Cllx弯曲变形

,第八章弯曲变形,材料力学,81概述82梁的挠曲线近似微分方程及其积分83求梁的挠度与转角的共轭梁法,84按叠加原理求梁的挠度与转角,85梁的刚度校核,第八章弯曲变形,86梁内的弯曲应变能,87简单超静定梁的求解方法,88梁内的弯曲应变能,8概述,弯曲变形,研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。研究目的：对梁作刚度校核；解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。,上一章的分析结果表明，在平面弯曲的情形下，梁的轴线将弯曲成平面曲线。如果变形太大，也会影响构件正常工作。因此，对机器中的零件或部件以及土木工程中的结构构件设计时，除了满足强度要求外，还必须满足一定的刚度要求，即将其变形限制在一定的范围内。为此，必须分析和计算梁的变形。,另一方面，某些机械零件或部件，则要求有较大的变形，以减少机械运转时所产生的振动。汽车中的钣簧即为一例。这种情形下也需要研究变形。,此外，求解静不定梁，也必须考虑梁的变形以建立补充方程。,弯曲变形,1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用v表示。与f同向为正，反之为负。,2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用表示，顺时针转动为正，反之为负。,二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。其方程为：v=f(x),三、转角与挠曲线的关系：,弯曲变形,一、度量梁变形的两个基本位移量,小变形,8-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分,一、挠曲线近似微分方程,式（2）就是挠曲线近似微分方程。,弯曲变形,小变形,对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：,二、求挠曲线方程（弹性曲线）,1.微分方程的积分,弯曲变形,2.位移边界条件,支点位移条件：,连续条件：,光滑条件：,弯曲变形,讨论：,弯曲变形,可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。,积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条件）确定。,优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁。,适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。,例1求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。,建立坐标系并写出弯矩方程,写出微分方程的积分并积分,应用位移边界条件求积分常数,弯曲变形,解：,L,写出弹性曲线方程并画出曲线,最大挠度及最大转角,弯曲变形,解：建立坐标系并写出弯矩方程,写出微分方程的积分并积分,弯曲变形,应用位移边界条件求积分常数,弯曲变形,写出弹性曲线方程并画出曲线,最大挠度及最大转角,弯曲变形,例题2,求：加力点B的挠度和支承A、C处的转角。,已知：简支梁受力如图示。FP、EI、l均为已知。,弯曲变形,解：1确定梁约束力,因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段建立弯矩方程。,首先，应用静力学方法求得梁在支承A、C二处的约束力分别如图中所示。,2分段建立梁的弯矩方程,AB段,BC段,3将弯矩表达式代入小挠度微分方程并分别积分,弯曲变形,积分后，得,其中，C1、D1、C2、D2为积分常数，由支承处的约束条件和AB段与BC段梁交界处的连续条件确定确定。,4利用约束条件和连续条件确定积分常数,在支座A、C两处挠度应为零，即,x0，w10;xl，w20,因为，梁弯曲后的轴线应为连续光滑曲线，所以AB段与BC段梁交界处的挠度和转角必须分别相等:,xl/4，w1w2;xl/4，1=2,弯曲变形,D1D2=0,5确定转角方程和挠度方程以及指定横截面的挠度与转角,将所得的积分常数代入后,得到梁的转角和挠度方程为：,AB段,BC段,据此，可以算得加力点B处的挠度和支承处A和C的转角分别为,弯曲变形,弯曲变形,确定约束力,判断是否需要分段以及分几段,分段建立挠度微分方程,微分方程的积分,利用约束条件和连续条件确定积分常数,确定挠度与转角方程以及指定截面的挠度与转角,积分法小结,分段写出弯矩方程,8-3按叠加原理求梁的挠度与转角,一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。,二、结构形式叠加（逐段刚化法）：,弯曲变形,例4按叠加原理求A点转角和C点挠度。,解、载荷分解如图,由梁的简单载荷变形表，查简单载荷引起的变形。,弯曲变形,q,P,P,=,+,A,A,A,B,B,B,C,a,a,弯曲变形,q,P,P,=,+,A,A,A,B,B,B,C,a,a,叠加,例6结构形式叠加（逐段刚化法)原理说明。,=,+,弯曲变形,例7利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的中间铰梁铰接点B处的挠度和B点右截面的转角以及D截面的挠度，其中：F=2qa。,解：可在铰接点处将梁分成图a和b所示两部分，并可求得铰接点处的一对作用力与反作用力为：,q,弯曲变形,+,图a和b中分别给出了两部分的变形情况。,(c),并且图b又可分解为图c所示两种载荷的组合。,弯曲变形,（1）对图b，可得其B截面的挠度和转角为：,进行相应的叠加可得：,（向下）,（逆时针）,弯曲变形,（2）图a可看成为右支座有一定竖直位移（位移量为wB）的简支梁，此时D截面的挠度为：,（向下）,弯曲变形,弯曲变形,对于间断性分布载荷作用的情形，根据受力与约束等效的要求，可以将间断性分布载荷，变为梁全长上连续分布载荷，然后在原来没有分布载荷的梁段上，加上集度相同但方向相反的分布载荷，最后应用叠加法。