现代数字信号处理1-6章习题答案.doc

第一章 第二章21已知是一平稳随机信号，取1、0、-1三个值的概率相等。用对载波进行调制后在噪声信道中传输。接受信号为式中是方差为的零均值白色高斯噪声，与相互独立。上式用矢量表示为 （1） 求条件概率函数。（2） 由求的四种估计：最大后验概率估计，最大似然估计，最小均方误差估计，最小线性均方误差估计。并用图形对它们进行比较。解：（1） 先求，显然在这种情况下，是一个的正态随机矢量， 求。=已知简记 根据全概率公式，得： 记，则由的分布律，我们可以容易得到（2） 求最大似然估计已知：求最小均方误差估计求线性均方误差最小估计已知 ， 将 题2。2解：以知设取题23 答案：设 解：由信号模型可得系统传输函数：=S对进行谱分解:由得解得可行解 对进行因果和逆因果分解： 因果部分 =若用作的估计，则估计误差为 解:已知卡尔曼滤波标准形式为： 由模型可知： a=0.6 c=1G与f的关系为： f=a(1-cG)=0.3 将数值代入得： 物理解释： (1) 式中第一部分 是对的预测(2) 式中第二部分是在取得第n时刻的观测值，计算观测值和预测值的误差。(3) 系数0.5是对预测误差的修正，以期滤波误差能在最小均方差意义下最小。 解：由题意得： a=0.95 c=1 二次方程为 Q=（取正解）解得： =0.31225 ： 答案 由上述递推公式和初始条件，可得n012PGn345pG题由于在实际中常需对非随机信号进行滤波，故采用互补型维纳滤波，其中有两个滤波器，一个为高通，另一个为低通。但这时由于输入的信号是非平稳的，故不能直接进行维纳滤波，这样就需对滤波模型进行改进。采用图中的模型后，维纳滤波器的输入就为平稳的随机信号，符合维纳滤波理论。第三章31解：(1):由题设：h(n) = y(n)= 则u (n) =h (n) y (n) 所以可得最陡下降法解：h (n=1) =h+(I-2R)h(0)- h-1 其中R= = （2）：h= RP = = （3）：由于R= 则可得=1，=5；所以的取值范围为：0n 当= 时迭代公式收敛。n（4）：=时h(n) + h (0) h (0) 32解：（1） 空（2） e(n) = x(n)-y(n)2e(n-1)y(n-1)+h(n-1) = x(n)-u(n)2e(n-1)y(n-1)+h(n-1) 对e(n)进行z变换： e(Z) = x(z) - 2Ze(Z) - Zh(Z)由h(n)=2e(n-1)u(n-1)+h(n-1)得 h(Z)=2Ze(Z) + Zh(Z) h(Z)=所以：e (Z) = x (Z)-2Ze(Z)- ZH(Z) = 所以零点在单位园上，极点在Z = 1-2园上。（3）：要使H(Z)稳定，则极点在单位园内即： 3.3(1)性能曲面函数： (2)误差性能曲面matlab程序：(3) (4) (5) 3.4 36 解：（1） 3.11答案：（2）（3）求加权系数表达式 要求3.12答案：3.15解：（1）由题意，是两系数自适应线性组合器，则即性能曲面表示式。（2）由（1）知，不是和的二次函数。4.2解：设 ARMA(1,1)模型的传输系数为：则：所以：由自相关函数的偶对称性得： （1） 而又由： （2）所以：可以得到递推关系试： 若用AR()来逼近ARMA(1,1)则由Yule-Walker方程： 可以由递推关系写成矩阵形式： = 矩阵中当P 时即可得到AR()逼近ARMA(1,1)时系数所对应的关系。43证明： 设AR模型要模拟的过程为AR(p)过程，且用AR(p)模型可以精确模拟AR(p)过程 其预测误差为： 取线性预测系数等于AR模型的参数则: 命题得证 解： （） +流程图： x (n) +(2) 功率谱为：4.44.5为张金林、王成所做4.4由公式得：R(0)=1; R(1)= -; R(2)=; AR(0): =R(0)=1 AR(1): D=a*R(1)= - r1 （）：一阶预测误差滤波器：预测误差滤波器： （）格型滤波器的原理图如下： x(n) 4.5 AR(0): AR(1) AR(2) 474。9为汪枫、李广柱所做4.7 解：模型的传输函数为： 其模型输出功率谱为： 是随机过程自相关函数的个取样值位置变换而来，即： 由(1)、(2)式，得 当(1)mp ,418 举一反例证明在自相关法利用自相关函数的无偏估计将不能保证Yule-Walker方程的系数矩阵正定。 解：设数据序列，则其自相关的无偏估计为： 可求得： ，显然，Yule-Walker 方程的系数矩阵为： 非正定。反之，若采用自相关的渐近无偏估计，可计算得 ， ， 则，Yule-Walker 方程的系数矩阵为： 正定。419 试证明矩阵的维数为且数据由p-1或更少的复正弦波构成时协方差法中的矩阵是奇异的。证明： 设数据由p-1个复争正弦波组成，则协方差法中的元素 420 试证明：Burg法估计的反射系数的模总是小于或等于1的。 证： 得证。421 以AR（3）为例，证明格形滤波器中各阶反向预测误差是互相正交的。证明：以AR（3）为例，得到格形滤波器的各阶反向预测误差为： 则由二阶Yule-Walker方程 知 代入上式，则同理可证，与正交， 与正交。故命题成立。第六章1 解：设最小相位信号为，其中，。为简化起见，简记，则最大相位信号为：；混合相位信号为：；。证明： 2 证明： 3 证明： 由傅立叶变换的性质，将上述双谱的等式进行傅立叶反变换，可导出三阶相关的关系式，即有： 4 证明： 所以，和具有相同的谱。 5 证明：记 ，； ，。现考察： 6 证明统计独立的两个随机矢量“和的累量等于累量的和”。 证明：设两随机矢量为和，它们的累量生成函数分别为：和，则： 7 解：由闭合公式，计算： ； ； 。； 8 解：由公式也即：两边同除以，并记，可得：取分别代入，并计算： ； ； 。故得到方程组：解之可得： 9 解： 由四阶闭合公式