04变形体静力学基础

1,4.6一点的应力和应变,4.7变形体静力学分析,4.1变形固体的力学分析方法,4.2基本假设,4.3内力、截面法,4.4杆件的基本变形,4.5杆的轴向拉伸和压缩,第四章变形体静力学基础,4.8应力集中的概念,2,前一章，将物体视为刚体，讨论其平衡。事实上，总有变形发生，还可能破坏。本章讨论的研究对象是变形体。属于固体力学的范畴。不再接受刚体假设。,以变形体为研究对象的固体力学研究基本方法，包括下述三个方面的研究：1）力和平衡条件的研究2）变形几何协调条件的研究3）力与变形之关系的研究先以一个例子说明方法：,第四章变形体静力学基础,4.1变形固体的力学分析方法,3,例1长2L的木板由二个弹性常数为k、自由长度为h的拉压弹簧支承。若有一人从板中央向一端缓慢行走，试求板与地面刚刚接触时，人所走过的距离x。,解：设人重为W，板重不计讨论板与地面刚接触的临界状态，板受力如图。,1）力的平衡条件：由平衡方程有：Fy=FB-FA-W=0MA(F)=2aFB-(x+a)W=0,二个平衡方程，三个未知量：x、FA、FB，不可解。需考虑变形。板可作刚体处理，只考虑弹簧的变形。,4,弹簧A、B的变形为A=hA-h(受拉伸长)-(4)及B=h-hB(受压缩短)-(5),2）变形几何协调条件：刚性板保持为直板，二弹簧变形后应满足的几何条件是：,3）力与变形间的物理关系对于弹簧，力与变形间的关系为：FA=kA-(6)FB=kB-(7),hB/hA=(L-a)/(L+a)(x0)-(3),5,综合考虑平衡条件、变形几何关系、物理关系后，得到七个方程，可求出FA、FB、A、B、hA、hB、x等全部未知量。,将x代入平衡方程，即可求得FA、FB。,6,各有关参数的影响：弹簧自由长度h越大、弹簧刚度k越大、人的体重W越小，可以走过的距离x越大。x之值与a2成正比，与板长L成反比。,结果讨论与分析一：,正确性条件：x0否则变形几何条件(3)不适用hW/2k,特例：当L=(2hk/W-1)a时，x=a，即在某特定板长下，人走到B处板即触地。,7,-（b）,结果讨论与分析二：,xa时，A0，弹簧A变形如图，是伸长。,B0。弹簧B变形与假设一致，受压。且x，B。,xL2=L3；,4.5杆的轴向拉伸和压缩,19,是材料的一种应力应变关系模型，称为线性弹性应力应变（物理）关系模型。,轴向拉压杆的应力、应变和变形L可表达为：,EA是抗拉刚度，反映材料抵抗拉压变形的能力。,=E,20,EA是抗拉刚度，反映材料抵抗拉压变形的能力。,FN、L、E、A改变，则须分段计算。,轴向拉压杆变形分析汇总：,求轴力FN？,21,2）求各段应力：AB=FNAB/A1=40103N/(32010-6)m2=125106Pa=125MPaBC=FNBC/A2=40103/(80010-6)=50MPaCD=FNCD/A2=48103/(80010-6)=60MPa,解：1）求内力(轴力)，,例4.7杆AB段为钢制，横截面积A1=320mm2，BD段为铜，A2=800mm2，E钢=210GPa；E铜=100GPa；l=400mm。求杆各段的应力、应变和总伸长量AD。,画轴力图。,22,5）杆的总伸长为：lAD=lAB+lBC+lCD=0.68mm,3）求各段应变：eAB=sAB/E钢=125/(210103)0.610-3,4）求各段伸长：注意:l=el=sl/E=FNl/AElAB=eABlAB=0.610-3400mm=0.24mm,lBC=eBClBC=0.2mm；lCD=eCDlCD=0.24mm,eBC=sBC/E铜=50/(100103)=0.510-3eCD=sCD/E铜=0.610-3,23,讨论：杆受力如图。BC段截面积为A，AB段截面积为2A，材料弹性模量为E。欲使截面D位移为零，F2应为多大？,解：画轴力图。,有D=lAD=lAB+lBD=FNABl/E(2A)+FNBDl/EA,注意：固定端A处位移为零。,24,一、应力内力连续分布在截面上，截面法确定的是内力的合力。,T是矢量，法向分量称正应力；切向分量称剪应力。