模糊数学-2013

模糊理论的数学基础,模糊数学模糊性问题；经典数学精确性问题例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”.模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的应用.,经典集合具有两条基本属性：元素彼此相异，即无重复性；范围边界分明,即一个元素x要么属于集合A(记作xA),要么不属于集合(记作xA)，二者必居其一.,经典集合,1.集合的表示法：(1)枚举法，A=x1,x2,xn；(2)描述法，A=x|P(x).AB若xA，则xB；AB若xB，则xA；A=BAB且AB.,集合A的所有子集所组成的集合称为A的幂集，记为(A).并集AB=x|xA或xB；交集AB=x|xA且xB；余集Ac=x|xA.,2.集合的运算规律幂等律：AA=A，AA=A；交换律：AB=BA，AB=BA；结合律：(AB)C=A(BC)，(AB)C=A(BC)；吸收律：A(AB)=A，A(AB)=A；分配律：(AB)C=(AC)(BC)；(AB)C=(AC)(BC)；0-1律：AU=U，AU=A；A=A，A=；还原律：(Ac)c=A；对偶律：(AB)c=AcBc，(AB)c=AcBc；排中律：AAc=U，AAc=；,U为全集，为空集.,3.集合的直积：XY=(x,y)|xX,yY.,4.映射与扩张映射f：XY集合A的特征函数：,特征函数满足：,取大运算,如23=3,取小运算,如23=2,扩张：点集映射集合变换,5.二元关系,XY的子集R称为从X到Y的二元关系，特别地，当X=Y时，称之为X上的二元关系.二元关系简称为关系.若(x,y)R，则称x与y有关系，记为R(x,y)=1；若(x,y)R，则称x与y没有关系，记为R(x,y)=0.映射R:XY0,1，实际上是XY的子集R上的特征函数.,关系的三大特性：,设R为X上的关系(1)自反性：若X上的任何元素都与自己有关系R，即R(x,x)=1，则称关系R具有自反性；(2)对称性：对于X上的任意两个元素x,y，若x与y有关系R时，则y与x也有关系R，即若R(x,y)=1，则R(y,x)=1，那么称关系R具有对称性；(3)传递性：对于X上的任意三个元素x,y,z，若x与y有关系R，y与z也有关系R时，则x与z也有关系R，即若R(x,y)=1，R(y,z)=1，则R(x,z)=1，那么称关系R具有传递性.,关系的矩阵表示法,设X=x1,x2,xm,Y=y1,y2,yn，R为从X到Y的二元关系，记rij=R(xi,yj)，R=(rij)mn，则R为布尔矩阵(Boole)，称为R的关系矩阵.布尔矩阵(Boole)是元素只取0或1的矩阵.,关系的合成设R1是X到Y的关系,R2是Y到Z的关系,则R1与R2的合成R1R2是X到Z上的一个关系.(R1R2)(x,z)=R1(x,y)R2(y,z)|yY,关系合成的矩阵表示法,设X=x1,x2,xm,Y=y1,y2,ys,Z=z1,z2,zn，且X到Y的关系R1=(aik)ms，Y到Z的关系R2=(bkj)sn，则X到Z的关系可表示为矩阵的合成：R1R2=(cij)mn，其中cij=(aikbkj)|1ks.,定义：若R为n阶方阵，定义R2=RR，R3=R2R,例设X=1,2,3,4,Y=2,3,4,Z=1,2,3,R1是X到Y的关系,R2是Y到Z的关系,R1=(x,y)|x+y=6,=(2,4),(3,3),(4,2),R2=(y,z)|yz=1,=(2,1),(3,2),(4,3),则R1与R2的合成,R1R2=(x,z)|x+z=5,=(2,3),(3,2),(4,1).,合成()运算的性质：,性质1：(AB)C=A(BC)；性质2：AkAl=Ak+l，(Am)n=Amn；性质3：A(BC)=(AB)(AC)；(BC)A=(BA)(CA)；性质4：OA=AO=O，IA=AI=A；性质5：AB，CDACBD.,O为零矩阵，I为n阶单位方阵.ABaijbij.,关系三大特性的矩阵表示法：,设R为X=x1,x2,xn上的关系，则其关系矩阵R=(rij)nn为n阶方阵.,(1)R具有自反性IR；(2)R具有对称性RT=R；(3)R具有传递性R2R.,集合上的等价关系,设X上的关系R具有自反性、对称性、传递性，则称R为X上的等价关系.若x与y有等价关系R，则记为xy.集合上的等价类设R是X上的等价关系，xX.定义x的等价类：xR=y|yX，yx.集合的分类设X是非空集，Xi是X的非空子集，若Xi=X，且XiXj=(ij)，则称集合族Xi是集合X的一个分类.,Q2.模糊子集及其运算,1.模糊子集与隶属函数,设U是论域，称映射A(x)：U0,1确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的隶属函数，它表示x对A的隶属程度.使A(x)=0.5的点x称为A的过渡点，此点最具模糊性.