.0036 10000 0.0036 0.9964 0.159 我们还可以求出保险公司一年获利不少于 86000 元的概率： 要使保险公司一年获利不少于 86000 元,必须满足： 2010000 - 2000 86000 57 （ 57） 57 36 36 0.9964 0 36 36 0.9964 0.99977 中心极限定理以严格的数学形式阐明了在大样本条件下,不论总体的分布如 何,样本的均值总是近似地服从正态分布。如果一个随机变量能够分解为独立同 分布的随机变量序列之和,则可以直接利用中心极限定理进行解决。总之,恰当 地使用中心极限定理解决实际问题有着极其重要的意义。 4. 极限思想在其他方面的应用极限思想在其他方面的应用 4.1极限思想在建筑学中的应用 对于地下隧道的稳定性评价一直缺乏一个合适的评判指标，传统方法无法 算出地下洞室工程的安全系数和威严的破坏面，仅凭应力、位移、拉应力区和 塑性区大小很难确定地下洞室工程的安全度与破裂面。当前工程上尚没有隧道 稳定安全系数的概念，一般按照经验对隧道围岩的稳定性先进行分级。极限分 析法通过对岩土体强度参数的折减，使岩土处于极限状态，因而有可能使岩土 体显示潜在的破裂面，并求得安全系数，这在边（滑）坡稳定分析中取得了成 功，但应用于地下洞室工程中算出的塑性区往往是一大片，而不像边（滑）坡 岩土体内存在明显的剪切带，因而要找出围岩内的破裂面比较困难。本文研究 表明，隧道围岩发生塑性应变突变时的情况就是围岩发生破坏流动的情况，因 而只要找出围岩塑性应变发生突变时的塑性区各断面中塑性应变值最大的点， 并将其连成线，就可得到围岩的潜在破坏面（如下图所示） ，同时可求得地下洞 广东金融学院广东金融学院 本科毕业论文本科毕业论文极限思想及其应用极限思想及其应用 - 13 - 室的安全系数，本文所说的隧道稳定安全系数是指隧道整体安全系数，即把非 等强度的真实岩体视为均质等强的岩体，据此求出安全系数。 4.2极限思想在化学中的应用 对于可逆反应而言，当反应达到平衡状态后，其各组分的量均不可能为 0。而在解决一些化学平衡问题时，尤其是关系取值范围问题的解决，我们却可 以借助完全反应这一“极限思想”进行。 例如在一密闭容器进行的可逆反应：2SO2(g)O2(g) 2SO3(g)，已知某 时刻 SO2、O2、SO3 的浓度分别为 0.2mol/L、0.1mol/L、0.2mol/L，当反应达 到平衡时，我们想知道这三种气体的密度可能只在什么范围之内，这就需要我 们运用极限思想进行分析。 根据可逆反应的特点可知，无论反应向正向移动还是逆向移动，达到平衡 时 SO2、SO3 浓度的取值范围均为 0c0.4mol/L，而 O2 的浓度为 0c0.2mol/L。 5. 结束语结束语 从微积分的产生到极限理论的建立，这个历史过程生动地表明:科学认识的 产生和发展必须适应社会的经济需要和自身发展的需要;科学认识在其发展进程 中面临困难，必须注意思想与方法上的革新和创造;而一种新的数学方法，不能 长期停留在形象直观的阶段上，必须在不断深化认识的基础上，由定性认识转 化为定量认识，形成概念和理论的系统，否则，就不可能做出科学的抽象，也 广东金融学院广东金融学院 本科