,叠加法还可应用于间断性分布载荷作用的情形,8-4梁的刚度校核,一、梁的刚度条件,其中称为许用转角；f/L称为许用挠跨比。通常依此条件进行如下三种刚度计算：,、校核刚度：,、设计截面尺寸；、设计载荷。,弯曲变形,(但：对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。特殊构件例外）,例7下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C点的f/L=0.00001,B点的=0.001弧度,试核此杆的刚度。,=,+,+,=,弯曲变形,=,+,+,图1,图2,图3,解：结构变换，查表求简单载荷变形。,弯曲变形,=,+,+,图1,图2,图3,弯曲变形,叠加求复杂载荷下的变形,校核刚度,弯曲变形,一、弯曲应变能的计算：,85梁内的弯曲应变能,弯曲变形,应变能等于外力功。不计剪切应变能并略去,例8用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。,解：外力功等于应变能,在应用对称性，得：,思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？,弯曲变形,二、梁的冲击问题,1.假设：冲击物为钢体；不计被冲击物的重力势能和动能；冲击物不反弹；不计声、光、热等能量损耗（能量守恒）。,弯曲变形,弯曲变形,冲击前、后，能量守恒，所以：,三、动响应计算：,解：求C点静挠度,动响应计算等于静响应计算与动荷系数之积.,例9结构如图，AB=DE=L，A、C分别为AB和DE的中点，求梁在重物mg的冲击下，C面的动应力。,弯曲变形,动荷系数,求C面的动应力,弯曲变形,静不定次数未知力个数与独立平衡方程数之差,静定问题与静定结构未知力（内力或外力）个数等于独立的平衡方程数,静不定问题与静不定结构未知力个数多于独立的平衡方程数,多余约束保持结构静定多余的约束,弯曲变形,8-6简单超静定梁的求解方法,静定与静不定问题的辩证关系,由于多余约束的存在，使问题由静力学可解变为静力学不可解，这只是问题的一个方面。问题的另一方面是，由于多余约束对结构位移或变形有着确定的限制，而位移或变形又是与力相联系的，因而多余约束又为求解静不定问题提供了条件。,弯曲变形,求解静不定问题的基本方法,根据以上分析，求解静不定问题除了平衡方程外，还需要根据多余约束对位移或变形的限制，建立各部分位移或变形之间的几何关系，即建立几何方程，称为变形协调方程,并建立力与位移或变形之间的物理关系，即物理方程或称本构方程。将这二者联立才能找到求解静不定问题所需的补充方程。,可见，求解静不定问题，需要综合考察结构的平衡、变形协调与物理等三方面，这就是求解静不定问题的基本方法。,弯曲变形,1、处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。,解：建立静定基,确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的结构静定基。,=,弯曲变形,A,B,几何方程变形协调方程,+,弯曲变形,=,物理方程变形与力的关系,补充方程,求解其它问题（反力、应力、变形等）,几何方程变形协调方程：,解：建立静定基,=,例10结构如图，求B点反力。,LBC,弯曲变形,C,=,+,=,LBC,弯曲变形,C,+,物理方程变形与力的关系,补充方程,求解其它问题（反力、应力、变形等）,1.基本概念：,超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁,多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束,超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。,2.求解方法：,解除多余约束，建立相当系统比较变形，列变形协调条件由物理关系建立补充方程利用静力平衡条件求其他约束反力。,相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统,7-6,弯曲变形,解,例5求梁的支反力，梁的抗弯刚度为EI。,1）判定超静定次数,2）解除多余约束，建立相当系统,3）进行变形比较，列出变形协调条件,弯曲变形,4）由物理关系，列出补充方程,所以,4）由整体平衡条件求其他约束反力,弯曲变形,例6梁AB和BC在B处铰接，A、C两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F=40kN，q=20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。,从B处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。,变形协调方程为：,物理关系,解,弯曲变形,代入得补充方程：,确定A端约束力,弯曲变形,确定B端约束力,弯曲变形,A、B端约束力已求出,最后作梁的剪力图和弯矩图,弯曲变形,8-7如何提高梁的承载能力,强度：正应力：,剪应力：,刚度：,稳定性：,都与内力和截面性质有关。,弯曲变形,弯曲变形,一、选择梁的合理截面,矩形木梁的合理高宽比,北宋李诫于1100年著营造法式一书中指出:矩形木梁的合理高宽比(h/b=)1.5,英(T.Young)于1807年著自然哲学与机械技术讲义一书中指出:矩形木梁的合理高宽比为,一般的合理截面,弯曲变形,1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面,弯曲变形,弯曲变形,工字形截面与框形截面类似。,弯曲变形,2、根据材料特性选择截面形状,如铸铁类材料，常用T字形类的截面，如下图：,二、采用变截面梁,最好是等强度梁，即,若为等强度矩形截面，则高为,同时,弯曲变形,三、合理布置外力（包括支座），使Mmax尽可能小。,弯曲变形,四、梁的侧向屈曲,1.矩形纯弯梁的临界载荷,弯曲变形,2