当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子集，而A(x)就是它的特征函数.可见经典子集就是模糊子集的特殊情形.,例设论域U=x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为,也可用Zadeh表示法：,模糊集的运算,相等：A=BA(x)=B(x)；包含：ABA(x)B(x)；并：AB的隶属函数为(AB)(x)=A(x)B(x)；交：AB的隶属函数为(AB)(x)=A(x)B(x)；余：Ac的隶属函数为Ac(x)=1-A(x).,例设论域U=x1,x2,x3,x4,x5(商品集)，在U上定义两个模糊集：A=“商品质量好”，B=“商品质量坏”，并设,A=(0.8,0.55,0,0.3,1).B=(0.1,0.21,0.86,0.6,0).,则Ac=“商品质量不好”,Bc=“商品质量不坏”.,Ac=(0.2,0.45,1,0.7,0).Bc=(0.9,0.79,0.14,0.4,1).,可见AcB,BcA.,又AAc=(0.8,0.55,1,0.7,1)U,AAc=(0.2,0.45,0,0.3,0).,模糊集的并、交、余运算性质,幂等律：AA=A，AA=A；交换律：AB=BA，AB=BA；结合律：(AB)C=A(BC)，(AB)C=A(BC)；吸收律：A(AB)=A，A(AB)=A；分配律：(AB)C=(AC)(BC)；(AB)C=(AC)(BC)；0-1律：AU=U，AU=A；A=A，A=；还原律：(Ac)c=A；对偶律：(AB)c=AcBc，(AB)c=AcBc；,模糊集的运算性质基本上与经典集合一致，除了排中律以外，即AAcU，AAc.模糊集不再具有“非此即彼”的特点，这正是模糊性带来的本质特征.,Q3.模糊集的基本定理,模糊集的-截集A是一个经典集合，由隶属度不小于的成员构成.例：论域U=u1,u2,u3,u4,u5,u6(学生集)，他们的成绩依次为50,60,70,80,90,95，A=“学习成绩好的学生”的隶属度分别为0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.95，则,A0.9(90分以上者)=u5,u6,A0.6(60分以上者)=u2,u3,u4,u5,u6.,定理1设A,B(U)(A,B是论域U的两个模糊子集)，,0,1，于是有-截集的性质：,(1)ABAB；(2)AA；(3)(AB)=AB，(AB)=AB.,定理2(分解定理)设A(U)，xA，则A(x)=，0,1，xA定义(扩张原理)设映射f：XY，定义f(A)(y)=A(x)，f(x)=y,Q4.隶属函数的确定,1.模糊统计方法,与概率统计类似，但有区别：若把概率统计比喻为“变动的点”是否落在“不动的圈”内，则把模糊统计比喻为“变动的圈”是否盖住“不动的点”.,2.指派方法,一种主观方法，一般给出隶属函数的解析表达式。,3.借用已有的“客观”尺度,Q6.模糊矩阵,定义1设R=(rij)mn，若0rij1，则称R为模糊矩阵.当rij只取0或1时，称R为布尔(Boole)矩阵.当模糊方阵R=(rij)nn的对角线上的元素rii都为1时，称R为模糊自反矩阵.,定义2设A=(aij)mn,B=(bij)mn都是模糊矩阵，相等：A=Baij=bij；包含：ABaijbij；并：AB=(aijbij)mn；交：AB=(aijbij)mn；余：Ac=(1-aij)mn.,模糊矩阵的并、交、余运算性质,幂等律：AA=A，AA=A；交换律：AB=BA，AB=BA；结合律：(AB)C=A(BC),(AB)C=A(BC)；吸收律：A(AB)=A，A(AB)=A；分配律：(AB)C=(AC)(BC)；(AB)C=(AC)(BC)；0-1律：AO=A，AO=O；AE=E，AE=A；还原律：(Ac)c=A；对偶律：(AB)c=AcBc,(AB)c=AcBc.,模糊矩阵的合成运算与模糊方阵的幂,设A=(aik)ms，B=(bkj)sn，定义模糊矩阵A与B的合成为：AB=(cij)mn，其中cij=(aikbkj)|1ks.,模糊方阵的幂定义：若A为n阶方阵，定义A2=AA，A3=A2A，Ak=Ak-1A.,合成()运算的性质：,性质1：(AB)C=A(BC)；性质2：AkAl=Ak+l，(Am)n=Amn；性质3：A(BC)=(AB)(AC)；(BC)A=(BA)(CA)；性质4：OA=AO=O，IA=AI=A；性质5：AB，CDACBD.,注：合成()运算关于()的分配律不成立，即(AB)C(AC)(BC),模糊矩阵的转置,定义设A=(aij)mn,称AT=(aijT)nm为A的转置矩阵，其中aijT=aji.,转置运算的性质：,性质1：(AT)T=A；性质2：(AB)T=ATBT，(AB)T=ATBT；性质3：(AB)T=BTAT；(An)T=(AT)n；性质4：(Ac)T=(AT)c；性质5：ABATBT.,模糊矩阵的-截矩阵,定义7设A=(aij)mn,对任意的0,1，称A=(aij()mn,为模糊矩阵A的-截矩阵,其中当aij时，aij()=1；当aij时，aij()=0.