（试题 试卷 真题）专题17 空间向量及应用（教师版）

专题17 空间向量及应用高考在考什么【考题回放】1在正方体A1B1C1D1-ABCD中，M、N分别是棱A1A和B1B的中点，若为直线CM与D1N所成的角，则sin等于 （ ）A B C D2直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB=900,AC=AA1=a，则点A到平面A1BC的距SACBD离是（ C ）A a Ba C Da3如图，正四面体S-ABC中，D为SC的中点，则BD与SA所成角的余弦值是（ C ）A B C D4在正三棱锥P-ABC中，M、N分别是侧棱PB、PC的中点，若截面AMN侧面PBC，则此三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是（ C ）A B C D 5在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC=900，AB=BB1=1，直线B1C与平面ABC成300角，则二面角B-B1C-A的正弦值。6在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点。（1）证明：ACSB； （2）求二面角NCMB的大小； （3）求点B到平面CMN的距离【专家解答】（1）取AC中点O，连结OS、OB SA=SC，AB=BC，ACSO且ACBO平面SAC平面ABC， SO面ABC， SOBO如图建立空间直角坐标系Oxyz则A（2，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），S（0，0，2），M(1，0)，N(0，) =（4，0，0），=（0，2，2），=（4，0，0）（0，2，2）=0， ACSB（2）由（1）得=（3，0），=（1，0，）设n=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量， n=(，1)，又=(0，0，2)为平面ABC的一个法向量， cos(n，)=二面角NCMB的大小为arccos（3）由(1)(2)得=(1,0)，n=(,1)为平面CMN的一个法向量 点B到平面CMN的距离d=高考要考什么【考点透视】用空间向量可以解决的立体几何问题有：1利用两个向量共线和共面定理,可证明有关线线平行,线面平行,面面平行问题2利用两个向量垂直的充要条件可以证明有关线线,线面,面面垂直问题3利用两个向量的夹角公式可以求解有关角的问题4利用向量的模及向量在单位向量上的射影可以求解有关的距离问题【热点透析】空间向量解立体几何问题的基本步骤是：1建立适当的坐标系； 2确定相关点的坐标； 3求平面的法向量； 4利用公式求答案。突破重难点【范例1】如图, 在直三棱柱中，,点为的中点()求证;() 求证：平面;()求异面直线与所成角的余弦值解： 直三棱锥底面三边长 ，两两垂直如图建立坐标系，则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D(,2,0) (),()设与的交点为E，则E(0,2,2)， () 异面直线与所成角的余弦值为【点晴】在具有三维直角的立体几何题中常使用空间向量方法，证明线面垂直即证明直线的方向向量与平面的法向量平行，另外注意异面直线所成角为锐角。【文】如图，在三棱锥PABC中，ABBC，ABBCPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP底面ABC () 求证平面 () 求直线与平面PBC所成角的大小； 解析 （1） 。【点晴】注意空间坐标系的选取，证明线面平行即证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，另外注意线面所成的角与直线方向向量和法向量所成角的关系。【范例2】如图，以正四棱锥VABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz，其中Ox/BC，Oy/ABE为VC中点，正正四棱锥底面边长为2a，高为h（）求（）记面BCV为，面DCV为，若BED是二面角VC的平面角，求BED解：（I）由题意知B(a，a，0)，C(a，a，0)，D(a，a，0)，E 由此得 （II）若BED是二面角VC的平面角，则，即有=0 又由C（a，a，0），V（0，0，h），有且 即这时有 【点晴】本小题主要考查应用向量知识解决立体几何的能力，注意面面所成角与两法向量所成角的关系。【文】如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=1，CB=，侧棱AA1=1,侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M。求证：(1)CD平面BDM；(2) 求面B1BD与面CBD所成二面角的大小。解：以C为原点建立坐标系。(1),则，A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，CD平面BDM。(2) 设BD的中点为G,连结B1G, 则，的夹角等于所求二面角的平面角. 所以所求的二面角等于【点晴】本小题坐标系的建立容易想到，用直线与平面内两不共线向量垂直来证明线面垂直是根据立体几何的判定定理，另注意面面所成角与两法向量所成角间的转换。【范例3】如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN2C1N（）求二面角B1AMN的平面角的余弦值；（）求点B1到平面AMN的距离。解（）建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,1)，M（0，0）,C(0,1,0), N (0,1,) , A ()，所以,因为所以,同法可得。