复变函数论第4章

第四章解析函数的幂级数表示法,1复级数的基本性质2幂级数3解析函数的泰勒展式*4解析函数零点的孤立性及唯一性定理,4.1复级数的基本性质,1、复数项级数,3、解析函数项级数,2、一致收敛的复函数项级数,(1)定义,表达式,称为复数项级数.,称为级数的部分和.,部分和：,1、复数项级数,若部分和数列sn(n=1,2,)有极限s(有限复数),即,则称复数项无穷级数收敛于s,若部分和数列sn无有限极限,则称级数为发散.,(2)收敛与发散（敛散性）,注：与实数项级数相同,判别复数项级数敛散性的基本方法是:,充要条件,必要条件,复数项级数收敛的条件,解,例1,所以原级数发散,补充证明：调和级数是发散的。,证：调和级数的部分和有：,由数学归纳法，得：,而,故不存在，即调和级数发散。,补充求：等比级数的敛散性。,解：等比级数的部分和为：,已利用等比数列求和公式：,综上所述，当公比|r|1时，等比级数收敛；当公比|r|1时，等比级数发散。,如果收敛,那末称级数为绝对收敛.,绝对收敛条件收敛,非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.,绝对收敛与条件收敛,例2,解:,例3,故原级数收敛,且为绝对收敛.,因为,所以由正项级数的比值判别法知:,解,称为这级数的部分和.,其中各项在区域D内有定义.表达式,称为复变函数项级数,记作,(3)复变函数项级数,4.2幂级数,1、幂级数的敛散性2、收敛半径R的求法3、幂级数和的解析性4、例题5、小结,的级数称为幂级数.,1)幂级数的定义,在复变函数项级数中,形如,1、幂级数的敛散性,-阿贝尔Abel定理,2)收敛定理,1)收敛圆与收敛半径,对于一个幂级数,其收敛半径的情况有三种:,对所有的正实数都收敛.即级数在复平面内处处收敛.,此时,级数在复平面内除原点外处处发散.,2、收敛半径R的求法,.,.,收敛圆,收敛半径,收敛圆周,方法1:比值法,方法2:根值法,那末收敛半径,那末幂级数的收敛半径为：,2）收敛半径R的求法,3)幂级数的运算与性质,(2)幂级数的代换(复合)运算,4)复变幂级数在收敛圆内的解析性,(3),在收敛圆内可以逐项积分,即,或,定理4.13(1)幂级数,(4.5),的和函数f(z)在其收敛圆K:|z-a|R(0R+)内解析.,3、幂级数和的解析性,(2)在K内,幂级数(4.5)可以逐项求导至任意阶,即：,(p=1,2,)(4.6),(3)(p=0,1,2,).(4.7),4、典型例题,例1求幂级数,的收敛范围与和函数.,解,级数的部分和为,级数,收敛,级数,发散.,且有,在此圆域内,级数绝对收敛,收敛半径为1,或,因为,所以收敛半径,所以原级数在收敛圆上是处处收敛的.,级数,说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点,也有级数的发散点.,原级数成为,交错级数,收敛.,发散.,原级数成为,调和级数，,(2),故收敛半径,解,解,所以,解,代数变形,使其分母中出现,凑出,级数收敛,且其和为,解,利用逐项积分,得:,所以,解,例8计算,解,5、小结与思考,这节课我们学习了幂级数的概念和阿贝尔定理等内容，应掌握幂级数收敛半径的求法和幂级数的运算性质.,思考题,幂级数在收敛圆周上的敛散性如何断定?,4.3解析函数的泰勒展式,1、泰勒定理2、一些初等函数的泰勒展式3、解析函数展为幂级数的方法,(4.9),D,定理：设f(z)在区域D内解析,aD,只要K:|z-a|R含于D,则f(z)在K内能展成如下幂级数,(4.8),其中系数,且展式是唯一的.,1、泰勒定理,K,a,定义：(4.8)称为f(z)在点a的泰勒展式,(4.9)称为其泰勒系数,而(4.8)右边的级数,则称为泰勒级数.,例1求函数在z=0的泰勒展式。,解：由于,所以,因此,2、一些初等函数的泰勒展式,利用定义求法利用已知的展开式来求利用级数的乘除运算求法利用待定系数利用逐项求导、逐项积分法利用微分方程求法,3、解析函数展为幂级数或泰勒级数的方法,例2展开函数成的幂级数到项.,解,由此得,所以,利用定义来求.,分析：采用间接法即利用已知的展开式来求.,解,例3求在的泰勒展式.,由于,例4,分析：利用级数的乘除运算较为简单.,解,故乘积也绝对收敛.,例5,设,又,由泰勒展式的唯一性,又,所以,解利用待定系数法,比较两端系数得,例6函数secz在内解析，求它在这个圆盘内的泰勒展式。,解：我们利用幂级数的唯一性和除法来求它的泰勒展式，设,但是，我们有,因此，,故可以通过比较系数法或直接除法确定这些系数，可以得到,例7,分析：利用