显然，A的-截矩阵为布尔矩阵.,对任意的0,1，有,性质1：ABAB；性质2：(AB)=AB，(AB)=AB；性质3：(AB)=AB；性质4：(AT)=(A)T.,Q7.模糊关系,与模糊子集是经典集合的推广一样，模糊关系是普通关系的推广.,设有论域X，Y，XY的一个模糊子集R称为从X到Y的模糊关系.模糊子集R的隶属函数为映射R:XY0,1.并称隶属度R(x,y)为(x,y)关于模糊关系R的相关程度.特别地，当X=Y时，称之为X上各元素之间的模糊关系.,模糊关系的运算,由于模糊关系R就是XY的一个模糊子集，因此模糊关系同样具有模糊子集的运算及性质.,设R，R1，R2均为从X到Y的模糊关系.相等：R1=R2R1(x,y)=R2(x,y)；包含：R1R2R1(x,y)R2(x,y)；并：R1R2的隶属函数为(R1R2)(x,y)=R1(x,y)R2(x,y)；交：R1R2的隶属函数为(R1R2)(x,y)=R1(x,y)R2(x,y)；余：Rc的隶属函数为Rc(x,y)=1-R(x,y).,(R1R2)(x,y)表示(x,y)对模糊关系“R1或者R2”的相关程度，(R1R2)(x,y)表示(x,y)对模糊关系“R1且R2”的相关程度，Rc(x,y)表示(x,y)对模糊关系“非R”的相关程度.,模糊关系的矩阵表示,对于有限论域X=x1,x2,xm和Y=y1,y2,yn，则X到Y模糊关系R可用mn阶模糊矩阵表示，即R=(rij)mn，其中rij=R(xi,yj)0,1表示(xi,yj)关于模糊关系R的相关程度.又若R为布尔矩阵时,则关系R为普通关系,即xi与yj之间要么有关系(rij=1),要么没有关系(rij=0).,例设身高论域X=140,150,160,170,180(单位：cm),体重论域Y=40,50,60,70,80(单位：kg),下表给出了身高与体重的模糊关系.,模糊关系的合成,设R1是X到Y的关系,R2是Y到Z的关系,则R1与R2的合成R1R2是X到Z上的一个关系.(R1R2)(x,z)=R1(x,y)R2(y,z)|yY当论域为有限时，模糊关系的合成化为模糊矩阵的合成.设X=x1,x2,xm,Y=y1,y2,ys,Z=z1,z2,zn，且X到Y的模糊关系R1=(aik)ms，Y到Z的模糊关系R2=(bkj)sn，则X到Z的模糊关系可表示为模糊矩阵的合成：R1R2=(cij)mn，其中cij=(aikbkj)|1ks.,模糊关系合成运算的性质,性质1：(AB)C=A(BC)；性质2：A(BC)=(AB)(AC)；(BC)A=(BA)(CA)；性质3：(AB)T=BTAT；性质4：AB，CDACBD.,注：(1)合成()运算关于()的分配律不成立,即(AB)C(AC)(BC)(2)这些性质在有限论域情况下,就是模糊矩阵合成运算的性质.,Q8.模糊等价矩阵,模糊等价关系,若模糊关系R是X上各元素之间的模糊关系，且满足：(1)自反性：R(x,x)=1；(2)对称性：R(x,y)=R(y,x)；(3)传递性：R2R,则称模糊关系R是X上的一个模糊等价关系.,当论域X=x1,x2,xn为有限时,X上的一个模糊等价关系R就是模糊等价矩阵,即R满足：,IR(rii=1),RT=R(rij=rji),R2R(rikrkj)|1knrij).,模糊等价矩阵的基本定理,定理1若R具有自反性(IR)和传递性(R2R),则R2=R.定理2若R是模糊等价矩阵,则对任意0,1，R是等价的Boole矩阵.,定理3若R是模糊等价矩阵,则对任意的01,R所决定的分类中的每一个类是R决定的分类中的某个类的子类.,Q9.模糊相似关系,若模糊关系R是X上各元素之间的模糊关系，且满足：(1)自反性：R(x,x)=1；(2)对称性：R(x,y)=R(y,x)；则称模糊关系R是X上的一个模糊相似关系.当论域X=x1,x2,xn为有限时，X上的一个模糊相似关系R就是模糊相似矩阵，即R满足：(1)自反性：IR(rii=1)；(2)对称性：RT=R(rij=rji).,模糊相似矩阵的性质,定理1若R是模糊相似矩阵，则对任意的自然数k，Rk也是模糊相似矩阵.定理2若R是n阶模糊相似矩阵，则存在一个最小自然数k(kn)，对于一切大于k的自然数l，恒有Rl=Rk，即Rk是模糊等价矩阵(R2k=Rk).此时称Rk为R的传递闭包，记作t(R)=Rk.上述定理表明，任一个模糊相似矩阵可诱导出一个模糊等价矩阵.,平方法求传递闭包t(R)：RR2R4R8R16,应用1模糊聚类分析,聚类分析(Clusteranalysis)又称集群分析，它是研究“物以类聚”的一种数理统计方法。聚类分析可将一些观察对象依据某些特征加以归类。例如临床上为修复耳缺损，可先以正常耳朵的耳长、耳宽、耳外展距等指标为依据，对耳朵进行聚类分析，把正常耳朵划分成几类，然后找出各类之标准化耳朵，以供临床修复各种耳缺损病员时参考。