故为二面角AMN的平面角故二面角AMN的平面角的余弦值为。（）设n=(x, y, z)为平面AMN的一个法向量，则由得, 故可取设与n的夹角为a，则。所以到平面AMN的距离为。QBCPAD【点晴】本小题坐标系的建立有点特殊，同学们可试在另外坐标系下的方法。注意如何使用向量形式下求各种立体几何中距离的问题，考查应用向量解决数学问题的能力.【文】如图，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高都是2，AB=4 ()证明PQ平面ABCD； ()求异面直线AQ与PB所成的角； ()求点P到平面QAD的距离解：（）连结AC、BD，设由PABCD与QABCD都是正四棱锥，所以PO平面ABCD，QO平面ABCD从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ平面ABCD（）由题设知，ABCD是正方形，所以ACBD 由（），QO平面ABCD 故可分别以直线CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），QBCPADzyxO由题条件，相关各点的坐标分别是P（0，0，2），A（，0，0），Q（0，0，2），B（0，0）所以故直线AQ与PB所成的角是()由（），点D（0，0），设是平面QAD的一个法向量，由得取x=1，得所以点P到平面QAD的距离【点晴】本小题坐标系的建立还可以与ABCD的边平行，同学们不妨一试。注意如何使用向量形式下求各种距离的问题，其中求法向量向量解决几何问题的关键。【范例4】如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，。（）、试确定，使直线与平面所成角的正切值为；（）、在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于，并证明你的结论。解：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,),C(0,1,0), D(0,0,0), B1(1,1,1),D1(0,0,1)所以又由的一个法向量设与所成的角为，则依题意有：，解得故当时，直线。（）若在上存在这样的点，设此点的横坐标为，则。依题意，对任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP。等价于即为的中点时，满足题设的要求【点晴】空间向量解决立体几何的开放性或探索性问题的关键是对未知点坐标的设法，从而建立方程得以解决，注意总结各种常见类型的坐标系以及坐标系各种点坐标的寻求。【文】如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点（）求证AM平面BDE；（）求二面角ADFB的大小；（）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60。解：（）建立如图所示的空间直角坐标系设，连接NE，则点N、E的坐标分别是（、（0,0,1）, NE=(,又点A、M的坐标分别是（）、（ =（NE=AM且NE与AM不共线， NEAM又平面BDE， 平面BDE，AM平面BDF（）AFAB，ABAD，AFAB平面ADF为平面DAF的法向量NEDB=（=0，NENF=（=0得NEDB，NENF，NE为平面BDF的法向量cos=，AB与NE的夹角是60即所求二面角ADFB的大小是60（）设P(t,t,0)(0t)得CD=（，0，0）又PF和CD所成的角是60解得或（舍去），即点P是AC的中点 【点晴】本题前两个小题较简单，（）用到了立体几何的判定定理；（）注意法向量的求法；（）用未知数设不定点是空间向量解决立体几何问题的难点，注意总结各种常见类型的坐标系以及坐标系各种点坐标的寻求。自我提升1如果向量a=(1,0,1),b=(0,1,1)分别平行于平面,且都与此两平面的交线l垂直,则二面角-l-的大小是 ( D )A 90 B 30 C45 D60A1CBAB1C1D1DO2已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的 中点，则直线AD 与平面B1DC所成角的正弦值为（ D ）A B C D3如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1中心，则O到平面ABC1D1的距离为（ B ）A B C D4在正方体ABCD-A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1-BD-A的正切值为（ B ） A1 B C D25正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，那么（1） 直线BA1与CC1所成角的大小为 45 。（2） 直线BA1与B1C所成角的大小为 60 。（3） 异面直线BC与AA1的距离为 a 。（4） 异面直线BA1与CC1的距离为 a 。6已知直四棱柱中，底面是直角梯形,则异面直线与所成的角为 arccos 。7如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，（）求证：面；（）求二面角的大小；（）求三棱锥的体积。方法一解：（）证明：取的中点，连结分别为的中点面，面面面 面（）设为的中点 为的中点 面作，交于，连结，则由三垂线定理得，从而为二面角的平面角。在中，从而在中，故二面角的大小为（）作，交于，由面得面在中，方法二：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系，则分别是的中点（）, 取，显然面， 又面 面（）过作，交于，取的中点，则设，则又由，及在直