,25,注意：一般情况下，内力非均匀分布，截面各点应力不同。,2）轴向拉压杆横截面上的应力,截面上只有轴力，故应力为正应力。变形沿轴向是均匀的，故在横截面上均匀分布。,因为s=const，故有：,26,3）一点的应力状态,单向拉压杆横截面上只有正应力。故A点的应力状态可用由横截面、水平面截取的微小单元体上的应力描述，是单向应力状态。,一点的应力状态用围绕该点截取的微小单元体上的应力来描述。单元体尺寸微小，各面上的应力可认为是均匀的。,由定义有：故可知，一点的应力与过该点之截面的取向有关。,27,设s已知，A点在法向与轴线夹角之截面上应力为、，,斜截面上的应力：,Fx=(dx/sin)1cos,注意式中各项是力的投影分量。,由单位厚度微元力的平衡条件可得：,+(dx/sin)1sin-(dx/tg)1=0,Fy=(dx/sin)1sin-(dx/sin)1cos=0,cosa,28,=0时：=，=0，横截面上正应力最大；,求得A点在与轴线夹角为之截面上的应力为:=(1+cos2)/2；=sin2/2,如铸铁试样受压时，=45斜截面上的应力和为：=-/2;=-/2铸铁抗压能力远大于抗剪或抗拉能力，故实验时先发生与轴线大约成45，剪切破坏。,即拉压杆斜截面上有正应力和剪应力。,=45时：=/2，=/2。故45斜截面上剪应力最大，且max=/2。,29,变形：物体受力后几何形状或尺寸的改变。用应变表示，如拉压杆（应变=l/l0），与几何尺寸无关。,一点的应变可由考查该点附近小单元体的变形而定义。变形包括单元体尺寸和形状二种改变。,线应变、剪应变分别与s、t的作用相对应。,二、应变,30,再论利用力的平衡、变形几何协调及力与变形间的关系，分析变形体静力学问题的基本方法。,例4.9图中BD杆直径d=25mm，CD杆为3080mm矩形截面，弹性模量E=200GPa，求D点的位移。,4.7变形体静力学分析,31,由力与变形间的物理关系知各杆变形为：lBD=FNBDlBD/E(d2/4)=1.34410-3mlCD=FNCDlCD/EACD=-0.137510-3m,故变形后D点的位移为：水平位移：u=DD2=lCD=0.137mm()垂直位移：v=D2H+HD=DD1/cosa+DD2=lBD/cos45+lCD=2.038mm(),3）变形几何协调条件：(求位移),变形后D点应移至分别以B、C为圆心，以杆变形后的长度为半径的二圆弧交点D处。变形量与原尺寸相比很小，用切线代替圆弧。几何关系如放大图。,32,静定问题,二个物体，6个平衡方程三处铰链，6个约束力问题是静定的。,变形体力学静定问题的求解方法为：,33,求出内力后，应力、变形和位移显然不难求得。,34,静不定结构可减小构件内力，增加刚度，减小变形。,若去掉杆1，成为静定结构，则：F2=3F/2；FAy=-F/2。,3个物体，9个平衡方程；5处铰链，10个约束反力。问题是一次静不定的。,静不定问题，反力、内力、应力均与材料有关。,这就是与前面刚体假设的不同之处,35,解：温度升高时，杆BC要伸长。二端约束限制伸长，引起约束反力。约束反力作用的结果是使杆在轴向受压缩短，故二端约束力如图。,无外力作用时，温度变化在静不定构件内引起的应力。,轴力FN=F，故杆的缩短为：LR=FL/EA,温度应力,36,约束使杆长不变，必有：LT=LR,3）变形几何协调条件,即：TL=FL/EA,故得到二端约束反力为：F=TEA杆内的应力（压应力）为：=F/A=TE,37,由于尺寸误差而强迫装配时，在结构内引入的应力。,解：强迫安装时，杆2受拉伸长，杆1、3受压缩短。,装配应力,38,3）力与变形的关系,1=F1L/EA；2=F2L/EA即有：F1L/EA+F2L/EA=注意F2=2F1解得：F1=EA/3L(压力)F2=2EA/3L(拉力),各杆应力为：1=F1/A=E/3L=0.510-3200109/31=33.3106Pa=33.3MPa(压应力)2=F2/A=2E/3L=66.7MPa(拉应力),39,静定和静不定问题解题方法的同异：,基本方程都是:平衡方程、物理方程和几何方程。,40