,聚类分析,系统聚类法：用于对小样本的样品间聚类及对指标聚类。逐步聚类法或称快速聚类法：用于对大样本的样品间聚类。有序样品聚类法：用于对有排列次序的样本的样品间聚类，要求必须是次序相邻的样品才能聚在一类。模糊聚类法：建立在模糊数学基础上的对样品间聚类的方法，适用于小样本。分割聚类法：适用于对指标聚类,在聚类分析中反映样品或变量间关系亲疏程度的统计量称为聚类统计量，常用的聚类统计量分为距离和相似系数两种。距离：用于对样品的聚类。常用欧氏距离，在求距离前，需把指标进行标准化。相似系数：常用于对变量的聚类。一般采用相关系数。,数据标准化,设论域X=x1,x2,xn为被分类对象,每个对象又由m个指标表示其形状:xi=xi1,xi2,xim,i=1,2,n于是,得到原始数据矩阵为,平移标准差变换,其中,平移极差变换,模糊相似矩阵建立方法,相似系数法-夹角余弦法,相似系数法-相关系数法,其中,距离法,海明距离,欧氏距离,Boole矩阵法：,Boole矩阵法的步骤如下：,(1)求模糊相似矩阵的-截矩阵R；(2)若R在某一排列下的矩阵有形如,的特殊子矩阵,则将R中上述特殊形式子矩阵的0改为1，直到在任一排列下R中不再产生上述特殊形式子矩阵为止.,最佳分类的确定,在模糊聚类分析中，对于各个不同的0,1，可得到不同的分类，从而形成一种动态聚类图，这对全面了解样本分类情况是比较形象和直观的.但在许多实际问题中，需要给出样本的一个具体分类，这就提出了如何确定最佳分类的问题.,设X=(xij)nm为n个元素m个指标的原始数据矩阵.为总体样本的中心向量.,对应于值的分类数为r，第j类的样本数为nj，第j类的样本标记为,第j类样本的中心向量为,作F-统计量：,如果满足不等式FF(r-1,n-r)的F值不止一个，则可根据实际情况选择一个满意的分类，或者进一步考查差(F-F)/F的大小，从较大者中找一个满意的F值即可.,实际上，最佳分类的确定方法与聚类方法无关，但是选择较好的聚类方法，可以较快地找到比较满意的分类.,应用2模糊模型识别,模型识别,已知某类事物的若干标准模型，现有这类事物中的一个具体对象，问把它归到哪一模型，这就是模型识别.,模型识别在实际问题中是普遍存在的.例如，学生到野外采集到一个植物标本，要识别它属于哪一纲哪一目；投递员(或分拣机)在分拣信件时要识别邮政编码等等，这些都是模型识别.,模糊模型识别,所谓模糊模型识别,是指在模型识别中,模型是模糊的.也就是说,标准模型库中提供的模型是模糊的.,模型识别的原理,为了能识别待判断的对象x=(x1,x2,xn)T是属于已知类A1,A2,Am中的哪一类？事先必须要有一个一般规则,一旦知道了x的值,便能根据这个规则立即作出判断,称这样的一个规则为判别规则.判别规则往往通过的某个函数来表达,我们把它称为判别函数,记作W(i;x).一旦知道了判别函数并确定了判别规则，最好将已知类别的对象代入检验，这一过程称为回代检验，以便检验你的判别函数和判别规则是否正确.,最大隶属原则,模糊向量的内积与外积,定义称向量a=(a1,a2,an)是模糊向量,其中0ai1.若ai只取0或1,则称a=(a1,a2,an)是Boole向量.,设a=(a1,a2,an),b=(b1,b2,bn)都是模糊向量，则定义内积：ab=(akbk)|1kn；外积：ab=(akbk)|1kn.,内积与外积的性质,(ab)c=acbc;(ab)c=acbc.,模糊向量集合族,设A1,A2,An是论域X上的n个模糊子集,称以模糊集A1,A2,An为分量的模糊向量为模糊向量集合族，记为A=(A1,A2,An).,若X上的n个模糊子集A1,A2,An的隶属函数分别为A1(x),A2(x),An(x),则定义模糊向量集合族A=(A1,A2,An)的隶属函数为A(x)=A1(x1),A2(x2),An(xn)或者A(x)=A1(x1)+A2(x2)+An(xn)/n.其中x=(x1,x2,xn)为普通向量.,最大隶属原则,最大隶属原则设论域X=x1,x2,xn上有m个模糊子集A1,A2,Am(即m个模型),构成了一个标准模型库,若对任一x0X,有k1,2,m,使得Ak(x0)=A1(x0),A2(x0),Am(x0)，则认为x0相对隶属于Ak.最大隶属原则设论域X上有一个标准模型A,待识别的对象有n个：x1,x2,xnX,如果有某个xk满足A(xk)=A(x1),A(x2),A(xn),则应优先录取xk.,例1在论域X=0,100分数上建立三个表示学习成绩的模糊集A=“优”,B=“良”,C=“差”.当一位同学的成绩为88分时,这个成绩是属于哪一类？,A(88)=0.8,B(88)=0.7,A(88)=0.8,B(88)=0.7,C(88)=0.,根据最大隶属原则,88分这个成绩应隶属于A,即为“优”.例2论域X=x1(71),x2(74),x3(78)表示三个学生的成绩,那一位学生的成绩最差？C(71)=0.9,C(74)=0.6,C(78)=0.2,根据最大隶属原则，x1(71)最差.,例3细胞染色体形状的模糊识别,细胞染色体形状的模糊识别就是几何图形的模糊识别,而几何图形常常化为若干个三角图形,故设论域为三角形全体.即X=(A,B,C)|A+B+C=180,ABC标准模型库=E(正三角形),R(直角三角形),I(等腰三角形),IR(等腰直角三角形),T(任意三角形).,某人在实验中观察到一染色体的几何形状，测得其三个内角分别为94,50,36,即待识别对象为x0=(94,50,36).问x0应隶属于哪一种三角形？,先建立标准模型库中各种三角形的隶属函数.,直角三角形的隶属函数R(A,B,C)应满足下列约束条件：(1)当A=90时,R(A,B,C)=1;(2)当A=180时,R(A,B,C)=0;(3)0R(A,B,C)1.,因此，不妨定义R(A,B,C)=1-|A-90|/90.则R(x0)=0.955.或者,其中p=|A90|,则R(x0)=0.54.,正三角形的隶属函数E(A,B,C)应满足下列约束条件：,(1)当A=B=C=60时,E(A,B,C)=1;(2)当A=180,B=C=0时,E(A,B,C)=0;(3)0E(A,B,C)1.,因此，不妨定义E(A,B,C)=1(AC)/180.则E(x0)=0.677.或者,其中p=AC,则E(x0)=0.02.,等腰三角形的隶属函数I(A,B,C)应满足下列约束条件：,(1)当A=B或者B=C时,I(A,B,C)=1;(2)当A=180,B=60,C=0时,I(A,B,C)=0;(3)0I(A,B,C)1.,因此，不妨定义I(A,B,C)=1(AB)(BC)/60.则I(x0)=0.766.或者,p=(AB)(BC),则I(x0)=0.10.,等腰直角三角形的隶属函数(IR)(A,B,C)=I(A,B,C)R(A,B,C);,(IR)(x0)=0.7660.955=0.766.,任意三角形的隶属函数T(A,B,C)=IcRcEc=(IRE)c.,T(x0)=(0.7660.9550.677)c=(0.955)c=0.045.,通过以上计算,R(x0)=0.955最大,所以x0应隶属于直角三角形.,或者(IR)(x0)=0.10;T(x0)=(0.54)c=0.46.仍然是R(x0)=0.54最大,所以x0应隶属于直角三角形.,例4大学生体质水平的模糊识别.,陈蓓菲等人在福建农学院对240名男生的体质水平按中国学生体质健康调查研究手册上的规定,从18项体测指标中选出了反映体质水平的4个主要指标(身高、体重、胸围、肺活量),根据聚类分析法,将240名男生分成5类：A1(体质差),A2(体质中下),A3(体质中),A4(体质良),A5(体质优),作为论域U(大学生)上的一个标准模型库,然后用最大隶属原则,去识别一个具体学生的体质.5类标准体质的4个主要指标的观测数据如下表所示.,现有一名待识别的大学生x=x1,x2,x3,x4=175,55.1,86,3900，他应属于哪种类型？,阈值原则,设论域X=x1,x2,xn上有m个模糊子集A1,A2,Am(即m个模型),构成了一个标准模型库,若对任一x0X,取定水平0,1.,若存在i1,i2,ik,使Aij(x0)(j=1,2,k),则判决为：x0相对隶属于,若Ak(x0)|k=1,2,m,则判决为：不能识别,应当找原因另作分析.,该方法也适用于判别x0是否隶属于标准模型Ak.若Ak(x0),则判决为：x0相对隶属于Ak;若Ak(x0),则判决为：x0相对不隶属于Ak.,择近原则,设在论域X=x1,x2,xn上有m个模糊子集A1,A2,Am(即m个模型),构成了一个标准模型库.被识别的对象B也是X上一个模糊集,它与标准模型库中那一个模型最贴近？这是第二类模糊识别问题.先将模糊向量的内积与外积的概念扩充.设A(x),B(x)是论域X上两个模糊子集的隶属函数,定义内积：AB=A(x)B(x)|xX；外积：AB=A(x)B(x)|xX.,内积与外积的性质,(1)(AB)c=AcBc;(2)(AB)c=AcBc;(3)AAc1/2;(4)AAc1/2.,证明(1)(AB)c=1-A(x)B(x)|xX,=1-A(x)1-B(x)|xX=Ac(x)Bc(x)|xX=AcBc.,证明(3)AAc=A(x)1-A(x)|xX,1/2|xX1/2.,下面我们用(A,B)表示两个模糊集A,B之间的贴近程度(简称贴近度),贴近度(A,B)有一些不同的定义.0(A,B)=AB+(1-AB)/2(格贴近度)1(A,B)=(AB)(1-AB),择近原则设在论域X=x1,x2,xn上有m个模糊子集A1,A2,Am构成了一个标准模型库,B是待识别的模型.若有k1,2,m,使得(Ak,B)=(Ai,B)|1im,则称B与Ak最贴近,或者说把B归于Ak类.这就是择近原则.,小麦品种的模糊识别(仅对百粒重考虑),多个特性的择近原则,设在论域X=x1,x2,xn上有n个模糊子集A1,A2,An构成了一个标准模型库,每个模型又由个特性来刻划：Ai=(Ai1,Ai2,Aim),i=1,2,n,待识别的模型B=(B1,B2,Bm).先求两个模糊向量集合族的贴近度：si=(Aij,Bj)|1jm,i=1,2,n,若有k1,2,n,使得(Ak,B)=si|1in,则称B与Ak最贴近,或者说把B归于Ak类.这就是多个特性的择近原则.,贴近度的的改进,格贴近度的不足之处是一般0(A,A)1.定义(公理化定义)若(A,B)满足(A,A)=1;(A,B)=(B,A);若ABC,则(A,C)(A,B)(B,C).,则称(A,B)为A与B的贴近度.,显然,公理化定义显得自然、合理、直观,避免了格贴近度的不足之处,它具有理论价值.但是公理化定义并未提供一个计算贴近度的方法,不便于操作.于是,人们一方面尽管觉得格贴近度有缺陷,但还是乐意采用易于计算的格贴近度来解决一些实际问题；另一方面,在实际工作中又给出了许多具体定义(P145).,离散型,连续型,离散型,连续型,离散型,连续型,事实上,择近原则的核心就是最大隶属原则.如在小麦品种的模糊识别(仅对百粒重考虑)中,可重新定义“早熟”、“矮秆”、“大粒”、“高肥丰产”、“中肥丰产”的隶属函数.,重新定义“早熟”的隶属函数为,重新定义“矮秆”的隶属函数为,蠓的分类,左图给出了9只Af和6只Apf蠓的触角长和翼长数据,其中“”表示Apf,“”表示Af.根据触角长和翼长来识别一个标本是Af还是Apf是重要的.,给定一只Af族或Apf族的蠓,如何正确地区分它属于哪一族？将你的方法用于触角长和翼长分别为(1.24,1.80),(1.28,1.84),(1.40,2.04)三个标本.,模糊判别方法先将已知蠓重新进行分类.,当=0.919时,分为3类1,2,3,6,4,5,7,8,9,10,11,12,13,14,15,三类的中心向量分别为(1.395,1.770),(1.560,2.080),(1.227,1.927).,A1=(0.200,0.637)(Af蠓),A2=(0.390,1.000)(Af蠓),A3=(0.000,0.821)(Apf蠓),再将三只待识别的蠓用上述变换分别变为,B1=(0.015,0.672),B2=(0.062,0.719),B3=(0.203,0.953).,采用贴近度,3(A,B)=,计算得：3(A1,B1)=0.89,3(A2,B1)=0.65,3(A3,B1)=0.92.3(A1,B2)=0.89,3(A2,B2)=0.69,3(A3,B2)=0.92.3(A1,B3)=0.84,3(A2,B3)=0.88,3(A3,B3)=0.83.根据择近原则及上述计算结果,第一只待识别的蠓(1.24,1.80)属于第三类,即Apf蠓；第二只待识别的蠓(1.28,1.84)属于第三类,即Apf蠓；第三只待识别的蠓(1.40,2.04)属于第二类,即Af蠓.,设Af是传粉益虫,Apf是某种疾病的载体,是否应修改你的分类方法？若需修改,为什么？,DNA序列分类与模糊识别,2000网易杯全国大学生数学建模竞赛题：生物学家发现DNA序列是由四种碱基A,T,C,G按一定顺序排列而成,其中既没有“断句”,也没有标点符号,同时也发现DNA序列的某些片段具有一定的规律性和结构.由此人工制造两类序列(A类编号为110；B类编号为1120).网址：.现在的问题是如何找出比较满意的方法来识别未知的序列(编号为2140),并判断它们那些属于A类,那些属于B类,那些既不属于A类又不属于B类.,(1)已知类别DNA序列的模糊分类,提取已知类别的20个DNA序列的A,T,C,G的百分含量构成如下矩阵：X=(xij)204,其中xi1,xi2,xi3,xi4分别表示第个DNA系列中的A,T,C,G的百分含量.采用切比雪夫距离法建立模糊相似矩阵,然后用传递闭包法进行聚类,动态聚类图如下.,(2)确定最佳分类,将20个已知DNA序列分成如下3类为最佳：,A1=1,2,3,5,6,7,89,10,A2=4,17,A3=11,12,13,14,15,16,18,19,20.,建立标准模型库：A1,A2,A3.,(3)未知DNA序列的模糊识别采用格贴近度公式：0(A,B)=AB+(1-AB)/2,将隶属于A1的DNA序列归为A类,隶属于A3的DNA序列归为B类,隶属于A2的DNA序列归为非A,B类.,应用3模糊决策,Q1.模糊集中意见决策,为了对论域U=u1,u2,un中的元素进行排序,由m个专家组成专家小组M,分别对U中的元素排序,得到m种意见：V=v1,v2,vm,其中vi是第i种意见序列,即U中的元素的某一个排序.若uj在第i种意见vi中排第k位,则令Bi(uj)=nk,称,为uj的Borda数.此时论域U的所有元素可按Borda数的大小排序,此排序就是是比较合理的.,例1设U=a,b,c,d,e,f,|M|=m=4人,v1:a,c,d,b,e,f;v2:e,b,c,a,f,d;v3:a,b,c,e,d,f;v4:c,a,b,d,e,f;,B(a)=5+2+5+4=16;B(b)=2+4+4+3=13;B(c)=4+3+3+5=15;B(d)=3+0+1+2=6;B(e)=1+5+2+1=9;B(f)=0+1+0+0=1;按Borda数集中后的排序为：a,c,b,d,e,f.,例2设有6名运动员U=u1,u2,u3,u4,u5,u6参加五项全能比赛,已知他们每项比赛的成绩如下：200m跑u1,u2,u4,u3,u6,u5；1500m跑u2,u3,u6,u5,u4,u1；跳远u1,u2,u4,u3,u5,u6；掷铁饼u1,u2,u3,u4,u6,u5；掷标枪u1,u2,u4,u5,u6,u3；,B(u1)=5+0+5+5+5=20;B(u2)=4+5+4+4+4=21;B(u3)=2+4+2+3+0=11;B(u4)=3+1+3+2+3=12;B(u5)=0+2+1+0+2=5;B(u6)=1+3+0+1+1=6;按Borda数集中后的排序为：u2,u1,u4,u3,u6,u5.,若uj在第i种意见vi中排第k位，设第k位的权重为ak，则令Bi(uj)=ak(nk)，称,为uj的加权Borda数。,B(u1)=7,B(u2)=5.75,B(u3)=1.98,B(u4)=1.91,B(u5)=0.51,B(u6)=0.75.按加权Borda数集中后的排序为：u1,u2,u3,u4,u6,u5,设论域X=x1,x2,xn为n个被选方案,在n个被选方案中建立一种模糊优先关系,即先两两进行比较,再将这种比较模糊化.然后用模糊数学方法给出总体排序,这就是模糊二元对比决策.在xi与xj作对比时,用rij表示xi比xj的优先程度,并且要求rij满足rii=1(便于计算)；0rij1；当ij时,rij+rji=1.这样的rij组成的矩阵R=(rij)nn称为模糊优先矩阵,由此矩阵确定的关系称为模糊优先关系.,Q2.模糊二元对比决策,模糊二元对比决策的方法与步骤是：,建立模糊优先关系.先两两进行比较，建立模糊优先矩阵：R=(rij)nn.排序方法：隶属函数法即直接对模糊优先矩阵进行适当的数学加工处理,得到X上模糊优先集A的隶属函数,再根据各元素隶属度的大小给全体对象排出一定的优劣次序.通常采用的方法是：取小法：A(xi)=rij|1jn,i=1,2,n;平均法：A(xi)=(ri1+ri2+rin)/n,i=1,2,n.,-截矩阵法即取定阈值,确定优先对象.,取定阈值0,1得-截矩阵R=(rij()nn,当由1逐渐下降时,若R中首次出现第k行的元素全等于1时,则认定xk是第一优先对象(不一定唯一).再在R中划去xk所在的行与列,得到一个新的n-1阶模糊优先矩阵,用同样的方法获取的对象作为第二优先对象；如此进行下去,可将全体对象排出一定的优劣次序.下确界法先求R每一行的下确界,以最大下确界所在行对应的xk是第一优先对象(不一定唯一).再在R中划去xk所在的行与列,得到一个新的n-1阶模糊优先矩阵,再以此类推.,Q3.模糊综合评判决策,在实际工作中,对一个事物的评价或评估,常常涉及多个因素或多个指标,这时就要求根据这多个因素对事物作出综合评价,而不能只从某一因素的情况去评价事物,这就是综合评判.模糊综合评判决策是对受多种因素影响的事物作出全面评价的一种十分有效的多因素决策方法.,经典综合评判决策评总分法加权评分法,模糊映射与模糊变换,例1设X=x1,x2,Y=y1,y2,y3,令,f(x),g(x)都是从X到Y的模糊映射,并且f(x)是从X到Y的点集映射.,命题1设X=x1,x2,xn,Y=y1,y2,ym,(1)X到Y的任一个模糊映射f可唯一确定X到Y的一个模糊关系Rf；(2)X到Y的任一个模糊关系R可唯一确定X到Y的一个模糊映射fR.,模糊变换若映射T将X的一个模糊子集A映射到Y的一个模糊子集B,则称映射T为从X到Y的模糊变换.若模糊变换T满足(1)T(AB)=T(A)T(B),(2)T(A)=T(A),则称T为模糊线性变换.,命题2设X=x1,x2,xn,Y=y1,y2,ym,(1)给定X到Y的一个模糊关系R可确定X到Y的一个模糊模糊线性变换TR(A)=AR；(2)给定X到Y的一个模糊线性变换T可确定X到Y的一个模糊关系RT.,例2设X=x1,x2,x3,x4,x5,Y=y1,y2,y3,y4,(1)A=x1,x2,求TR(A)；(2)B=(0.5,0.6,0.9,1,0),求TR(B)；,TR(A)=AR,TR(A)=(1,1,0,0,0)R=(1,0.3,0,1),TR(B)=(0.5,0.6,0.9,1,0)R=(0.6,1,0.4,0.5),例3设X=x1,x2,x3,Y=y1,y2,映射T为从X到Y的模糊线性变换.已知,(1)求由T诱导出X到Y的模糊关系RT；(2)求由模糊关系RT诱导出X到Y的模糊映射f.,0.5,0.60.5,0.2,0.3,0.7,模糊综合评判决策的数学模型,设U=u1,u2,un为n种因素(或指标),V=v1,v2,vm为m种评判(或等级).由于各种因素所处地位不同,作用也不一样,可用权重A=(a1,a2,an)来描述,它是因素集U的一个模糊子集.对于每一个因素ui,单独作出的一个评判f(ui),可看作是U到V的一个模糊映射f,由f可诱导出U到V的一个模糊关系Rf,由Rf可诱导出U到V的一个模糊线性变换TR(A)=AR=B,它是评判集V的一个模糊子集,即为综合评判.(U,V,R)构成模糊综合评判决策模型,U,V,R是此模型的三个要素.,模糊综合评判决策的方法与步骤是：,建立因素集U=u1,u2,un与决断集V=v1,v2,vm.建立模糊综合评判矩阵.对于每一个因素ui,先建立单因素评判：(ri1,ri2,rim)即rij(0rij1)表示vj对因素ui所作的评判,这样就得到单因素评判矩阵R=(rij)nm.综合评判.根据各因素权重A=(a1,a2,an)综合评判:B=AR=(b1,b2,bm)是V上的一个模糊子集,根据运算的不同定义,可得到不同的模型.,模型：M(,)主因素决定型,bj=(airij),1in(j=1,2,m).由于综合评判的结果bj的值仅由ai与rij(i=1,2,n)中的某一个确定(先取小,后取大运算),着眼点是考虑主要因素,其他因素对结果影响不大,这种运算有时出现决策结果不易分辨的情况.模型：M(,)主因素突出型bj=(airij),1in(j=1,2,m).M(,)与模型M(,)较接近,区别在于用airij代替了M(,)中的airij.在模型M(,)中,对rij乘以小于1的权重ai表明ai是在考虑多因素时rij的修正值,与主要因素有关,忽略了次要因素.,模型：M(,)主因素突出型,bj=(airij)(j=1,2,m).模型也突出了主要因素.在实际应用中,如果主因素在综合评判中起主导作用,建议采纳,当模型失效时可采用,.模型：M(,)加权平均模型bj=(airij)(j=1,2,m).模型M(,)对所有因素依权重大小均衡兼顾,适用于考虑各因素起作用的情况.,例1.服装评判,因素集U=u1(花色),u2(式样),u3(耐穿程度),u4(价格)；评判集V=v1(很欢迎),v2(较欢迎),v3(不太欢迎),v4(不欢迎).对各因素所作的评判如下：u1：(0.2,0.5,0.2,0.1)u2：(0.7,0.2,0.1,0)u3：(0,0.4,0.5,0.1)u4：(0.2,0.3,0.5,0),对于给定各因素权重A=(0.1,0.2,0.3,0.4),分别用各种模型所作的评判如下：,M(,)：B=(0.2,0.3,0.4,0.1)M(,)：B=(0.14,0.12,0.2,0.03)M(,)：B=(0.5,0.9,0.9,0.2)M(,)：B=(0.24,0.33,0.39,0.04),例2.“晋升”的数学模型.,以高校老师晋升教授为例：因素集U=政治表现及工作态度,教学水平,科研水平,外语水平,评判集V=好,较好,一般,较差,差.,因素好较好一般较差差政治表现及工作态度42100教学水平61000科研水平00511外语水平22111,给定以教学为主的权重A=(0.2,0.5,0.1,0.2)，分别用M(,)、M(,)模型所作的评判如下：M(,)：B=(0.5,0.2,0.14,0.14,0.14)归一化后，B=(0.46,0.18,0.12,0.12,0.12)M(,)：B=(0.6,0.19,0.13,0.04,0.04),例3利用模糊综合评判对20家制药厂经济效益的好坏进行排序(P209).,企业名称u1u2u3u41东北制药厂1.61110.590.691.672北京第二制药厂1.4299.440.611.5020四川制药厂1.99221.631.011.89,设cij(i=1,2,3,4；j=1,2,20)表示第j个制药厂的第i个因素的值,令,得到模糊综合评判矩阵R=(rij)420.,Q4.权重的确定方法,在模糊综合评判决策中,权重是至关重要的,它反映了各个因素在综合决策过程中所占有的地位或所起的作用,它直接影响到综合决策的结果.凭经验给出的权重,在一定的程度上能反映实际情况,评判的结果也比较符合实际,但它往往带有主观性,是不能客观地反映实际情况,评判结果可能“失真”.加权统计方法,频数统计方法,(1)对每一个因素uj,在k个专家所给的权重aij中找出最大值Mj和最小值mj,即Mj=maxaij|1ik,j=1,2,n;mj=minaij|1ik,j=1,2,n.(2)选取适当的正整数p,将因素uj所对应的权重aij从小到大分成p组,组距为(Mj-mj)/p.(3)计算落在每组内权重的频数与频率(4)取最大频率所在分组的组中值(或邻近的值)作为因素uj的权重.(5)将所得的结果归一化.,模糊关系方程法,在模糊综合评判决策问题中,若已知综合决策B=(b1,b2,bm),单因素评判矩阵R=(rij)nm,试问各因素的权重分配A是什么？这就是要求解模糊关系方程XR=B.,定理模糊关系方程XR=B有解的充要条件是R=B,其中,约定=1.且为XR